精品解析：四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度上期半期质量监测试题 九年级 数学 一、单选题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．未知数x的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中未知数的最高次项的次数是3，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程没有实数根． 故选A． 4. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值2． 故选C． 5. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根， ∴x1•x2＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1•x2=． 6. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 8. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 9. 某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出二月份产值为万元，三月份产值为万元，再根据第一季度总产值为330万元列出方程即可得． 【详解】解：∵某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为， ∴该厂二月份产值为万元，三月份产值为万元， ∵第一季度总产值为330万元， ∴可列方程为， 故选：C． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　） A B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握是解决问题的关键．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根． 根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， 故选：B． 11. 已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，灵活运用二次函数的图像及性质是解答本题的关键． 根据二次函数解析式得到对称轴直线为，根据二次函数与线段恰有两个交点得到，分类讨论：当在函数图像上，当在函数图像上，由此即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴直线为， ∵抛物线与线段恰有两个交点， ∴， 当在函数图像上时，则有：， 解得，或 当在函数图像上时，则有：， 解得(舍)或； 当时，抛物线与线段恰有两个交点， 故答案为： C． 12. 已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与轴的交点可确定、的符号，根据对称轴为可得出的符号，即可判断①；根据二次函数图像的对称性得出图像与轴的另一个交点在和之间，可得时，即可判断②；根据图像与轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④；根据当时，函数有最大值，最大值为，得到，即可判断⑤；由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，即可判断⑥；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线轴的一个交点在和之间， ∴图像与轴的另一个交点在和之间， ∴时，即，故②错误， ∵图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③错误， 由图像可知：时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴， ∴，故⑤正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴对称的两个根的和为2， ∴若方程有两个根，则这两个根的和为2，故⑥正确， 综上所述：正确的结论有①④⑤⑥，共个， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13. 一元二次方程化成一般形式后为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 14. 已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由 题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 15. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 17. 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为_____________m． 【答案】0.3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 三、解答题（共8小题，共48分） 18. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）移项后根据因式分解法计算即可． 【小问1详解】 ， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ，． 19. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （）根据题意解方程组得到二次函数的解析式为，求得抛物线与轴的交点坐标为，于是得到当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 则设， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 21. 如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 【答案】边的长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设边的长为，则边的长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并结合墙的长度为，即可得出结果． 【详解】解：设边的长为，则边的长为． 由题意，得 整理，得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为． 22. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值． （1）根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； 【小问3详解】 解：根据故意得： ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 23. 在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 【答案】（1）经过4秒，是等腰三角形； （2）经过3秒，的面积是矩形的面积的； （3）经过秒或秒，是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由是等腰三角形，则，再列方程求解即可； （2）由的面积是矩形的面积的列方程，解方程可得答案； （3）先分别表示，，，再根据是直角三角形分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故经过4秒，是等腰三角形； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得，，即， ∴， ∴经过3秒，的面积是矩形的面积的； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，则， ∴，（负值舍去）； 当时，即， ∴或（不合题意舍去）， 当时，不存在，舍去， 综上所述，经过秒或秒，是直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，分类讨论是解题的关键． 24. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）直接写出不等式的解集是___________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程． （1）仿照例题进行解答即可； （2）令，然后转化成，再根据判别式得到，最后仿照例题解答即可； （3）令，得到，然后根据判别式得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 或， 解得：或， ∴不等式的解集是或； 【小问2详解】 解：令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：令， ， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， ， 或， ∴或． 25. 如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 依题意，得， 解得或（不合题意舍去）， ∴； 小问3详解】 解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得， 解得（舍去）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴， 整理得， 解得（舍）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得， 解得或， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期半期质量监测试题 九年级 数学 一、单选题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 4. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 5. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2 6. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( ) A B. C. D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　） A. B. 且 C. 且 D. 11. 已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根和为2．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 13. 一元二次方程化成一般形式后为___________________． 14. 已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是____________． 15. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______． 17. 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为_____________m． 三、解答题（共8小题，共48分） 18. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 19. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求的取值范围． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 21. 如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 22. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 23. 在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 24. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）直接写出不等式的解集是___________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 25. 如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $