30.3 正多边形与圆（预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦“正多边形和圆”核心知识点，系统梳理正多边形的概念（中心、半径、中心角、边心距）、相关计算（中心角、内角、外角、面积公式）及正n边形画法，构建从概念理解到计算应用再到作图实践的学习支架。 该资料以题型归纳为特色，通过例题与变式题结合，融入古代建筑、蜂巢结构等现实情境，培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后巩固练习助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第三十章 直线与圆的位置关系 03讲 正多边形和圆 题型归纳 【知识点1 与正多边形有关的概念 1】 【知识点2 与正多边形有关的计算 1】 【知识点3 正n边形的画法 2】 【题型1. 正多边形中心角的求解 2】 【题型2. 求正多边形的边数 4】 【题型3. 正多边形和圆的综合 6】 【题型4. 尺规作图——正多边形 13】 【巩固练习 16】 知识清单 知识点1 与正多边形有关的概念 1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.中心的概念：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 3.半径的概念：外接圆的半径叫做正多边形的半径. 4.中心角的概念：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角. 5.边心距的概念：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 知识点2 与正多边形有关的计算 1.正n边形的中心角 2.正n边形的每个内角 3.正n边形的每个外角 【提示】 ① 正多边形的中心角和外角的大小相等； ② 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，如图； ③ 设正多边形的面积为S，周长为l，边心距为r，则 . 知识点3 正n边形的画法 求作：画一个边长为1.5cm的正六边形 步骤：（1）以1.5cm为半径作一个⊙O； （2）用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧； （3）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的6个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形. 【提示】对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作： 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（图24.3-6（2））. 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（图24.3-7）. 题型专练 题型1. 正多边形中心角的求解 【例1】正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 【变式1】正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值．其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的中心角，解决问题的关键是熟练掌握正多边形的中心角的定义及计算方法． 正多边形的中心是正多边形的外接圆的圆心，正多边形的中心角是正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，据此即可解答， 【详解】解：如图， 设正方形的中心为点O， 则 故选：B． 【变式2】如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转．若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形，根据正五边形的中心角为，得到当旋转角度为的倍数时，五角星能与自身重合，判断即可． 【详解】解：∵五角星为正五边形， ∴中心角的度数为：， ∴当旋转角度为的倍数时，五角星能与自身重合， 故旋转角至少为； 故选D． 【变式3】若一个正多边形的每一个外角都为，则这个正多边形的中心角度数为________． 【答案】 【分析】先根据多边形外角和为求出正多边形的边数，再计算中心角度数即可． 【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角都为，任意多边形的外角和为． ∴这个正多边形的边数为． ∵正多边形的中心角和为． ∴这个正多边形的中心角度数为． 题型2. 求正多边形的边数 【例1】已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 【变式1】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 【变式2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 【变式3】若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆内接正n边形的中心角公式是解题的关键． 根据圆内接正n边形的中心角度数为，建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：12． 题型3. 正多边形和圆的综合 【例1】如图，正五边形内接于 ，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于 ， ∴, ∴， 故选：A． 【例2】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，结合的周长等于，得出的半径，再证明是等边三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的周长等于， ∴的半径， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点O作， ∴， 则， ∴正六边形的内切圆的半径为， 故答案为：． 【例3】如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 【变式1】如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴为等边三角形， ∵的半径等于3，即， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 【变式2】如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接，在上任意取一点Q，连接，，根据正六边形的性质求出，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，然后求出结果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 ，是解决问题的关键． 【详解】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解： 的半径为1， 的面积， 如图，设是内接正十二边形的一条边，连接，， ∴， ∵圆的内接正十二边形的中心角为， ∴ 过点A作于点C， ， 圆的内接正十二边形的面积， ． 故选：A． 【变式4】如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 【变式5】如图，四边形是的内接正方形．若正方形的面积等于16，则的面积等于______． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解． 【详解】解：正方形的边长， 则半径是， 则面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的计算，解决问题的关键是根据正方形的面积求得半径． 【变式6】如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 题型4. 尺规作图——正多边形 【例1】试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【答案】如图，十二边形即为所求． 【分析】在上任取一点，连接，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，再分别作，，，，，的垂直平分线交于，，，，，，连接，，，，，，，，，，，，十二边形即为所求． 【详解】略 【变式1】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 【变式2】如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 【变式3】在等边中，按如下步骤作图： ①延长； ②以为圆心，以为半径作圆，交于点； ③以为圆心，以为半径作圆，交于点； ④以为圆心，以为半径作圆，交于点； ⑤连接． (1)求证：． (2)尺规作图完成正六边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】（1）连接，易得，进而得到为等边三角形，得到，再根据平角的定义即可得出结论； （2）以为圆心，的长为半径画圆交于点，以为圆心，的长为半径画圆，两圆交于点，连接，即可． 【详解】（1）解：连接，由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：由题意，作图如下： 巩固练习 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 3．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：C． 6．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 /36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为_______． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 9．（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 10．（2026·河南周口·一模）我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 【答案】/ 【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，根据阴影面积圆的面积−正六边形的面积即可得出结果． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，连接,则，作于点，则， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 即的半径为2， ∴ ∴，的面积为， ∴， ∵正六边形可分为六个边长为2的等边三角形， ∴正六边形面积为． ∴阴影面积为． 11．（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 【答案】 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是． 12．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得，运用圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接 正五边形内接于， ， ． 13．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 【答案】正方形的面积比圆的面积多约27.4% 【分析】先求出圆的半径，再求圆的面积，再根据正方形的边长即为圆的直径，求出正方形的边长，最后用正方形的面积与圆的面积之差比上圆面积，即可得出答案． 【详解】解：设圆的周长为c，半径为r，正方形边长为a， ， ， 最大的圆，直径与正方形的边长相等， ， ， ． 答案：正方形的面积比圆的面积多约27.4%． 14．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1)是，见解析 (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 03讲 正多边形和圆 题型归纳 【知识点1 与正多边形有关的概念 1】 【知识点2 与正多边形有关的计算 1】 【知识点3 正n边形的画法 2】 【题型1. 正多边形中心角的求解 2】 【题型2. 求正多边形的边数 3】 【题型3. 正多边形和圆的综合 4】 【题型4. 尺规作图——正多边形 6】 【巩固练习 7】 知识清单 知识点1 与正多边形有关的概念 1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.中心的概念：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 3.半径的概念：外接圆的半径叫做正多边形的半径. 4.中心角的概念：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角. 5.边心距的概念：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 知识点2 与正多边形有关的计算 1.正n边形的中心角 2.正n边形的每个内角 3.正n边形的每个外角 【提示】 ① 正多边形的中心角和外角的大小相等； ② 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，如图； ③ 设正多边形的面积为S，周长为l，边心距为r，则 . 知识点3 正n边形的画法 求作：画一个边长为1.5cm的正六边形 步骤：（1）以1.5cm为半径作一个⊙O； （2）用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧； （3）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的6个等分点； （4）顺次连接各分点，即可得到正六边形. 【提示】对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作： 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（图24.3-6（2））. 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（图24.3-7）. 题型专练 题型1. 正多边形中心角的求解 【例1】正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值．其独特的美学魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转．若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角至少为（　　） A． B． C． D． 【变式3】若一个正多边形的每一个外角都为，则这个正多边形的中心角度数为________． 题型2. 求正多边形的边数 【例1】已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1】如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【变式2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式3】若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______． 题型3. 正多边形和圆的综合 【例1】如图，正五边形内接于 ，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为______． 【例3】如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【变式1】如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【变式2】如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【变式5】如图，四边形是的内接正方形．若正方形的面积等于16，则的面积等于______． 【变式6】如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 题型4. 尺规作图——正多边形 【例1】试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【变式1】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【变式2】如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【变式3】在等边中，按如下步骤作图： ①延长； ②以为圆心，以为半径作圆，交于点； ③以为圆心，以为半径作圆，交于点； ④以为圆心，以为半径作圆，交于点； ⑤连接． (1)求证：． (2)尺规作图完成正六边形．（不写作法，保留作图痕迹） 巩固练习 1．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 8．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为_______． 9．（2026·江苏连云港·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 10．（2026·河南周口·一模）我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 11．（25-26九年级上·陕西延安·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 12．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 13．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 14．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章直线与圆的位置关系 03讲正多边形和圆 题型归纳 【知识点1与正多边形有关的概念… 1】 【知识点2与正多边形有关的计算… 1】 【知识点3正n边形的画法 2】 【题型1.正多边形中心角的求解… …2】 【题型2.求正多边形的边数… 4】 【题型3.正多边形和圆的综合 6】 【题型4.尺规作图一一正多边形 13】 【巩固练习…16】 知识清单 知识点1与正多边形有关的概念 1正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形， 2.中心的概念：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 中心角》 半径R 3.半径的概念：外接圆的半径叫做正多边形的半径 0 边心距 4中心角的概念：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角， 5边心距的概念：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距， 图24.3-3 知识点2与正多边形有关的计算 1.正n边形的中心角a=360 n 2.正n边形的每个内角n-2）180 3正n边形的每个外角a,=36 n 1/26 【提示】 ①正多边形的中心角和外角的大小相等： ②正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，如图； ®设正多边形的面积为5，周长为，边心距为n则S=r。 知迟点3正n边形的画法 求作：画一个边长为1.5cm的正六边形 步骤：(1)以1.5cm为半径作一个⊙0： (2)用量角器画一个等于360=60的圆心角，它对着一段弧； 6 (3)在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的6个等分点； (4)顺次连接各分点，即可得到正六边形 【提示】对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作： 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把 圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（图24.3-6(2）) 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（图24.37）. 0 (1) (2) B 图24.3-6 图24.3-7 型专练 题型1.正多边形中心角的求解 【例1】正六边形的中心角是() A.60° B.1209 C.360° D.720° 2/26 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的中心角.据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心 角是：360°÷6=60°，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键. 【详解】解：正六边形的中心角是：360°÷6=60°. 故选：A 【变式1】正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值.其独特的美学 魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形 的中心角的度数为() A.60° B.90° C.120° D.180° 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的中心角，解决问题的关键是熟练掌握正多边形的中心角的 定义及计算方法， 正多边形的中心是正多边形的外接圆的圆心，正多边形的中心角是正多边形每一边所对的外 接圆的圆心角，据此即可解答， 【详解】解：如图， B 设正方形ABCD的中心为点O, 则∠A0B=360°÷4=90° 故选：B 【变式2】如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合，则 旋转角至少为() A.30° B.36° C.60° D.72° 【答案】D 3/26 【分析】本题考查旋转对称图形，根据正五边形的中心角为72°，得到当旋转角度为72°的 倍数时，五角星能与自身重合，判断即可. 【详解】解：五角星为正五边形， 中心角的度数为：警=72， .当旋转角度为72的倍数时，五角星能与自身重合， 故旋转角至少为72°： 故选D. 【变式3】若一个正多边形的每一个外角都为45°，则这个正多边形的中心角度数为 【答案】45° 【分析】先根据多边形外角和为360°求出正多边形的边数，再计算中心角度数即可. 【详解】解：一个正多边形的每一个外角都为45°，任意多边形的外角和为360°. “这个正多边形的边数为器=8。 ,正多边形的中心角和为360°. ∴这个正多边形的中心角度数为6g=450 题型2。求正多边形的边数 【例1】己知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是() A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题 的关键.根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于360（为边数）. 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是把=12， 故选：A. 【变式1】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=20°， 则这个正多边形的边数为() 4/26 A.9 B.10 C.18 D.20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键.根据圆周 角定理得到∠A0B=2LADB=40°，即可得到结论， 【详解】解：？A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， 点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∠ADB=20°， ∠AOB=2∠ADB=40°， 这个正多边形的边数=360=9， 40° 故选：A, 【变式2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O,若LBOC是正n边形的一个中心角， 则n的值为() A.16 B.12 C.10 D.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，己知正多边形的中心角求边数等知识点，熟 练掌握正边形的每个中心角都等于9是解题的关键. 连接0A,由正六边形与正方形可得∠A0B=60°，∠AOC=90°，进而可得∠B0C=LA0C ∠40B=30°，再由“正n边形的每个中心角都等于360，即可得出答案。 【详解】解：如图，连接OA, 正六边形与正方形， 5LA0B=6℃=60，A0C=g=902, +∠B0C=∠A0C-∠A0B=90°-60°=30°， 5/26 :∠BOC是正n边形的一个中心角， :n=360=12, 30° 故选：B. 【变式3】若一个圆内接正n边形的中心角是30°，则n的值为 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆内接正边形的中心角公式是解题的关键， 根据圆内接正n边形的中心角度数为，建立方程求解即可。 【详解】解：由题意得，360=30， 解得n=12, 故答案为：12. 题型3.正多边形和圆的综合 【例1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为() A.36 B.54° C.60° D.72° 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理：连接0C,OD,先求得中心角∠C0D=72°， 进而根据圆周角定理，即可求解 【详解】解：如图所示，连接0C,OD, A ,正五边形ABCDE内接于⊙O, 6/26 ∴.1C0D=;×360°=72 ÷∠CPD=C0D=36, 故选：A 【例2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的周长等于6π，则正六边形的内切圆 的半径为 【答案】9 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，内切圆的半 径，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先连接A0,0F,结合⊙0的周长等于6π，得出⊙0 的半径，再证明△AOF是等边三角形，然后运用勾股定理列式计算，即可作答. 【详解】解：连接AO,OF,如图所示： ,⊙0的周长等于6m, .⊙0的半径=6π÷2÷π=3， ,正六边形ABCDEF内接于⊙O, .LA0F=60°， ,A0=0F=3, ∴.△AOF是等边三角形， 过点O作OH1AF, ∴AH=AF=A0= 7/26 则0=a0-Am=9-9 正六边形的内切圆的半径为 故管案为：9 【例3】如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可 以近似的看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长. 图1 图2 【答案】30m 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点 是解题的关键。 根据题意得到∠AOB=360=60.AB=BC=CD=DE=EF=AF,得到△A0B是等边三 6 角形，得出AB=0A=5m,即可得到答案. 【详解】解：六边形ABCDEF是正六边形， ÷LA0B=360=60°.AB=BC=CD=DE=EF=AF, 6 0A 0B, △AOB是等边三角形， .AB =0A =5m, ∴正六边形ABCDEF的周长=6×5=30m. 【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的半径等于3，则正六边形的边长BC 的长为() A.V3 B.3 C.6 D.9 【答案】B 8/26 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接OB、OC,由题意证明 △BOC为等边三角形，得出BC=3,即可得解. 【详解】解：如图，连接OB、OC, E :∠B0C=360°÷6=60,0B=0C, ∴.△B0C为等边三角形， ,⊙0的半径等于3，即0B=3, .BC=OB=3,即正六边形的边长为3， 故选：B. 【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是CD上一点（不与点C,D重合），连 接CP,DP,则∠CPD的度数为() A.165 B.150 C.120° D.108° 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接OC、OD,在AB 上任意取一点Q,连接QC,QD,根据正六边形的性质求出∠C0D=36°=60°，根据圆周角 6 定理得出∠CQD=∠C0D=30,根据圆内接四边形的性质得出zCPD+∠CQD=180°，然 后求出结果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠CQD=30°，是解决问题 的关键. 【详解】解：连接OC、OD,在AB上任意取一点Q,连接QC,QD,如图： 0 D 9/26 ,多边形ABCDEF是正六边形， ∠c0D=36c=60° 6 ∴CQD=c0D=30, ,四边形CPDQ为圆内接四边形， .∠CPD+∠CQD=180°， .LCPD=180°-30°=150°. 故选：B. 【变式3】我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来 近似计算圆的面积.如图，若用圆内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S,设⊙0 的半径为1，则S-S1=() 0 A.π-3 B.π-1 C.π-2 D.2m-3 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面 积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S1=3,即可得出结论 【详解】解：⊙0的半径为1， ∴⊙0的面积S=π， 如图，设AB是⊙O内接正十二边形的一条边，连接0A,OB, ∴.0A=0B=1, :圆的内接正十二边形的中心角为答=30， .∠A0B=30° 过点A作AC L OB于点C, 10/26 AC=T0A= 圆的内接正十二边形的面积S1=12S△40B=12×0B·AC=12×2×1×=3, S-S1=π-3. 故选：A 【变式4】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,则∠BAD的度数为 0. 【答案】72 【分析】根据正多边形内角公式求出∠BAB=∠B=5=2x10=108,根据三角形内角和及 5 等边对等角得到LEAD=专×(180°-108)=36°，即可求出LBAD的度数. 【详解】解：，正五边形ABCDE内接于⊙O, .∠BAE=∠E=5-2x180=108°，AE=DB, 5 ∠EAD=×(180°-108)=36， ∴.∠BAD=∠BAE-∠DAE=108°-36°=72° 【变式5】如图，四边形ABCD是⊙0的内接正方形.若正方形的面积等于16，则⊙O的面 积等于 A B 【答案】8π 【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解. 【详解】解：正方形的边长AB=4, 则半径是r=22., 则面积是(2√2)π=8m. 11/26 故答案为：8π. 【点晴】本题考查了正多边形的计算，解决问题的关键是根据正方形的面积求得半径. 【变式6】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,边长为2. E A (1)求⊙O的直径AD的长： (2)求LADB的度数、 【答案】(1)4 (2)30° 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： (1)连接OB,求出LAOB的度数，得到△AOB是等边三角形，得到A0=AB=2,即可得 出结果； (2)根据圆周角定理，即可得出结果。 【详解】(1)解：连接0B. E D ,正六边形ABCDEF内接于⊙O, ÷∠A0B=360C=60, 6 又A0=B0, .△AOB是等边三角形. .A0=AB=2. ∴AD=2A0=4. (2)解：，AB=AB,LA0B=60° ∴.LADB=∠A0B=30° 12/26 题型4.尺规作图一一正多边形 【例1】试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形 【答案】如图，十二边形AGBHCIDJEKFL即为所求. 【分析】在⊙O上任取一点A,连接0A,以A为圆心，A0为半径作弧交⊙O于B,以B为圆心， A0为半径作弧交⊙O于C,以C为圆心，A0为半径作弧交⊙0于D,以D为圆心，A0为半径 作弧交⊙O于E,以E为圆心，AO为半径作弧交⊙O于F,再分别作AB,BC,CD,DE,EF, FA的垂直平分线交⊙O于G,H,I,J,K,L,连接AG,GB,BH,HC,CI,ID,DJ,JE, EK,KF,FL,LA,十二边形AGBHCIDJEKFL即为所求. 【详解】略 【变式1】如图，己知AC为⊙O的直径.请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD.(保 留作图痕迹.不写作法) 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D,则四边形ABCD就是所求作的内接正方形 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作， BD垂直平分AC,AC为⊙O的直径， ∴，BD为⊙O的直径， ..BD LAC,OB=OD,OA=OC,BD=AC, .四边形ABCD是⊙O的内接正方形 D 0 B米 13/26 【点晴】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结 合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆的基本性质，正 方形的判定 【变式2】如图，⊙0的半径为4. (1)求作它的内接正方形ABCD: (2)求正方形ABCD的边长. 【答案】(1)见解析 (2)4W2 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形 的性质是解题关键。 (1)作出直径AC,再作AC的线段垂直平分线，与⊙O相交于B、D,顺次连接A、B、C、D 即可 (2)利用正方形的性质可得AC L BD,OA=OB=4,再结合勾股定理得出正方形ABCD 的边长， 【详解】(1)解：如图所示，正方形ABCD即为所求作图形 D ~BD是AC的垂直平分线， ∴.∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， ..AB BC=CD=AD, 四边形ABCD是菱形， AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90°， 四边形ABCD是正方形： 14/26 (2)解：⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD,OA=OB=4, ..AB =V0A2+0B2=V42+42=4V2. 即正方形ABCD的边长为4V2. 【变式3】在等边△ABC中，按如下步骤作图： C 图1 图2 ①延长BA,BC: ②以A为圆心，以AB为半径作圆，交BM于点D: ③以D为圆心，以AB为半径作圆，交BM于点E; ④以E为圆心，以AB为半径作圆，交⊙D于点F; ⑤连接DF. (1)求证：∠ADF=120°， (2)尺规作图完成正六边形ADFGHC.(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】(1)连接EF,易得DE=DF=EF,进而得到△EDF为等边三角形，得到∠EDF=60, 再根据平角的定义即可得出结论； (2)以C为圆心，AB的长为半径画圆交BN于点H,以H,F为圆心，AB的长为半径画圆，两 圆交于点G,连接FG,HG,即可. 【详解】(1)解：连接EF,由作图可知：DE=DF=EF=AB, N 图2 15/26 △EDF为等边三角形， ∴LEDF=60°， ∠ADF=180°-∠EDF=120°； (2)解：由题意，作图如下： N 图2 巩同练习 1.(2026辽宁盘锦模拟预测)若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合， 则这个角度可以是() A.36° B.72° C.90° D.180° 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角 度为” 【详解】解：.正五边形的最小旋转角为360=72°， 5 ∴.当旋转角度是72°的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有72°符合要求， 2.(2026云南昭通模拟预测)在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天 然承载了美好的祝愿.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若正六边形ABCDEF的周长为 18cm,则⊙0的半径为() B 16/26 A.1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 【答案】B 【分析】连接OA、OB,根据正六边形的性质求出AB=3cm,∠A0B=60°，再证明△AOB 为等边三角形，即可得出结果， 【详解】解：如图，连接OA、OB, B ,正六边形ABCDEF内接于⊙O,周长为18Cm, .AB=18÷6=3cm,∠A0B=360°÷6=60°， ,0A=0B .△AOB为等边三角形， ,OA=0B=AB=3cm,即⊙0的半径为3cm. 3.(2026河南商丘.二模)正方形的中心角的度数为() A.45° B.60° C.90° D.360° 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算， 利用正边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果. 【详解】解：：正n边形所有中心角的和为360，每个中心角的度数为360 又，正方形是边数n=4的正多边形， ∴正方形中心角的度数为迎=90. 4.(25-26九年级上.河北张家口期末)如图，⊙0是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接 AD,BD,则∠ADB=() 17/26 A.20° B.22.5 C.30° D.45° 【答案】B 【分析】连接OA、OB,根据圆内接正多边形的性质求出LAOB,再根据圆周角定理计算即 可 【详解】解：连接OA、OB,如图： G D ,⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆， .∠40B=360=459, 8 由圆周角定理得：∠ADB=A0B=×45°=22.59 5.(2526九年级上江苏扬州期末)张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示 的圆内接正八边形.若⊙O的半径为√2，则这个圆内接正八边形的面积为() A.I B.2n c.4W2 D.8V2 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作AC1OB 于C,得到圆的内接正八边形的圆心角为-45，根据三角形的面积公式即可得到结论， 【详解】解：如图，过A作AC⊥OB于C, 18/26 :圆心角为=45,0A=V2, .AC=0C=1, S08=×1xV2-号 “这个圆内接正八边形的面积为8×二=4W2, 故选：C 6.(2026山东济宁.二模)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”， 即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙0的半径是4，运用“割圆术”，以圆 内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可求得的估计值是() B A A.3 B.3V3 C.3.14 D.3.142 【答案】A 【分析】过A作AM1OB于M,求得∠AOB=30°，根据含30度直角三角形的性质得到AM= 0A,根据三角形的面积公式得到S△40，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积 公式即可得到结论， 【详解】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， B 过A作AM10B于M,在正十二边形中，LA0B=360°÷12=30°， AM=号0A=2, SaA0B=0B·AM=×4×2=4, 19/26 正十二边形的面积为：12×4=48， 42·π≈48， π心3， π的近似值为3. 7.(2026陕西西安.三模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O中，P是劣弧BE上一点，则∠DPC 的度数为 【答案】 36/36度 【分析】连接OD,OC,构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得∠DPC 的度数 【详解】解：如图，连接OD,OC, D ,正五边形ABCDE内接于⊙O, ∠D0C=360=720, 5 ∴.∠DPC=1∠D0C=1×72°=36° 8.(25-26九年级下江苏连云港期中)如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，点O 为该正多边形外接圆的圆心，连接AD、BD,∠ADB=20°，则这个正多边形是边数为 20/26 【答案】9/九 【分析】连接OA,OB,圆周角定理求出LAOB=40°，再根据正多边形的中心角的计算公式， 进行求解即可 【详解】解：连接OA,OB,则LA0B=2LADB, ,∠ADB=20°， ∴.∠A0B=40°， ,A,B,C,D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， “这个正多边形是边数为0=9 9.(2026江苏连云港.一模)第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计.九 边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于。. 【答案】40 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可. 【详解】解：正九边形中心角度数为360=40. 9 10.(2026河南周口一模)我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六 边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为 【答案】4r-6V3/-6V5+4m 【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，根据阴影 21/26 面积=圆的面积-正六边形的面积即可得出结果 【详解】解：如图，AB是正六边形的一条边，连接AO,BO,则OA=OB,作OH1AB于点H, 则AH=BH=AB, B :L40B=36c=60°， 6 ∴.△A0B是等边三角形，∠AB0=60°， ∴.A0=B0=AB=2, 即⊙0的半径为2， 六AH=BH=5AB=1 ∴.0H=0Bsin∠0BA=2sin60°=V5,⊙0的面积为m2=4r, “S△0aB=AB·0H=×2×V5=V3, ,正六边形可分为六个边长为2的等边三角形， ∴，正六边形面积为6V3 ∴.阴影面积为4r-6v3. 11.(25-26九年级上陕西延安期末)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢 结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是 正六边形，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF(如图)，正六边形ABCDEF内接于 ⊙O,OM1BC于点M,且OM=2mm,则这个正六边形的边长是 mm. 【答案】 3 【分析】连接OB,OC,证明△BOC为等边三角形，得出OB=BC=OC,根据勾股定理求 22/26 出802-（传80）'=2，得出80=mm,即可。 【详解】解：连接OB,OC,如图所示： 六边形ABCDEF是正六边形， .∠B0C=360=60°，0B=0C, 6 ∴.△BOC为等边三角形， ∴OB=BC=OC, .'OM 1 BC, ∴BM=MC=BC,∠B0M=∠B0C=30°， .BM=1B0, 根据勾股定理得：B02-BM2=OM2, 即B02-(80)}'=2, 解得：B0= 4w3 mm,负值舍去， ..BC=BO mm, 3 这个正六边形的边长是 3 -mm. 12.(25-26九年级上甘肃甘南·期末)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上一点（点 P与点D不重合)，求LCPD的度数， 【答案】36° 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得∠c0D=360 5 =72°，运 23/26 用圆周角定理得∠CPD=∠C0D=36°，即可作答， 【详解】解：连接0C,OD, B 正五边形内接于⊙0， ∠C0D=60 5 =72°， CD =CD, .LCPD=COD=36. 13.(25-26六年级下.上海浦东新期中)从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知 圆的周长是25.12cm,那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其 中π取3.14) 【答案】正方形的面积比圆的面积多约27.4% 【分析】先求出圆的半径，再求圆的面积，再根据正方形的边长即为圆的直径，求出正方形 的边长，最后用正方形的面积与圆的面积之差比上圆面积，即可得出答案 【详解】解：设圆的周长为c,半径为r,正方形边长为a, ÷r=三=252=4cm, 2r2×3.14 S圆=r2=t×42=16m, 最大的圆，直径与正方形的边长相等， a=2r=2X4=8cm, SE=a2=82=64cm2, 55u=416=6416x314≈0.2739≈27.49%. 5 16π 16×3.14 答案：正方形的面积比圆的面积多约27.4%. 14.(25-26九年级上.甘肃庆阳.期末)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙0，阅读以下作图 过程，并回答下列问题： 24/26 图1 图2 作法：如图2. 1.作直径AF 2.以点F为圆心，F0为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N. 3.连接AM,MN,NA. (1)△AMW是正三角形吗？请说明理由. (2)从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n的值 【答案】(1)是，见解析 (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意， 明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键， (1)连接0N,NF,可得FN=OF=ON,得到∠NMA=60°，∠ANM=60°，即可得证： (2)连接OD,得到∠A0D-×2=144,再根据∠N0D=∠A0D-乙A0N求出∠NOD, 计算即可得解： 【详解】(1)△AMN是正三角形. 理由如下：如图，连接ON,NF, 由题意可得FN=OF=ON, △FON是等边三角形， ∠NFA=60° ∠NMA=60° 同理可得LANM=60° 25/26 ∴.∠MAN=609 △AMN是正三角形. (2)如图，连接0D, B F ~∠AMN=60°，∠A0N=120° ~∠A0D=360 ×2=144, .∠N0D=∠A0D-∠A0N=144°-120°=24°， 360°÷24°=15， n的值是15. 26/26第三十章直线与圆的位置关系 03讲正多边形和圆 题型归纳 【知识点1与正多边形有关的概念… 1】 【知识点2与正多边形有关的计算… 1】 【知识点3正n边形的画法 2】 【题型1.正多边形中心角的求解… …2】 【题型2.求正多边形的边数… 3】 【题型3.正多边形和圆的综合 4】 【题型4.尺规作图一一正多边形 …6】 【巩固练习…7】 知识清单 知识点1与正多边形有关的概念 1正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形， 2.中心的概念：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 中心角》 半径R 3.半径的概念：外接圆的半径叫做正多边形的半径 0 边心距 4中心角的概念：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角， 5边心距的概念：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 图24.3-3 知识点2与正多边形有关的计算 1.正n边形的中心角a=360 n 2.正n边形的每个内角n-2）180 3正n边形的每个外角a,=36 n 1/10 【提示】 ①正多边形的中心角和外角的大小相等： ②正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，如图； ®设正多边形的面积为5，周长为，边心距为n则S=r。 知迟点3正n边形的画法 求作：画一个边长为1.5cm的正六边形 步骤：(1)以1.5cm为半径作一个⊙0： (2)用量角器画一个等于360=60的圆心角，它对着一段弧； 6 (3)在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的6个等分点； (4)顺次连接各分点，即可得到正六边形 【提示】对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作： 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把 圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形（图24.3-6(2）) 用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（图24.37）. 0 (1) (2) B 图24.3-6 图24.3-7 题型专练 题型L。正多边形中心角的求解 【例1】正六边形的中心角是() A.60° B.120° C.360° D.720 【变式1】正方形作为一种简单而纯粹的几何形状，蕴含着丰富的美学价值.其独特的美学 2/10 魅力体现在均衡与和谐上，我国古代许多建筑设计和棋盘设计中均存在正方形要素，正方形 的中心角的度数为() A.60 B.90° C.120° D.180° 【变式2】如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转.若旋转后的五角星能与自身重合，则 旋转角至少为() A.30° B.36° C.60° D.72 【变式3】若一个正多边形的每一个外角都为45°，则这个正多边形的中心角度数为 题型2。求正多边形的边数 【例1】已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是() A.12 B.10 C.8 D.6 【变式1】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点0为正多边形的中心，若∠ADB=20°， 则这个正多边形的边数为() A.9 B.10 C.18 D.20 【变式2】如图，正六边形与正方形有重合的中心O,若LB0C是正边形的一个中心角， 则n的值为() A.16 B.12 C.10 D.8 【变式3】若一个圆内接正n边形的中心角是30°，则n的值为 3/10 题型3.正多边形和圆的综合 【例1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则LCPD 的度数为() B A.36° B.54 C.60° D.72 【例2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的周长等于6π，则正六边形的内切圆 的半径为 D 【例3】如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可 以近似的看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长. 图1 图2 【变式1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的半径等于3，则正六边形的边长BC 的长为() 0 B A.5 B.3 C.6 D.9 4/10 【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是CD上一点（不与点C,D重合），连 接CP,DP,则LCPD的度数为() 0 A.165 B.150° C.120° D.108 【变式3】我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来 近似计算圆的面积.如图，若用圆内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙0的面积S,设⊙0 的半径为1，则S-S1=() A.π-3 B.π-1 C.π-2 D.2m-3 【变式4】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,则∠BAD的度数为 0. B 【变式5】如图，四边形ABCD是⊙0的内接正方形.若正方形的面积等于16，则⊙O的面 积等于一· 0 【变式6】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,边长为2. D 5/10 (1)求⊙O的直径AD的长： (2)求LADB的度数. 题型4.尺规作图一一正多边形 【例1】试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形. 【变式1】如图，己知AC为⊙O的直径.请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD.(保 留作图痕迹.不写作法) 【变式2】如图，⊙0的半径为4. 0 (1)求作它的内接正方形ABCD: (2)求正方形ABCD的边长. 6/10 【变式3】在等边△ABC中，按如下步骤作图： M B 图1 图2 ①延长BA,BC; ②以A为圆心，以AB为半径作圆，交BM于点D: ③以D为圆心，以AB为半径作圆，交BM于点E: ④以E为圆心，以AB为半径作圆，交⊙D于点F: ⑤连接DF. (1)求证：∠ADF=120°. (2)尺规作图完成正六边形ADFGHC.(不写作法，保留作图痕迹) >巩固练习 1.（2026辽宁盘锦模拟预测)若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合， 则这个角度可以是() A.36° B.72 C.90° D.180° 2.(2026云南昭通模拟预测)在中国传统文化中，“六"是一个吉祥的数字，六边形因此天 然承载了美好的祝愿.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若正六边形ABCDEF的周长为 18cm,则⊙0的半径为() 7/10 A.1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 3.（2026河南商丘二模)正方形的中心角的度数为() A.45° B.60 C.90° D.360° 4.(25-26九年级上河北张家口.期末)如图，⊙0是正八边形ABCDEFGHI的外接圆，连接 AD,BD,则∠ADB=() O。 D B A.20 B.22.5° C.30° D.45° 5.(25-26九年级上江苏扬州·期末)张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示 的圆内接正八边形.若⊙0的半径为√2，则这个圆内接正八边形的面积为() A.π B.2π c.4W2 D.8V2 6.(2026山东济宁.二模)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”， 即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙0的半径是4，运用“割圆术”，以圆 内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可求得π的估计值是() B A A.3 B.3V3 C.3.14 D.3.142 7.(2026陕西西安.三模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O中，P是劣弧BE上一点，则LDPC 的度数为 8/10 8.(25-26九年级下.江苏连云港期中)如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，点O 为该正多边形外接圆的圆心，连接AD、BD,∠ADB=20°，则这个正多边形是边数为 9.(2026江苏连云港.一模)第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计.九 边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于。. 10.(2026河南周口.一模)我国古代《九章算术》记载“方田割圆"思想，若一个圆内接正六 边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为 ·0 11.(25-26九年级上陕西延安期末)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢 结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是 正六边形，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF（如图)，正六边形ABCDEF内接于 ⊙O,OM1BC于点M,且OM=2mm,则这个正六边形的边长是 mm F B 9/10 12.(25-26九年级上甘肃甘南·期末)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，P为DE上一点（点 P与点D不重合)，求LCPD的度数. B O。 13.（25-26六年级下.上海浦东新期中)从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知 圆的周长是25.12cm,那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其 中π取3.14) 14.(25-26九年级上甘肃庆阳期末)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙0，阅读以下作图 过程，并回答下列问题： 图1 图2 作法：如图2. 1.作直径AF, 2.以点F为圆心，F0为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N. 3.连接AM,MN,NA. (1)△AMN是正三角形吗？请说明理由 (2)从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n的值. 10/10