30.3 正多边形与圆讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 30.3  正多边形与圆 学生版  30.3　正多边形与圆 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　正多边形的概念、中心角与作图 2 　　题型 2　半径、边心距、边长与面积 4 　　题型 3　正多边形中的角与相切问题 8 　　题型 4　网格坐标、旋转滚动与阅读理解 11 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 15 　题型 1　　正多边形的概念、中心角与作图 知识梳理 正 边形的中心角、外角都等于 绕中心旋转 才第一次与自身重合 中心角是刻画边数的唯一量：它同时等于外角。所以题目给中心角、给外角、给旋转重合的最小角度，都是同一件事——都在告诉你 是多少，一步就能反解 判断"是不是正多边形"要分清内接与外切：圆内接多边形各角相等即正多边形（因为等角对等弧），各边相等却不一定是（反例是圆内接矩形与"等边风筝"）；圆外切多边形各边相等即正多边形（切线长相等可推各角相等），各角相等却不一定是。这两句方向相反，是本节最容易被绕进去的地方。 旋转对称性按边数分：奇数边只有轴对称，偶数边既轴对称又中心对称。作正多边形用等分圆周：正六边形取半径长依次截取即可（），正四边形作两条互相垂直的直径，正三角形隔点连接正六边形的顶点。 易错　①中心角与外角记成互补；　②"各边相等"直接当成充分条件（未区分内接、外切）；　③奇数边正多边形说成中心对称；　④作正六边形时用边心距去截圆周。 要点　中心角＝外角＝内接看角、外切看边；正六边形 1． 给出下列说法： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形． 其中正确的是  （  ） A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确 2． 一个正多边形的中心角为这个正多边形的边数是  （  ） A．5 B．8 C．10 D．12 3． 如果一个正多边形的每个外角都为那么这个多边形的中心角为 （  ） A． B． C． D． 4． 一个正多边形绕它的中心旋转后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形 （  ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 5． 把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转       度，才能与原来的图形重合． 　 6． 若正多边形的边心距与边长的比为则这个正多边形的边数是      ． 　 7． 如图，在⊙O中，MF为直径，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径则A=      ．（结果保留根号） 　 8． 按要求作图： （1）在图1中画的内接正三角形； （2）在图2中画的内接正八边形． 　 　 　 　 　 9． 已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 　 　 　 　题型 2　　半径、边心距、边长与面积 知识梳理 半径 边心距 边长 构成直角三角形： 正多边形的计算全在一个小直角三角形里：半径是斜边、边心距是直角边、半条边是另一直角边，顶角是半个中心角 把图画出来、把这个三角形标出来，剩下的就是解直角三角形。 几个常用结论要背到能直接用：正六边形 正方形 正三角形 。遇到"正六边形对角线"就用两条对角线长 去算。 面积有两条路：拆成 个等腰三角形，；或者整体用周长乘边心距的一半。题目若给的是面积反求边长，优先设边心距或半径作未知量，比设边长少一层根号。 易错　①把半径当成边长（正六边形才恰好相等）；　②半中心角写成整个中心角；　③面积公式漏掉 　④正八边形求"中心到弦的距离"时误用半径。 要点　三线段共一个直角三角形，半中心角是它的锐角；。 1． 如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是 （  ） A．1 B．2 C． D． 2． 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形若对角线的长约为则正六边形的边长为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度则螺帽边长      cm． 　 4． 若正六边形的边心距为则该正六边形的边长是      ，半径是      ，周长是      ，面积是       　 5． 如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若则点O到AC的距离为      ． 　 6． 已知四边形为的内接正四边形，若的半径为1，则正四边形的边长为      ，边心距为      ． 　 7． 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的      倍．（精确到个位） 　 8． 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． （1）求该地基的周长； （2）求该地基的面积（结果保留根号形式）； （3）若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 　 　 　 　 　 　 　 9． 如图，的周长等于正六边形内接于求边心距的长． 　 　 　 10． 如图，正六边形内接于若的内接正三角形的面积为 ，试求正六边形的周长． 　 　 　 11． 某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． （1）求地基的周长是多少？ （2）求地基的面积是多少？ 　 　 　 　 　 　题型 3　　正多边形中的角与相切问题 知识梳理 正多边形顶点都在外接圆上，故圆周角等于所对中心角的一半；圆与边相切时，切点处半径垂直于该边 正多边形的顶点都在外接圆上，所以求角就回到圆周角定理：圆周角等于同弧所对中心角的一半。例如正五边形里 对着 而那条弧只含一个中心角 故为 关键是数清楚这条弧夹了几条边。 圆心与相邻两顶点连成的三角形是等腰三角形，顶角是一个中心角；弦切角、圆周角都可以用它来算。遇到正八边形、正十二边形这类边数多的图形，先标出中心角，再把要求的角拆成几个中心角的和差。 相切题的入口只有一个：连半径、得垂直。圆与正多边形的两条边分别相切，两条半径都垂直于各自的边，于是 与多边形在这两条边之间的内角互补（或与中心角互余），用四边形内角和一步算出。 易错　①数错弧所夹的边数，圆周角算成整角；　②相切题不连半径，直接套结论；　③把"圆心与顶点连线"当成角平分线之外的线；　④正十二边形改造题不先画图定位新增顶点。 要点　圆周角＝所对中心角的一半；相切必连半径得垂直。 1． 如图，点为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若则这个正多边形的边数为 （  ） A．5 B．10 C．12 D．20 2． 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则的度数是       ． 　 3． 如图，正五边形内接于连接则的度数是      ． 　 4． 如图，半径为1的与正五边形的边分别相切于点则的度数为      ． 　 5． 如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为      度． 　 6． 如图，某酒店有一张桌面边长为2米的正六边形桌子，每边围坐两人（平均每人占据1米长的桌沿），可坐下12人．现酒店方想将桌面改成正十二边形，每边坐1人，也可坐下12人．改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后，围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少       米．（精确到0.01米，参考数据：≈1.73） 　 7． 图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，图②所示的是其部分示意图．已知司南中心为圆形，圆心为根据八个方位将圆形八等分（图②中点）且顺次连接点构成正八边形，连接求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　网格坐标、旋转滚动与阅读理解 知识梳理 网格题先定一个顶点坐标，再按边长与中心角逐点推；滚动问题看每次滚动转过的角度与落点 坐标系里的正多边形，先定一个顶点的坐标，再按"边长＋方向"逐点推。正六边形的边只有三个方向（水平与两条斜线，各差 ），把这三个方向的位移量先算好，后面就是一次次加减。 滚动、跳棋、平移重合这类过程题，不要一年一年（一次一次）地数，先找周期。滚动一圈回到原状需要的次数、两枚棋子相遇的周期，都能用"边数 × 单次步长"算出来，再用总数除以周期取余。 阅读理解题（割圆术、彩陶纹样、正十二边形桌面改造）看起来长，其实只考一两步：先把文字翻译成"圆的半径是多少、正几边形"，再按前三个题型的通法算。改造题注意新增的顶点是截角产生的，边长关系要在图上标出来才能算对。 易错　①坐标系里方向搞反，位移量符号错；　②过程题逐次数，不找周期；　③余数为 时落点位置判断错；　④改造题把"截去的长度"当成"新边长"。 要点　网格先定一点再逐点推；过程题先找周期再用余数。 1． 如图，峰巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是 （  ） A． B． C． D． 3． 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳1个顶点，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是  （  ） A．8 B． C．4 D．0 4． 如图，已知正六边形边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到的距离为 （  ） A．3 B．4 C． D． 5． 如图，在正六边形中，点在边上，且若经过点的直线l将正六边形的面积二等分，则直线l被六边形所截的线段长为  （  ） A． B． C． D． 6． 在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，分别是上的格点，．若点是这个网格图形中的格点，连接则所有满足的中，边的长的最大值是       　 7． 如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是      ．（结果保留） 　 8． 如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点以点为圆心，为半径做弧交于点同上述作图方法逆时针做出点依次连接则这个多边形的周长为      ． 　 9． 已知四个正六边形按图所示的方式摆放在圆中，顶点在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长为      ． 　 10． 用等分圆周的方法画下列图形，并简述作图过程． 　 　 　 11． 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接若的半径为则的周长为      ． 　 　 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜圆内接多边形的角度与基本计算 1． 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是 （  ） A． B． C．AC平分 D．BAD=180 2． 如图，在中，D是AC上一点，且E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为      ． 　 3． 如图，已知=AD，则的度数为 　 　 4． 如图，在四边形中，若则      ． 　 5． 如图，在四边形ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若则的度数为      度． 　 B 组　提升题 必做｜最值、动点与多问推理 1． 如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为则周长的最小值是 （  ） A．4 B．5 C．6 D．7 2． 如图，在中，是平面内一动点，且取的中点连接则线段的最大值为      ． 　 3． 如图 ，点 在内部且则 的最大值是       　 4． 如图，M为斜边的中点，分别在上，．求证：． 　 　 　 5． 圆周率的故事 我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值． （1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为      ，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式可以估算      ． （2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计的值． 　 　 　 　 　 　 　 6． 问题探究： （1）请在图①的正方形ABCD内，画出使的一个点，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使的所有的点P，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，．工人师傅想用它裁出两块全等的．面积最大的和'D钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和P和P'． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜反例辨析与圆内接多边形的探究 1． 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形． 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图，是正三角形，六边形的各内角相等，但它不是正六边形． 丙同学：边数是3时，它是正多边形，我想…，边数是5时，它可能也是正多边形． （1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等，但它不是正六边形； （2）请你证明，各内角都相等的圆内接五边形（如图）是正五边形；（不必写已知，求证） （3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明） 　 　 　 　 　 　 　 2． （1）已知：如图1，是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：+PC； （2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：+PB． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3  正多边形与圆 解析版  30.3　正多边形与圆 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　正多边形的概念、中心角与作图 2 　　题型 2　半径、边心距、边长与面积 6 　　题型 3　正多边形中的角与相切问题 15 　　题型 4　网格坐标、旋转滚动与阅读理解 19 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 29 　题型 1　　正多边形的概念、中心角与作图 知识梳理 正 边形的中心角、外角都等于 绕中心旋转 才第一次与自身重合 中心角是刻画边数的唯一量：它同时等于外角。所以题目给中心角、给外角、给旋转重合的最小角度，都是同一件事——都在告诉你 是多少，一步就能反解 判断"是不是正多边形"要分清内接与外切：圆内接多边形各角相等即正多边形（因为等角对等弧），各边相等却不一定是（反例是圆内接矩形与"等边风筝"）；圆外切多边形各边相等即正多边形（切线长相等可推各角相等），各角相等却不一定是。这两句方向相反，是本节最容易被绕进去的地方。 旋转对称性按边数分：奇数边只有轴对称，偶数边既轴对称又中心对称。作正多边形用等分圆周：正六边形取半径长依次截取即可（），正四边形作两条互相垂直的直径，正三角形隔点连接正六边形的顶点。 易错　①中心角与外角记成互补；　②"各边相等"直接当成充分条件（未区分内接、外切）；　③奇数边正多边形说成中心对称；　④作正六边形时用边心距去截圆周。 要点　中心角＝外角＝内接看角、外切看边；正六边形 1． 给出下列说法： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形． 其中正确的是  （  ） A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确 　思路分析　　本题主要考查了正多边形与圆的关系；根据正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数． 解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确； ②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误； ③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确； ​正确的为①④，故选A． 2． 一个正多边形的中心角为这个正多边形的边数是  （  ） A．5 B．8 C．10 D．12 　思路分析　　本题考查正多边形的性质，用360度除以中心角的度数可得正多形的边数． 解：由题意可得： 边数为 则它的边数是10．故选C． 3． 如果一个正多边形的每个外角都为那么这个多边形的中心角为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=即可得出结果． 解：正多边形的每一个外角都等于 ​正多边形的边数n==10， ​这个正多边形的中心角=故选A． 4． 一个正多边形绕它的中心旋转后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形 （  ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 　思路分析　　根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解：一个正多边形绕着它的中心旋转后，能与原正多边形重合，=8，这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选C． 5． 把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转       度，才能与原来的图形重合． 　思路分析　　根据旋转的性质，最小旋转角即为正五边形的中心角． 解：正五边形被半径分为5个全等的三角形,且每个三角形的顶角为72∘， 正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合,最小的旋转角度数是72∘．故答案为72． 6． 若正多边形的边心距与边长的比为则这个正多边形的边数是      ． 　思路分析　　边心距与边长的比为1：2，即边心距等于边长的一半，进而可知半径与边心距的夹角是45度．可求出中心角的度数，从而得到正多边形的边数． 如图， ​圆A是正多边形的内切圆； ​是边长的一半， ​正多边形的边心距与边长的比为1：2，即 ​是等腰直角三角形， ​即正多边形的中心角是90度， ​它的边数=360÷90=4．故答案为4． 7． 如图，在⊙O中，MF为直径，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径则A=      ．（结果保留根号） 　思路分析　　连接AG，由作图可知，H为OF中点，可求OH=由勾股定理得AH=可求OG=1，由勾股定理A=4+（1）即可． 解：连接AG，由作图可知，H为OF中点， ​ 在Rt中，由勾股定理 ​ ​ ​OH=1， 在Rt中，由勾股定理得， ​=4+（1）．故答案为：102． 8． 按要求作图： （1）在图1中画的内接正三角形； （2）在图2中画的内接正八边形． 　思路分析　　（1）利用正六边形的每个角都是每段弧所对应的圆周角是间隔选取这两个点，则能保证圆弧所对应的圆周角是即可作出正三角形． （2）先作出互相垂直的两条直径，是为了将每段弧等于再利用垂直平分得到的弧，即可得到圆周上的8个等分点，依次连接即可作出正八边形． （1）解：以圆的半径长为半径，在圆周上依次截取得到6个等分点，先画的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，是的内接正三角形． （2）解：先画圆的两条互相垂直的直径，4个端点顺次连接，画出圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用圆规分别作的垂直平分线，交圆于点依次连接8个点，即可作正八边形．如图，八边形是的内接正八边形． 9． 已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：连接并延长交于点分别以点为圆心，以长为半径画弧，交分别于点进而构造内接正六边形即可． 　题型 2　　半径、边心距、边长与面积 知识梳理 半径 边心距 边长 构成直角三角形： 正多边形的计算全在一个小直角三角形里：半径是斜边、边心距是直角边、半条边是另一直角边，顶角是半个中心角 把图画出来、把这个三角形标出来，剩下的就是解直角三角形。 几个常用结论要背到能直接用：正六边形 正方形 正三角形 。遇到"正六边形对角线"就用两条对角线长 去算。 面积有两条路：拆成 个等腰三角形，；或者整体用周长乘边心距的一半。题目若给的是面积反求边长，优先设边心距或半径作未知量，比设边长少一层根号。 易错　①把半径当成边长（正六边形才恰好相等）；　②半中心角写成整个中心角；　③面积公式漏掉 　④正八边形求"中心到弦的距离"时误用半径。 要点　三线段共一个直角三角形，半中心角是它的锐角；。 1． 如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是 （  ） A．1 B．2 C． D． 　思路分析　　如图，连接BD，根据圆周角定理可得BD为⊙O的直径，利用勾股定理求出BD的长，进而可得⊙O的半径的长． 如图，连接BD， ​四边形ABCD是正方形，边长为2， ​ ​ ​正方形ABCD是⊙O的内接四边形， ​BD是⊙O的直径， ​⊙O的半径是 故选：C． 2． 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形若对角线的长约为则正六边形的边长为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　如图，连接CF与AD交于点O，易证为等边三角形，从而=OD=AD，即可得到答案． 解：连接CF与AD交于点O， ​为正六边形， ​=mm， ​为等边三角形， ​mm， 即正六边形的边长为 故选：D． 3． 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度则螺帽边长      cm． 　思路分析　　根据正六边形的性质，可得根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案． 解：如图：作于D 由正六边形，得 ​ ​． 由得CD=． cos即 解得a=故答案为：． 4． 若正六边形的边心距为则该正六边形的边长是      ，半径是      ，周长是      ，面积是       　思路分析　　正六边形可被中心与顶点的连线分为6个全等的等边三角形，作边心距构造直角三角形，利用勾股定理即可计算求解． 解：正六边形的中心角为正六边形的半径等于边长，且半径、边心距、边长的一半构成直角三角形， 设正六边形的边长为则半径也为边长的一半为 根据勾股定理得 整理得 故 解得或（舍去）， 故正六边形的边长是4，半径是4，周长是面积是． 5． 如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若则点O到AC的距离为      ． 解：连接OB交AC于M， ​正八边形ABCDEFGH内接于⊙O， ​ ​ ​ ​ ​（）= ​ ​ 在Rt中， ​O ​=16， ​ 在Rt中， ​ ​=（2） ​ ​点O到AC距离为2， 故答案为：2． 6． 已知四边形为的内接正四边形，若的半径为1，则正四边形的边长为      ，边心距为      ． 　思路分析　　根据四边形为的内接正四边形得出利用勾股定理求出可得正四边形的边长，根据等腰直角三角形的性质得出即可得出边心距． 解：如图，连接过点作于 ​四边形为的内接正四边形，的半径为1， ​ ​是等腰直角三角形， ​即正四边形的边长为 ​ ​即边心距为． 7． 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的      倍．（精确到个位） 　思路分析　　根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可． 解：如图 由题意得AC与EF共线 ​圆的直径与正方形的对角线之比为3：1 ​EF：1 ​OE：1 设x，OA= x 在正方形ABCD中 由勾股定理得：AD=x ​圆的面积为：（3x） 正方形的面积为（x） ​≈14 故答案为：14 8． 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． （1）求该地基的周长； （2）求该地基的面积（结果保留根号形式）； （3）若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 　思路分析　　本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于求出再求出即可求出结论； （3）求出再求出即可求出结论． （1）解：连接 ​六边形是正六边形， ​ ​是等边三角形， ​ ​正六边形的周长 （2）解：过作于 ​是等边三角形， ​ ​于 ​ ​在中，由勾股定理 ​ ​ （3）解：是等边三角形， ​ ​于 ​ ​在中，由勾股定理 ​ ​． 9． 如图，的周长等于正六边形内接于求边心距的长． 　思路分析　　先求出的半径和一边所对的圆心角，再作出边心距，解直角三角形即可求出答案． 解：如图，连接作于点H． ​的周长等于 ​ ​． ​六边形是正六边形， ​ ​ ​ 在直角三角形中， ​ ​ 解得（负值舍去）， ​边心距的长为． 10． 如图，正六边形内接于若的内接正三角形的面积为 ，试求正六边形的周长． 解: 如图，连接作于点H，则． 在中，设则 ​ 而的面积是面积的6倍， 即 解得 即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48． 11． 某中学在校园里建了一个读书亭．如图，它的地基是半径为的正六边形． （1）求地基的周长是多少？ （2）求地基的面积是多少？ 　思路分析　　（1）连接求出圆心角的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长； （2）利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出的长，利用三角形的面积公式即可解答．本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键． （1）连接 ​它的地基是半径为的正六边形 ​ ​是等边三角形， ​ ​正六边形的周长为（米）． （2）如图，过点O作于点G， ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​正六边形的面积为． 　题型 3　　正多边形中的角与相切问题 知识梳理 正多边形顶点都在外接圆上，故圆周角等于所对中心角的一半；圆与边相切时，切点处半径垂直于该边 正多边形的顶点都在外接圆上，所以求角就回到圆周角定理：圆周角等于同弧所对中心角的一半。例如正五边形里 对着 而那条弧只含一个中心角 故为 关键是数清楚这条弧夹了几条边。 圆心与相邻两顶点连成的三角形是等腰三角形，顶角是一个中心角；弦切角、圆周角都可以用它来算。遇到正八边形、正十二边形这类边数多的图形，先标出中心角，再把要求的角拆成几个中心角的和差。 相切题的入口只有一个：连半径、得垂直。圆与正多边形的两条边分别相切，两条半径都垂直于各自的边，于是 与多边形在这两条边之间的内角互补（或与中心角互余），用四边形内角和一步算出。 易错　①数错弧所夹的边数，圆周角算成整角；　②相切题不连半径，直接套结论；　③把"圆心与顶点连线"当成角平分线之外的线；　④正十二边形改造题不先画图定位新增顶点。 要点　圆周角＝所对中心角的一半；相切必连半径得垂直。 1． 如图，点为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若则这个正多边形的边数为 （  ） A．5 B．10 C．12 D．20 　思路分析　　作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到根据中心角的定义即可求解． 解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ​ ​这个正多边形的边数为=10．故选：B． 2． 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则的度数是       ． 　思路分析　　先利用正多边形的性质求出度数、再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 解：正五边形ABCDE内接于⊙O， ​ ​（）=故答案为：． 3． 如图，正五边形内接于连接则的度数是      ． 　思路分析　　先根据正五边形的内角公式求出再由等边对等角结合三角形内角和定理求出即可． 解：正五边形内接于 ​ ​． 4． 如图，半径为1的与正五边形的边分别相切于点则的度数为      ． 　思路分析　　根据正五边形性质及多边形内角和公式求出再根据圆的切线性质得最后再根据四边形内角和为即可求出的度数． 解：如图， ​五边形是正五边形， ​ ​与正五边形的边分别相切于点 ​ ​ ​的度数为． 5． 如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为      度． 　思路分析　　根据正多边形内角和公式可求出根据切线的性质可求出从而可求出然后根据圆弧长公式即可解决问题． 解：五边形ABCDE是正五边形， ​． ​AB、DE与相切， ​ ​故答案为144． 6． 如图，某酒店有一张桌面边长为2米的正六边形桌子，每边围坐两人（平均每人占据1米长的桌沿），可坐下12人．现酒店方想将桌面改成正十二边形，每边坐1人，也可坐下12人．改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后，围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少       米．（精确到0.01米，参考数据：≈1.73） 　思路分析　　如图，由题意得，=DE，过A作于H，设BH则BC=x，解直角三角形即可得到答案． 解：如图，由题意得，=DE， ​ 过A作于H， ​BH， 设BH则BC=x， ​x， ​米， ​x+2x=2， 解得x≈0.46， ​x=0.92， ​围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少1-0.92=0.08（米）， 答：围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少0.08米．故答案为：0.08． 7． 图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，图②所示的是其部分示意图．已知司南中心为圆形，圆心为根据八个方位将圆形八等分（图②中点）且顺次连接点构成正八边形，连接求的度数． 　思路分析　　连接由图及其对称性可知为的直径，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出的度数． 解：如图，连接． ​八边形是正八边形， ​由图及其对称性可知为的直径， ​． 　题型 4　　网格坐标、旋转滚动与阅读理解 知识梳理 网格题先定一个顶点坐标，再按边长与中心角逐点推；滚动问题看每次滚动转过的角度与落点 坐标系里的正多边形，先定一个顶点的坐标，再按"边长＋方向"逐点推。正六边形的边只有三个方向（水平与两条斜线，各差 ），把这三个方向的位移量先算好，后面就是一次次加减。 滚动、跳棋、平移重合这类过程题，不要一年一年（一次一次）地数，先找周期。滚动一圈回到原状需要的次数、两枚棋子相遇的周期，都能用"边数 × 单次步长"算出来，再用总数除以周期取余。 阅读理解题（割圆术、彩陶纹样、正十二边形桌面改造）看起来长，其实只考一两步：先把文字翻译成"圆的半径是多少、正几边形"，再按前三个题型的通法算。改造题注意新增的顶点是截角产生的，边长关系要在图上标出来才能算对。 易错　①坐标系里方向搞反，位移量符号错；　②过程题逐次数，不找周期；　③余数为 时落点位置判断错；　④改造题把"截去的长度"当成"新边长"。 要点　网格先定一点再逐点推；过程题先找周期再用余数。 1． 如图，峰巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质等知识，连接设正六边形的边长为由正六边形的性质及点的坐标可求得的值，即可求得点的坐标． 解：连接如图，设正六边形的边长为 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​点的坐标为 ​ 即 ​ ​点的坐标为． 故选：A． 2． 如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题． 解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点作于点于点 根据题意，正六边形纸片边长为即 ​ ​ ​ ​在中， 同理， ​ ​正六边形的面积 ​将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度， 又 ​阴影部分的面积 ​空白部分与阴影部分面积之比是．故选：A． 3． 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳1个顶点，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是  （  ） A．8 B． C．4 D．0 　思路分析　　分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论． 解：红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点， ​红跳棋每过6秒返回到A点， ​ ​经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点， ​黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳3个顶点， ​黑跳棋每过18秒返回到A点， ​…6， ​经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点， 连接AE，过点F作 由题意可得： ​ ​ 在中， ​ ​经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是．故选：B． 4． 如图，已知正六边形边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到的距离为 （  ） A．3 B．4 C． D． 　思路分析　　本题考查正多边形的性质，正多边形的外接圆，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接交于点O．由都是等边三角形，推出可得结论． 解：连接交于点O，如图 则点O为外接圆的圆心， ​在正六边形的边上距离最远的点是 ​正六边形边长为2， ​ ​都是等边三角形， ​ ​．故选：B． 5． 如图，在正六边形中，点在边上，且若经过点的直线l将正六边形的面积二等分，则直线l被六边形所截的线段长为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　经过正六边形中心的直线可以将正六边形的面积二等分，画出图形，利用勾股定理求解即可． 解：连接交于点O，连接并延长，交于点I，作于N， ​将正六边形的面积二等分， 在正六边形中， ​ 所以， 因为 所以 ​ 则故选：D． 6． 在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，分别是上的格点，．若点是这个网格图形中的格点，连接则所有满足的中，边的长的最大值是       　思路分析　　作线段中点作的垂直平分线并使以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心此时最大，等于圆的直径，得出则即可求解． 解：作线段中点作的垂直平分线并使以为圆心，为半径作圆，如图， ​为垂直平分线且 ​ ​ ​ ​弦所对的圆的圆周角为 ​点在圆上，为圆的弦， 通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心 ​此时最大，等于圆的直径， ​ ​ ​ ​ ​故答案选 ． 7． 如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是      ．（结果保留） 　思路分析　　本题考查等边三角形的判定与性质，圆心角，弧长公式，正多边形和圆的综合，掌握知识点是解题的关键． 令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，推导出为等边三角形，得到则得到“花瓣”图案的周长是即可解答． 解：如图，令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，有 ​ ​为等边三角形， ​ ​ 则“花瓣”图案的周长是．故答案为：． 8． 如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点以点为圆心，为半径做弧交于点同上述作图方法逆时针做出点依次连接则这个多边形的周长为      ． 　思路分析　　本题考查多边形的周长，解题的关键是根据作图可得多边形的边长等于圆的半径．据此解答即可． 解：的半径为 ​ 根据作图过程可得： ​这个多边形的周长为： 即这个多边形的周长为．故答案为：． 9． 已知四个正六边形按图所示的方式摆放在圆中，顶点在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长为      ． 　思路分析　　通过连接辅助线，利用正六边形的性质和勾股定理求出相关线段长度，进而得出小正六边形的边长． 如图，连接交于点则点是圆心，过点作于点连接取的中点连接． 由对称性可知，． 由正六边形的性质可得 ​ ​． 由正六边形的性质可知，是等边三角形， ​即小正六边形的边长为． 故答案为：． 10． 用等分圆周的方法画下列图形，并简述作图过程． 　思路分析　　根据正多边形和圆的性质求解即可． 解：作法一　用半径依次截圆周，使 再把相隔一个分点的点连起来：连接 得正三角形，连接 得另一个正三角形（如图 1）． 作法二　作 得到圆周的五等分点，再连接 即得正五边形（如图 2）． 11． 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）画出的图形，连接若的半径为则的周长为      ． 　思路分析　　（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接设的交点为D，得到根据的半径为是直径，是等边三角形，计算即可． 本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． （1）作图如下，点A，B，C是求作的的圆周三等分点： （2）连接设的交点为D， 根据垂径定理得到 ​的半径为是直径，是等边三角形， ​ ​ ​的周长为 故答案为：． A 组　基础题 必做｜圆内接多边形的角度与基本计算 1． 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是 （  ） A． B． C．AC平分 D．BAD=180 　思路分析　　以点O为圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可． 如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知： ​=．即点A、B、C、D都在圆O上． A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知． 故A不符合题意． B．所以根据圆周角定理可知． 故B不符合题意． C．当时，所以此时AC不平分． 故C符合题意． D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选：C． 2． 如图，在中，D是AC上一点，且E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为      ． 　思路分析　　根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆． 即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小．由勾股定理可求出BC的长，设则在中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值． 解：根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图． ​ 在中，． 设则 ​在中，即 解得：（舍）． 故BF的最小值为． 故答案为：． 3． 如图，已知=AD，则的度数为 解：=AD， ​B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， ​ ​ ​．故答案为：． 4． 如图，在四边形中，若则      ． 　思路分析　　根据的圆周角所对的弦是直径，得到点在以为直径的同一个圆上，再利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 解： ​四点共圆， ​ ​． 5． 如图，在四边形ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若则的度数为      度． 　思路分析　　​ 说明 四点共圆， 是圆心，圆心角是圆周角的两倍． 解： 是 的中点，即 为过 四点的圆心． ​． 在等腰 中，． B 组　提升题 必做｜最值、动点与多问推理 1． 如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为则周长的最小值是 （  ） A．4 B．5 C．6 D．7 　思路分析　　由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′=1，连接AA′交BD于点N，取连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解． 解：连接AC， ⊙O的面积为6则圆的半径为则=AC， 由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点， 过点C作CA′∥BD，且使CA′=1， ​CA′⊥AC， 连接AA′交BD于点N，取连接AM、CM，则点M、N为所求点， 理由：且A′C=MN，则四边形MCA′N为平行四边形， 则A′N= 故的周长=AM+AN+′+1为最小， 则A′A==5， 则的周长的最小值为5+1=6，故选：C． 2． 如图，在中，是平面内一动点，且取的中点连接则线段的最大值为      ． 　思路分析　　如图所示，取的中点O，根据线段中点的定义得到再根据得到点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，故当在线段上时，有最大值，据此求解即可． 解：如图所示，取的中点O， ​ ​ ​E是的中点， ​ ​ ​点P在以的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动， ​当在线段上时，有最大值， 连接交于D，则点P运动到点D时有最大值， 由勾股定理得 ​ ​的最大值为 故答案为：． 3． 如图 ，点 在内部且则 的最大值是       　思路分析　　此题主要考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质、解直角三角形的性质．连接在上取一点，使得根据题意可得四点共圆，再证明得到故可得到当最大时，四边形的周长最大，则＋最大，根据解直角三角形的性质得到的长，故可求解． 如图，连接在上取一点，使得 ​ ​ ​四点共圆， ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形的周长为 ​ ​当最大时，四边形的周长最大，则最大， ​当是的外接圆的直径时，最大， 此时点在中点处， ​ ​ ​最大为故答案为：． 4． 如图，M为斜边的中点，分别在上，．求证：． 　思路分析　　利用圆内接四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线定理，圆周角定理，等角对等边得到最后用勾股定理得到结论． 证明：如图，连接交于点O， ​ ​四边形是圆内接四边形，是圆的直径，且圆心为 设交于另一点连接．则． ​为的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 即． 5． 圆周率的故事 我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值． （1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为      ，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式可以估算      ． （2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计的值． 　思路分析　　（1）由正方形的边长AB用勾股定理得求AC=由直径等于正方形对角线长可得由正方形的周长4a等于它的外接圆周长可求得即可； （2）设正六边形的边长AB可知正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m．由C=可得即可． （1）正方形的边长AB 在Rt中，由勾股定理得， ​ ​ ​正方形的对角线长为 ​ ​ ​用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长， C= ​ 故答案为 （2）解：设正六边形的边长AB 则该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m． ​ ​ 所以估算值为3． 6． 问题探究： （1）请在图①的正方形ABCD内，画出使的一个点，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使的所有的点P，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，．工人师傅想用它裁出两块全等的．面积最大的和'D钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和P和P'． 　思路分析　　（1）因为正方形的对角线互相垂直，所以连接AC、BD交于点O，O即为所求； （2）①以AB为边在正方形内作等边②作的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．因为在圆O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为所以弧EF上的所有点均为所求的点P； （3）因为和′D的面积最大，所以同（2）：①连接AC；②以AB为边作等边③作等边的外接圆O，交AC于点P；④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求． 解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则． ​点P为所求 （2）如图②，画法如下： ①以AB为边在正方形内作等边 ②作的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F． ​在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为, ​弧EF上的所有点均为所求的点P （3）如图③，画法如下： ①连接AC； ②以AB为边作等边 ③作等边的外接圆O，交AC于点P； ④在AC上截取AP′=CP．则点P、P′为所求 C 组　拓展题 选做｜反例辨析与圆内接多边形的探究 1． 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形． 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图，是正三角形，六边形的各内角相等，但它不是正六边形． 丙同学：边数是3时，它是正多边形，我想…，边数是5时，它可能也是正多边形． （1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等，但它不是正六边形； （2）请你证明，各内角都相等的圆内接五边形（如图）是正五边形；（不必写已知，求证） （3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明） 　思路分析　　（1）由得出AFC=DAF，同理可证其余各角都等于AFC，即可证明乙同学构造的六边形各内角相等； （2）由圆周角定理可得再由圆心角、弧、弦的关系可得==AE，即可证明各内角都相等的圆内接五边形ABCDE是正五边形； （3）根据题干当中的例子和以上两题的结论可以​猜想：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形；当边数是偶数时，各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． （1）证明：由题图1可知AFC对DAF对 ​ ​ ​AFC=DAF． 同理可证，其余各角都等于AFC， 故乙同学构造的六边形各内角相等， ​即 ​它不是正六边形； （2）证明：A对B对A ​ ​ 同理可证， ． ​==AE， ​各内角都相等的圆内接五边形ABCDE是正五边形； （3）由（1）、（2）可猜想：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形； 由题干可猜想：当边数是偶数时，各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 2． （1）已知：如图1，是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：+PC； （2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：+PB． 　思路分析　　（1）延长BP至E，使连接CE，证明是等边三角形．利用得到所以=PB+PC； （2）过点B作交PA于E，证明所以可得+PB． 证明：（1）延长BP至E，使连接CE，如图1， ​A、B、P、C四点共圆， ​BPC=180 ​EPC=180 ​ ​是等边三角形， ​ 又 ​ ​为等边三角形， ​ 在和中， ​ ​（SAS）， ​=PB+PC； （2）过点B作交PA于E，如图2， ​ ​ ​ ​ ​PB， 在和中， ​ ​（SAS）， ​ ​++PB． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $