精品解析：四川自贡市荣县2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026-2027学年上期九年级半期阶段练习 数学试题 （总分：150分 考试时长：120分钟） 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 3. 关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，， B. 3，，1 C. ，4，1 D. ，4， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 4. 下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A. 它的图象经过点（-1，-3） B. 它的图象的对称轴是直线x=3 C. 当x=0时，y有最大值为0 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝−1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D． 【详解】解：∵二次函数， ∴当x＝−1时，y＝3，故选项A不符合题意； 它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意； 当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案． 设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为如图， 设小路宽为， 根据题意得：． 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设法和排除法：若，则，根据反比例函数的图象所处的象限、一次函数图象的特征一一加以排除，剩下的一个则是正确的；若还不能一一加以排除，再假设，再逐一排除即可． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，此时一次函数随自变量的增大而减小，且相交于y轴的正半轴上，A符合题意，B不符合题意； 若时，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，此时一次函数随自变量的增大而增大，且相交于y轴的负半轴上，C、D均不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 8. 如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 9. 如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 22 B. 21 C. 16 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为 ，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：D． 10. 如图，在反比例函数的图象上有，，，…， 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点横坐标的变化规律，找到纵坐标的变化规律，进而确定矩形面积的变化规律，即可求解． 【详解】解：点，，，…，的横坐标依次为1，2，3，4，…，2025， 点，，，…，的纵坐标依次为，，，…，， 又图中每个小矩形的水平边长均为1，纵向边长等于相邻两个点的纵坐标的差， ，，，…，， ． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 即． 12. 二次函数的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标为． 13. 若是关于x的方程的解，则的值为__________． 【答案】2016 【解析】 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 14. 关于的方程的两根分别是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出方程两根之和与两根之积，将所求代数式变形为可整体代入的形式，代入计算得到结果． 【详解】解：∵方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ∴根据根与系数的关系，两根满足，， ∵由完全平方公式可得， ∴所求代数式， 将，代入上式，得 ． 15. 如图，抛物线与x轴相交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤关于x的方程的两个根为，．正确结论的序号为________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由决定．利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另个交点坐标为，则可对③⑤进行判断；由对称轴和开口方向可对②④进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴，所以①正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，②正确； ∵抛物线与x轴的交点为和， ∴关于x的方程的两个根为，，故⑤正确． ∴当时，或，故③错误； 当时，，故④正确； 综上，①②④⑤正确，． 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（共9个小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得， 【小问2详解】 解：去括号，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； 17. 已知二次函数． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；，， （2） 【解析】 【分析】（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴，，； 【小问2详解】 解：把代入函数解析式得： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式，求二次函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，准确计算． 18. 某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， （1）求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； （2）求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 19. 某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． （1）每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】（1）每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 （2）四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． 【小问2详解】 解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点. （1）求反比例函数的解析式与点B的坐标； （2）连接AO、BO，求的面积： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点代入一次函数，求出的值，再把点代入，求出的值，然后联立方程组，再解出来即可作答． （2）记与轴交点为H，求出直线的解析式，得出的长度，再运用割补法列式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点. ∴把点代入一次函数，得 ∴ 则把点代入，得； ∴ 依题意，得 得 解得 ∵ ∴ 【小问2详解】 解：记与轴交点为H，如图 当时 ， ∴ 21. 已知二次函数． （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【答案】（1）轴，； （2），， 利用描点法作出的函数图象如下所示： （3）． 【解析】 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； 【小问2详解】 当时，； 当时，； 故答案为：，； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先计算出的值，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当或时为等腰三角形，然后求出m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴，， 不妨设，， 当时，为等腰三角形，则，解得， 此时， 由于，这不能围成三角形，则不符合题意； 当时，为等腰三角形，则，解得， 此时，， 由于，这能围成三角形，符合题意； ∴当是等腰三角形时，． 23. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．某隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1．隧道底部宽为，高为．为了避免司机在隧道内行车疲劳，交通技术部门拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于． （1）在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式． （2）在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带悬挂点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） 以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． (1)以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用待定系数法即可得解； (2)先计算出悬挂点的纵坐标，然后由纵坐标范围即可确定横坐标范围． 【小问1详解】 解：以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 顶点的坐标为，设抛物线的解析式为：． 抛物线过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于． 悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，， ， 悬挂点的横坐标的取值范围是：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出点A和抛物线的顶点坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1） （2） （3）当时，四边形面积最大，此时，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出的最值； （1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）对于，令，即，解得，所以A点坐标为．由，可得抛物线顶点坐标为． （3）过P作轴于点F，交于点E，求出直线的解析式，设，则，进而可得，根据二次函数的性质求出的最大值，再加上面积即可得解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 抛物线的表达式为， 将点B的坐标代入上式得， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵ ∴令，即， 解得， 故A点坐标为． 则， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问3详解】 解：如图1，过P作轴于点F，交于点E， ∵四边形的面积的面积的面积，而的面积不变， ∴当的面积最大时，四边形的面积也最大， 令，则， 解得：， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，，， 此时， ∴此时四边形的面积也最大，， ∴当时，四边形面积最大，此时，最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级半期阶段练习 数学试题 （总分：150分 考试时长：120分钟） 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 3，， B. 3，，1 C. ，4，1 D. ，4， 4. 下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A. 它的图象经过点（-1，-3） B. 它的图象的对称轴是直线x=3 C. 当x=0时，y有最大值为0 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 22 B. 21 C. 16 D. 12 10. 如图，在反比例函数的图象上有，，，…， 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 方程的解为__________． 12. 二次函数的顶点坐标为__________． 13. 若是关于x的方程的解，则的值为__________． 14. 关于的方程的两根分别是，则__________． 15. 如图，抛物线与x轴相交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤关于x的方程的两个根为，．正确结论的序号为________． 三、解答题（共9个小题，共90分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； （2）当时，求的值． 18. 某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， （1）求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； （2）求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 19. 某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． （1）每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点. （1）求反比例函数的解析式与点B的坐标； （2）连接AO、BO，求的面积： 21. 已知二次函数． （1）该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； （2）补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 23. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．某隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1．隧道底部宽为，高为．为了避免司机在隧道内行车疲劳，交通技术部门拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于． （1）在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式． （2）在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带悬挂点的横坐标的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点C，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直接写出点A和抛物线的顶点坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $