第30章 章末复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 第30章  章末复习 解析版  第30章　章末复习 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　概念辨析与弦的取值范围 2 　　题型 2　圆中角度与弦长的基本计算 3 　　题型 3　直线与圆的位置关系 5 　　题型 4　确定圆的条件与外心的坐标 7 　　题型 5　切线的性质：连半径得垂直 9 　　题型 6　切线长定理与外切四边形 12 　　题型 7　圆外一点引切线：切线段的最值 16 　　题型 8　切线的判定与动圆相切 18 　　题型 9　三角形的内切圆与内心 21 　　题型 10　正多边形的边数、中心角与边长计算 22 　　题型 11　正多边形与圆中的角度 25 　　题型 12　正多边形与圆的综合 27 　　题型 13　弧长与扇形面积的计算 29 　　题型 14　阴影面积的计算 30 　　题型 15　圆锥的展开与表面最短路径 31 　　题型 16　拱桥与同心圆的实际建模 33 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 34 　题型 1　　概念辨析与弦的取值范围 知识梳理 弦长满足 最长的弦是直径；比弧、比圆心角，都要先确认在同圆或等圆中 弦的范围题只有一条界线：弦长不超过直径。给了半径就能立刻排出不可能的选项，不必画图。反过来，题目说"某条弦等于直径"，那就是直径本身，接着要用"直径所对的圆周角是直角"。 概念题的正确项通常落在定义的原话上，错项则在"缺条件"上做文章：相等的圆心角所对的弧，必须在同圆或等圆中才相等；"平分弧的弦经过圆心"看似合理，实际上是"平分弧的直径垂直于弦"，主语一换就不成立。 同心圆是半径不同的两个圆，周长与面积都不可能相等；面积相等的两个圆半径相等，因而是等圆。遇到"两个圆相等"先问半径是否相等，这一问能排掉大半干扰项。 易错　①把弦与直径混为一谈；　②认为相等的圆心角所对的弧一定相等（漏掉同圆或等圆）；　③把"平分弧的直径"记成"平分弧的弦"；　④把同心圆当成等圆。 要点　弦长不超过直径；比弧、比圆心角，先确认同圆或等圆。 1． 小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是 （  ） A．4 B．5 C．10 D．11 　思路分析　　根据直径是圆中最长的弦即可求解． 解：半径为5的圆，直径为10， ​在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：≤10， ​弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D． 2． 下列说法中，正确的是 （  ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 　思路分析　　A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆； B、利用等圆的条件进行分析解答； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件； D、根据垂径定理即可得出结论． 解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意； B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意．故选：B． 　题型 2　　圆中角度与弦长的基本计算 知识梳理 同弧所对的圆周角相等、且是圆心角的一半；等弦对等弧、等弧对等角；垂直于弦的直径平分弦， 圆里的角度题先定位"这个角对的是哪条弧"。同弧上的两个圆周角相等，圆心角是它的两倍；题目给了弦相等，就换成弧相等、再换成角相等——弦、弧、角三者可以按需互换。 网格里的等弦题，要先把两条弦放到同一个圆里看。取格点或对角线交点作圆心，用勾股算出半径，确认两弦同圆之后，才有"等弦对等弧"可用。不验证同圆就套等弦，是这类题最常见的错。 求弦长一律回到直角三角形：半径、弦心距、半弦三边成勾股。先求弦心距，再乘二；题目只给直径与弦的位置关系时，别忘记"直径过圆心"，它就是弦心距所在的那条线。 易错　①圆周角与圆心角的度数没除二；　②用等弦等弧却漏掉"同圆"这个前提；　③半弦当整弦；　④网格题不验证是否同圆。 要点　同弧等角、等弦等弧；求弦长走 。 1． 如图，在⊙O中，则的度数为      ． 　思路分析　　由题意易得然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求解． 解： ​ ​ ​ ​故答案为． 2． 如图，在的正方形网格中，图中的两条弦则=      ． 　思路分析　　根据方格特点可知利用同一个圆中同弧或等弧所对的圆周角相等可知进而得出． 解：如图， 连接AD，BC，设CD与AB交于点E， 由网格特点知，． ​ ​． 根据同弧所对的圆周角相等，可知． ​ ​ ​故答案为：． 3． 如图，的直径弦于点E，连接若则的长是       ． 　思路分析　　连接如图，先根据垂径定理得到则可判断为等边三角形，所以利用圆周角定理得到再证明为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到． 解：连接如图， ​直径 ​ ​ ​ 即垂直平分 ​ ​ ​为等边三角形， ​ ​ 又 ​为等边三角形， ​ ​ ​ ​．故答案为：3． 　题型 3　　直线与圆的位置关系 知识梳理 比较圆心到直线的距离 与半径 相离、 相切、 相交 判断位置关系只有一个动作：量出圆心到直线的距离，再与半径比大小。图上看着"接近"不算数，必须落到数值上。题目给圆心到直线某点的距离时，还要再问一句：这条线段是不是垂线段。 "直线上有一点到圆心的距离等于半径"不能断定相切。那条垂线段可能比它更短：若垂足与这点不重合，则 是相交；垂足恰为这点，才是相切。所以正确答案往往是"相交或相切"。 坐标系里的题把距离算成坐标差：圆与 轴的位置关系看圆心纵坐标的绝对值，与 轴看横坐标的绝对值，再分别与半径比。算完就下结论，不要凭图像估。 易错　①由"某点到圆心的距离等于半径"直接判定相切；　②坐标系题把横纵坐标弄反；　③忽略直线可绕该点转动带来的多解；　④比大小时方向记反。 要点　一律比 与 点到圆心的距离等于半径，只说明相切或相交。 1． 如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解． 解：的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2， ​这条直线与圆相交， 由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是．故选C． 2． 已知的半径为4，直线l上有一点A满足则直线l与的位置关系为 （  ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 　思路分析　　​是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论． 解：的半径 分两种情况讨论： 当时，圆心到直线的距离直线与相切． 当不垂直于时， ​垂线段最短， ​圆心到直线的距离直线与相交． 综上，直线与的位置关系为相交或相切． 3． 已知点若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为      ． 　思路分析　　先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴的位置关系． 解∶以点为圆心，个单位长度为半径作圆， ​点到轴的距离为 ​与轴相离，故答案为∶相离． 　题型 4　　确定圆的条件与外心的坐标 知识梳理 不共线的三点确定一个圆；外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 "最多能作几个圆"的题，先数三元组，再剔除共线的。 个点中任取三个有 组，落在同一条直线上的那些组作不出圆，减掉即可。 求外心坐标有两条路：作两边的垂直平分线求交点；或者设 由 列两个方程。坐标系里后一种更稳，算完把坐标代回验证一次半径。 与圆结合的坐标题，先把圆心与半径定下来：题目说"经过某三点"，就用垂直平分线定圆心；说"某条线段是直径"，就取中点作圆心、线段一半作半径。圆心定了，剩下的都是距离计算。 易错　①三点共线也去作圆；　②把外心当成重心或内心；　③只列一个方程就停手；　④求出圆心不回代验证半径。 要点　三点不共线才定圆；外心到三顶点等距，设坐标列平方相等最省事。 1． 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 （  ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 　思路分析　　根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 解：依题意，加上点可以画出一个圆， ​共有3个． 2． 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点点则的外心的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据网格作的垂直平分线，两条线交于点可得点是的外心． 解：如图，根据网格作的垂直平分线，两条线交于点 ​点是的外心， ​的外心的坐标为． 3． 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若则点C的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　通过连接辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出线段长度，从而确定点的坐标． 解：如图，连接 ​为的直径， ​． ​ ​ ​ ​点C的坐标为． 　题型 5　　切线的性质：连半径得垂直 知识梳理 切线垂直于过切点的半径；已知切线时，第一件事是把切点与圆心连起来 已知切线，第一件事是连切点与圆心，得到直角。这个直角是后续所有角度、长度关系的支点。不连半径就直接用切线，过程几乎写不下去。 求角按"直角—等腰—外角"的顺序推进：两条半径构成的三角形是等腰三角形，两个底角相等；切线给出的直角与它配合，就能把已知角搬到所求的角上。 题目说"某点为中点""某线段等于半径"，多半要用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，或者反过来证等腰。把这些条件先翻译成线段相等，再考虑角。 易错　①不连半径就写"切线垂直于半径"；　②把切点当成任意点，连错线；　③等腰三角形的底角与顶角混用；　④已知角与所求角之间隔着一条切线，忘了先转成直角。 要点　见切线就连半径；直角与等腰是这一型的两个基本工具。 1． 如图，已知点在上，直线与相切，切点为且为的中点，则等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出再根据切线的性质即可求解． 解：为的中点， ​ ​ ​ ​直线与相切， ​ ​故选：A． 2． 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若则等于 （  ） A．6 B．4 C． D．3 　思路分析　　本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．连接证明结合可得据此可得答案． 解：如图，连接 ​切于点C， ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 3． 如图，AB是⊙O的弦，作交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知则的度数为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接OB，根据切线的性质以及圆的性质即可求出答案． 解：连接OB， ​BC是⊙O的切线， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故选C． 4． 如图，为的直径，是的切线，C为切点，交的延长线于D，且求的度数． 　思路分析　　根据圆的切性质，得到利用等腰三角形的性质得到再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到最后利用三角形的外角性质即可求出的度数． 解：是⊙的切线，为切点， ​ ​ ​ ​ ​ ​． 　题型 6　　切线长定理与外切四边形 知识梳理 从圆外一点引出的两条切线长相等；圆外切四边形的两组对边之和相等 切线长定理：从圆外一点引出的两条切线，切线长相等。由此立刻得到圆外切四边形的性质——两组对边之和相等，周长等于一组邻边之和的两倍。题目给两条对边，直接算周长。 含切点的角要拆着看：切点处的切线长把一条边分成两段，各段与相邻边的对应段相等。设一个未知数，把各边都用它表示，再套"对边和相等"列方程，比逐段求长度省一半步骤。 实际情境（螺母、扇形与梯形相切）里，先找出所有切点，再标出相等的切线长。题目给的直角、直径这些条件，都要落到某个直角三角形里用，别让条件悬着不用。 易错　①把切线长与弦长混为一谈；　②外切四边形记成"对边相等"；　③切点标错，相等的线段对不上；　④实际情境题漏掉某条切线，方程少一项。 要点　一点两切线长相等；外切四边形两组对边之和相等。 1． 如图，在四边形中，边均与相切，且则四边形的周长为 （  ） A．44 B．42 C．46 D．47 　思路分析　　根据圆的切线的性质求解即可． 解：四边形是的外切四边形， ​ ​四边形的周长故选：A． 2． 如图，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得由得由切线长定理得即可求得结果． 解：如图，连接 ​四边形是的内接四边形， ​ ​ ​ 即 ​ ​是的切线，根据切线长定理得， ​ ​ ​．故选：C． 3． 形螺母（图）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图所示的位置放置于桌面上．直尺的上边缘，直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点直角三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合．经测量，则该圆形螺母外圆的直径是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接由切线的性质得由切线长定理得平分得到解直角三角形即可求解． 解：如图连接 ​ ​ ​分别与相切于点 ​平分 ​ ​ ​ ​ ​该圆形螺母外圆的直径是． 4． 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若则的长为 （  ） A．8 B． C． D．9 　思路分析　　连接作于点由分别与扇形相切于点得求得再证明四边形是矩形，则由勾股定理得求得即可解答． 解：连接作于点 则 ​分别与扇形相切于点 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形是矩形， ​ ​ 在中，根据勾股定理可得： ​ 解得：故选：D． 　题型 7　　圆外一点引切线：切线段的最值 知识梳理 切线长 故 最小时切线长最小；求最值先求 的最小值 切线长的公式是 所以求切线长的最小值，就是求圆心到动点距离的最小值。动点在直线上时，这个最小值是圆心到直线的距离；动点在圆上时，是圆心距减半径。先把这个距离求出来，再代公式，顺序不能反。 与坐标结合时，切点、圆心、外点构成直角三角形，勾股关系是列方程的依据。题目给"圆与某轴相切"，切点坐标就是垂足，半径等于圆心到该轴的距离，这两条信息能直接定出圆心。 已知两条切线长相等反求半径时，把切线长写成含 的式子，与已知长度联立。解出的 要检验是否为正、是否小于外点到圆心的距离，否则说明设的图形与实际不符。 易错　①把切线长当成圆心距；　②求最值时忘记"垂线段最短"；　③勾股时把斜边与直角边搞反；　④解出的半径不检验取值范围。 要点　 最小则切线长最小。 1． 如图，已知分别与相切于点A，B，C为延长线上一点，与相切于点D，且于点C，则的半径      ． 　思路分析　　先连接再根据切线的性质说明四边形是正方形，则此题可解． 解：如图所示，连接 ​是的切线， ​． ​ ​ ​是的切线， ​． ​ ​四边形是正方形， ​ 所以的半径． 2． 如图，的圆心为半径为是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为则的最小值为       　思路分析　　​ 取最小值时 最小，而 的最小值就是圆心到直线的距离． 解： 是切线， 最小时 最小． ​ 的最小值就是点 到直线 的距离：． ​． 3． 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理．作于B，连结如图，设的半径为r，先根据切线的性质得则点A的坐标为得到B点坐标为然后在中，根据勾股定理求得据此求解即可． 解：作于B，连结如图，设的半径为r． ​与y轴相切于原点O， ​ ​点A的坐标为． ​ ​． ​轴， ​B点坐标为． 在中，． ​ ​ 解得： ​ ​ ​N点坐标为．故选：D． 　题型 8　　切线的判定与动圆相切 知识梳理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是切线；动圆与定直线相切，即圆心到直线的距离等于半径 判定切线只有一条正路：连半径、证垂直。题目给了"直线过圆上一点"，就把这点与圆心连起来，再证这条半径与该直线垂直；若没给公共点，就作垂线、证垂足到圆心的距离等于半径。两种情形对应两种辅助线，选错就绕远路。 动圆相切把"相切"翻译成方程：圆心到直线的距离等于半径。圆在动，距离就是含时间 的表达式，令它等于 解出 圆可能从直线两侧经过，所以答案通常有两个，两个都要保留。 判断"某说法错误"的题，逐个选项回到判定定理：缺"过半径外端"或缺"垂直"的，都不能判定切线。这类题错项往往只差一个字，读题时把每个选项的条件抄在草稿上再比。 易错　①证切线不连半径，直接写"垂直"；　②动圆只算一个相切时刻；　③距离表达式里方向符号写错；　④判定时漏掉"半径外端"这个条件。 要点　判定切线：连半径证垂直，或作垂线证等于半径；动圆相切令 1． 如图，在等边中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是  （  ） A．若则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则 C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D．若则AC是⊙O的切线 　思路分析　　A、连接OE，根据同圆的半径相等得到根据等边三角形的性质得到求得于是得到A选项正确； B、由于EF是⊙O的切线，得到根据平行线的性质得到B选项正确； C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到过O作于H，根据三角函数得到OH=于是得到C选项错误； D、根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确． 解：A、如图，连接OE， 则 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​EF是⊙O的切线 ​A选项正确，不符合题意． B、EF是⊙O的切线， ​ 由A知： ​ ​B选项正确，不符合题意． C、 ​ ​ ​BO， ​ 如图，过O作于H， ​ ​ ​C选项错误，符合题意． D、如C中的图，EC， ​BE， ​ ​OB， ​ ​AC是⊙O的切线， ​D选项正确．故选：C． 2． 如图，直线相交于点O，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么      秒钟后与直线相切． 　思路分析　　本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接则由得到求得向右移动了即可求出时间．当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接同理即可求解． 解：当在直线左侧，与相切时，设切点为E，连接 ​ ​ ​ ​ 则向右移动了所用时间为 当在直线右侧，与相切时，设切点为F，连接 ​ ​ ​ ​ 则向右移动了所用时间．故答案为：3或7． 　题型 9　　三角形的内切圆与内心 知识梳理 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等； 内心的两条性质要背熟：到三边距离相等、是三条角平分线的交点。求 直接用 不必再绕三角形内角和；反过来给了 也能求 内切圆半径与面积的关系是 （ 为周长），已知三边求半径用它最快。直角三角形还有 这条捷径，用之前先确认是直角三角形。 外心与内心别混：外心到三顶点等距、由垂直平分线定；内心到三边等距、由角平分线定。题目给的距离是"到顶点"还是"到边"，直接决定用哪一个。 易错　①内心与外心混淆；　② 的公式记成 　③面积公式里周长忘了取半；　④直角三角形的 公式套到一般三角形上。 要点　内心到三边等距，。 1． 如图，在中，点是的内心，则      度． 　思路分析　　根据三角形内心是三条角平分线的交点进行求解即可． 解； ​ ​点是的内心， ​分别是的角平分线， ​ ​故答案为；117． 2． 下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为内切圆的半径为则的外心与内心之间的距离为      ． 　思路分析　　本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 解：由题意可知， ​的外心与内心之间的距离故答案为：． 　题型 10　　正多边形的边数、中心角与边长计算 知识梳理 正 边形的中心角为 内角为 半径、边心距、半边长构成直角三角形 正多边形的一切计算都归结到一个直角三角形：半径作斜边、边心距作一条直角边、半边长作另一条，顶角是中心角的一半，即 把这个小三角形画出来，边数与边长就能互相换算。 求边数用角的关系：内角、外角、中心角三者只需知道一个。外角等于中心角，都等于 用它列方程最快。题目给"某个角是 "，先判断它是内角、外角还是中心角。 正六边形要单独记住：边长等于半径，由六个正三角形拼成；正三角形、正方形的半径与边长关系也要张口就答。面积题先拆成若干个等腰三角形，用"底 高 再乘个数"，比套公式稳。 易错　①中心角与内角混用；　②边心距与半径的角色搞反；　③正六边形忘记"边长 半径"；　④面积题用整条边当底，忘了取半。 要点　半径、边心距、半边长成直角三角形，顶角 。 1． 如图，在正边形中，则的值是 （  ） A．16 B．18 C．20 D．36 　思路分析　　本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角， 先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数． 解：如图所示，标准正方形的中心O，为中心角，将正n变形看成一个圆， ​ ​ ​ ​． 故选：B． 2． 已知，正六边形内接于若四边形的面积为则的半径等于 （  ） A．1 B．2 C． D． 　思路分析　　连接相交G，则均为等边三角形，进而可证四边形是菱形，求出然后利用菱形的面积公式求解即可． 解：连接相交点G， ​正六边形内接于 ​ ​ ​均为等边三角形， ​ ​四边形是菱形， ​ ​ ​． ​ ​ ​（负值舍去）．故选B． 3． 已知的半径为1，则它的内接正三角形边心距为      ． 　思路分析　　根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 解：如图，是等边三角形，是的外接圆，过点作连接 ​ ​ 在中，故答案为：． 　题型 11　　正多边形与圆中的角度 知识梳理 正多边形内接于圆时，各边所对的圆心角相等；求角先把它放到某条弧上，再用圆周角定理 正多边形与圆结合的角度题，第一步是把所求角"挂"到一条弧上。正 边形的每条边所对的圆心角都是 圆周角是它的一半。所求角若不是圆周角，先找同弧的圆周角替换。 内切圆与切点有关的角，先用"半径垂直于切线"得到直角，再在等腰三角形里算底角。正五边形、正六边形的内角要能直接写出来，这一步省下的时间比现场推导多得多。 这类题常在"内切圆"与"外接圆"之间切换：外接圆的半径是顶点到中心，内切圆的半径是切点到中心。两种半径在同一个小直角三角形里，角度差一半中心角，看清题目给的是哪一种再动笔。 易错　①把内切圆半径当外接圆半径；　②圆周角与圆心角没除二；　③内角算错，后续角全错；　④所求角不在圆上，却硬套圆周角定理。 要点　正 边形每边对圆心角 圆周角取其半。 1． 如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边与的切点，连接则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接由M、N是边与的切点可以得到求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 解：连接如下图所示， ​N是边与的切点， ​ ​ ​正五边形的内角和为： ​ 在四边形中， ​ ​． 2． 如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为      ． 　思路分析　　先计算正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数． 解：五边形是正五边形， ​ ​四边形是的内接四边形， ​ ​． 　题型 12　　正多边形与圆的综合 知识梳理 同圆内接正多边形的边长与半径成定比；方位、等分圆周的实际问题，先算中心角再算长度 同圆内接的两个正多边形，边长之比由 决定，半径相同时只与边数有关。求"某条连线是不是正 边形的边"，就算这条弦所对的圆心角，看 能否被它整除。 方位、罗盘、八等分这类实际题，先把"一格"的圆心角算出来，再按格数乘。求切线长得先连半径得直角，切线、半径、外点构成的直角三角形是唯一入口。 综合题的两问通常递进：第一问定边长比或中心角，第二问才用它。第一问的结论要写清楚，第二问直接引用，不要重新推一遍。 易错　①把内接正多边形的边当成弧；　②判断"是否为边"时只看长度，不看圆心角；　③切线题不连半径；　④两问之间重复推导，浪费篇幅还容易前后矛盾。 要点　边长比看 判断正 边形看圆心角能否整除。 1． 如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． ​正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为      ； ​连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． （1）连接 设半径为 ． ​． ​ 是等腰直角三角形， ​ 是等边三角形，． ​． （2）若 是 内接正 边形的一边，则 ． 又 ​解得 故 是 内接正十二边形的一边． 2． 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． （1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ． （2）求的长． （3）求的长． 　思路分析　　本题考查圆的切线性质、圆周角定理、勾股定理，弧，弦，圆心角之间的关系等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键． （1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可； （2）根据圆周角定理和弧，弦角之间的关系，得到利用勾股定理即可求解； （3）根据切线性质得到再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得． （1）解：八个方位将圆形八等分， ​相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 故答案为：． （2）解：为的直径， ​． 由题意知 ​ ​ ​． （3）解：为的切线， ​． 由（2）知 ​为等腰直角三角形， ​． 　题型 13　　弧长与扇形面积的计算 知识梳理 ​公式里的 是圆心角的度数 弧长与扇形面积两个公式，先把圆心角化成度数再代。已知弧长求面积用 最快，省去再求圆心角那一步。题目给直径时先除以二，这是最高频的错。 求弧长的题要先把圆心角找出来：圆周角乘二、等腰三角形的顶角、正多边形的中心角都是常见来源。角度来源没定，公式就无从代起。 古代数学里的弧长近似（"会圆术"）本质是用弦长加修正项逼近弧长，代公式即可，不必推导。用之前先由垂径定理把弦长、弓高求出来，三个量对应清楚再代入。 易错　①直径当半径；　②圆心角用弧度；　③弧长与扇形面积公式混用；　④"会圆术"里把弦长与弓高代反。 要点　先定圆心角，再代 或 已知弧长求面积用 。 1． 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当时，则的值为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 解：连接根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点， 得 ​点M，N，O三点共线， ​ ​是等边三角形， ​ ​．故选B． 2． 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接则的长      （结果保留）． 　思路分析　　本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出判定是等边三角形，得到由弧长公式即可求出的长． 解：四边形是平行四边形， ​ 由题意得： ​是等边三角形， ​ ​ ​．故答案为：． 　题型 14　　阴影面积的计算 知识梳理 阴影由扇形与三角形拼成时，用"割补"：先看整块是什么，再减去空白部分 阴影面积的通用套路是"割补"：把阴影看成整块扇形（或半圆）减去三角形、弓形，或者把某一块旋转、翻折搬到别处拼成规则图形。先写出"整块减空白"的算式，再代数，比一段一段算错得少。 题目给了直径与一个圆周角，先由"直径所对的圆周角是直角"定出直角三角形，再算扇形的圆心角。圆心角往往是圆周角的两倍，这一步换算错，面积就整体错一倍。 结果保留 还是取近似、单位写不写，按题目要求来。算完检查一遍：阴影是否落在扇形内部，若答案比整块扇形还大，一定是减错了对象。 易错　①整块与空白认错，加减颠倒；　②圆心角用圆周角直接代；　③弓形面积忘记减去三角形；　④结果没按题目要求保留 要点　阴影 整块 空白；圆心角由圆周角乘二得到。 1． 如图，是的直径，C为圆上一点，连接若则图中阴影部分的面积为      ． 　思路分析　　三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可． 解： ​ 设阴影部分面积为扇形的面积为则 ​ ​ ​． 　题型 15　　圆锥的展开与表面最短路径 知识梳理 圆锥侧面展开是扇形，扇形半径是母线、弧长是底面周长，表面最短路程靠"展开成平面再连线段" 圆锥的三个量要分清：底面半径 母线 高 ，满足 展开后扇形的半径是母线、弧长是底面周长，两个对应关系写错，侧面积与圆心角全错。 求表面最短路程只有一条路：展开。沿一条母线剪开摊成扇形，两点之间线段最短。绕行方向不同，展开图上起点与终点的位置也不同，算完要检查线段是否穿过扇形的缺口。 传动类问题（两个齿轮、蜗杆与齿轮）看的是周长比：转过的总弧长相等，半径之比就是转数之比的倒数。先把"转几周"换成弧长，再换算到另一个轮上。 易错　①底面半径当母线；　②不用勾股，直接拿高当半径；　③最短路程在曲面上直接连线；　④传动比取倒数取反。 要点　母线是扇形半径，底面周长是弧长；最短路程先展开。 1． “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中的半径分别是和当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转则      ． 　思路分析　　本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 解：根据题意得：点P移动的距离为 ​ 解得：．故答案为：108 2． 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为      ． 　思路分析　　要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解： ​底面周长 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径弧长等于圆锥底面圆的周长 设扇形圆心角度数为则根据弧长公式得： ​ ​ 即展开图是一个半圆， ​点是展开图弧的中点， ​ 连接则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， ​ ​ 即蚂蚁爬行的最短距离是．故答案为：． 　题型 16　　拱桥与同心圆的实际建模 知识梳理 圆弧形拱桥用垂径定理建模：跨度的一半、拱高、半径构成直角三角形 拱桥、拱门这类题，第一步是把实际问题画成圆：找到圆心所在的对称轴，把跨度的一半、拱高、半径摆进同一个直角三角形。设半径为 弦心距就是 （ 为拱高），勾股一列方程就出来。 同心圆、双层拱结构，两条半径分别对应内圆与外圆，两个直角三角形共用一个弦心距，列两条勾股式联立。题目给的"内跨度""内部分圆高度"要逐一翻译成线段，翻译错一处，方程就立不起来。 求出半径后回到实际问题：问高度、问宽度、问能否通过，都要再用一次垂径定理把答案换回原情境的量。结果按题目要求保留位数，单位不要漏。 易错　①跨度直接当弦长的一半；　②弦心距写成 　③同心圆的两个三角形混用半径；　④算出半径就收笔，没回答题目问的量。 要点　半跨、拱高、半径成直角三角形；先设 再列勾股。 1． 如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 　思路分析　　本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接设圆的半径为米根据勾股定理，则即可． 解：连接 ​ ​米， 设圆的半径为 ​米， 在中， ​解得： ​的半径为米． A 组　基础题 必做｜内心角、作图与基本证明 1． 如图，是的直径，P是外一点，与相切于点A，连接与交于点C，D是优弧上一点，连接．若则的度数为      ． 　思路分析　　由切线的性质定理得在中利用直角三角形两个锐角互余求出最后根据同弧所对的圆周角相等得． 解：与相切于点A， ​ ​ ​即 ​和都是所对的圆周角， ​． 2． 如图，在中，是的直径，是的切线，连接D是上一点，连接并延长交于点E，交于点F，连接． （1）已知求证： （2）在（1）的条件下，若求的长． 　思路分析　　（1）结合切线的性质可得可证明即可求证； （2）由（1）得再由垂径定理可得即可求解． （1）证明：是的直径， ​ ​． ​为的切线， ​ 即 ​． ​ ​． ​ ​ ​ （2）解：由（1）得 ​ ​ ​． 3． 已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若连OC，求的度数； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 　思路分析　　（1）由AP是⊙O的切线，得到 结合 求解利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得答案； （2）连接由三角形的中位线的性质证明：证明再证明 证明 从而可得答案． 解：（1） AP是⊙O的切线， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）如图，连接 ​为的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​在圆上， ​是的切线． 4． 如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，连接AD、BC．求证： （1） （2）． 　思路分析　　（1）由推出推出即可得到 （2）同弧所对的圆周角相等，得出进而证明可得结论． （1）证明： ​ ​ ​ ​ （2） ​（AAS）， ​． B 组　提升题 必做｜切线证明、垂径计算与综合推理 1． 如图，内接于是的直径，点在上，点是的中点，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若求线段的长． 　思路分析　　本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接由推出得到由得到即得； （2）由直径性质可得推出根据含的直角三角形性质得到根据得到． （1）证明：连接则 ​ ​点是的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是的切线； （2）解：是的直径， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 2． 如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点连结． （1）求证： （2）若求的长． 　思路分析　　本题主要考查了圆周角定理，相似三角三角性的判定和性质，三角形的内心等知识： （1）根据是半圆的直径，可得从而得到进而得到即可求证； （2）过点O作于点E，可得从而得到进而得到可得到再证得是等腰直角三角形，可得即可求解． （1）证明：是的内心， ​是的角平分线， ​ ​是半圆的直径， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）解：如图，过点O作于点E， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​是等腰直角三角形， ​ ​． 3． 如图，已知及圆外一点P． （1）尺规作图：过点P作的两条切线切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在上）截下一块三角形求截下的的周长． 　思路分析　　（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接即为所求的两条切线，点A、B为切点． （2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为然后利用上面的相等关系进行替换即可求解． （1） （2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点， ​是的两条切线， ​． ​是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上， ​和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段， ​． ​ ​的周长． 4． 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证： （2）连接若求的直径． 　思路分析　　（1）根据圆周角定理得到结合得到再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有即可求出的直径． （1）证明： ​ ​ ​ ​ （2）解： ​ ​ ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​ 即的直径为6． 5． 如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且垂足为点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若求的长． 　思路分析　　（1）连接可根据角平分线的定义和等腰三角形综合得到再根据平行线的性质可得即可证出是的切线； （2）根据勾股定理可求得可得三角形为等腰三角形，最后在三角形中根据“所对的直角边等于斜边的一半”即可求得答案． （1）是的切线， 证明：连接 ​ ​ ​平分 ​ ​ ​ 又 ​ ​是半径， ​是的切线； （2）解：设在中，由勾股定理得， ​ 即 解得 即 ​ ​ ​ ​． C 组　拓展题 选做｜动点问题、内接四边形与多问探究 1． 如图，的半径为2，直线经过圆心O交于点C，D两点，直径M是直线上异于点C，O，D的一个动点，所在的直线交于点N，P是直线上另一点，且． （1）如图①，当点M在内部时，试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当点M在的外部，且时，求的长； （3）如图③，在（2）的情况下，连接求阴影部分的面积． 　思路分析　　（1）连接证明可得即可求证； （2）连接证明是等边三角形，可得从而可得进而得到再由勾股定理，即可求解； （3）连接过点N作垂足为E，根据直角三角形的性质可得再由即可求解． （1）与相切． 理由：如图，连接． ​ ​． ​ ​． ​ ​． ​ ​ ​． ​为的半径， ​与相切． （2）解：如图，连接． ​ ​ ​． ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​ 即 ​（负值已舍去）． （3）解：如图，连接过点N作垂足为E． 由（2）可知． ​的半径为2， ​ ​． 2． 已知四边形内接于对角线是的直径． （1）如图1，连接若求证；平分 （2）如图2，为内一点，满足若求弦的长． 　思路分析　　（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． （2）证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． （1）证明：对角线是的直径， ​ ​ ​平分． （2）对角线是的直径， ​ ​ ​ ​ ​四边形平行四边形， ​ 又 ​． 3． 如图，等腰三角形内接于点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： （1）所在的直线经过点I； （2）点D是的中点． 　思路分析　　（1）连接可证明得则平分再由点I是的内心，证明平分所以与在同一条直线上，即可证明所在的直线经过点I； （2）连接推导出则再证明则再推导出则由证明则所以即可证明点D是的中点． （1）证明：连接 ​ ​ ​ ​平分 ​点I是的内心， ​平分 ​与在同一条直线上， ​所在的直线经过点I． （2）证明：连接则 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​点D是的中点． 4． 如图，直角以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若求BC的长． 　思路分析　　（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到则为等边三角形，再判断是等边三角形得到所以锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点；（2）利用（1）中得到然后根据切线的判定定理得到结论；（3）作交BC于M，如图，先证明CF，再利用为角的直角三角形得到CF，然后利用CF进行计算即可． （1）证明：连接OE，G为Rt斜边的中点． ​ 又 ​为等边三角形 ​． 又 ​是等边三角形． ​． ​ ​O为AC中点， ​E为CG的中点． （2）证明：由（1）, E为CG的中点,又O为AC中点， ​ ​ ​ ​DE是⊙O的切线 （3）做 ​E为CG的中点， ​ ​CF也是⊙O的切线． ​, ​． ​为角的直角三角形 ​CF ​2=12． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章  章末复习 学生版  第30章　章末复习 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　概念辨析与弦的取值范围 2 　　题型 2　圆中角度与弦长的基本计算 2 　　题型 3　直线与圆的位置关系 3 　　题型 4　确定圆的条件与外心的坐标 4 　　题型 5　切线的性质：连半径得垂直 5 　　题型 6　切线长定理与外切四边形 7 　　题型 7　圆外一点引切线：切线段的最值 9 　　题型 8　切线的判定与动圆相切 10 　　题型 9　三角形的内切圆与内心 11 　　题型 10　正多边形的边数、中心角与边长计算 12 　　题型 11　正多边形与圆中的角度 13 　　题型 12　正多边形与圆的综合 14 　　题型 13　弧长与扇形面积的计算 15 　　题型 14　阴影面积的计算 16 　　题型 15　圆锥的展开与表面最短路径 17 　　题型 16　拱桥与同心圆的实际建模 18 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 19 　题型 1　　概念辨析与弦的取值范围 知识梳理 弦长满足 最长的弦是直径；比弧、比圆心角，都要先确认在同圆或等圆中 弦的范围题只有一条界线：弦长不超过直径。给了半径就能立刻排出不可能的选项，不必画图。反过来，题目说"某条弦等于直径"，那就是直径本身，接着要用"直径所对的圆周角是直角"。 概念题的正确项通常落在定义的原话上，错项则在"缺条件"上做文章：相等的圆心角所对的弧，必须在同圆或等圆中才相等；"平分弧的弦经过圆心"看似合理，实际上是"平分弧的直径垂直于弦"，主语一换就不成立。 同心圆是半径不同的两个圆，周长与面积都不可能相等；面积相等的两个圆半径相等，因而是等圆。遇到"两个圆相等"先问半径是否相等，这一问能排掉大半干扰项。 易错　①把弦与直径混为一谈；　②认为相等的圆心角所对的弧一定相等（漏掉同圆或等圆）；　③把"平分弧的直径"记成"平分弧的弦"；　④把同心圆当成等圆。 要点　弦长不超过直径；比弧、比圆心角，先确认同圆或等圆。 1． 小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是 （  ） A．4 B．5 C．10 D．11 2． 下列说法中，正确的是 （  ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 　题型 2　　圆中角度与弦长的基本计算 知识梳理 同弧所对的圆周角相等、且是圆心角的一半；等弦对等弧、等弧对等角；垂直于弦的直径平分弦， 圆里的角度题先定位"这个角对的是哪条弧"。同弧上的两个圆周角相等，圆心角是它的两倍；题目给了弦相等，就换成弧相等、再换成角相等——弦、弧、角三者可以按需互换。 网格里的等弦题，要先把两条弦放到同一个圆里看。取格点或对角线交点作圆心，用勾股算出半径，确认两弦同圆之后，才有"等弦对等弧"可用。不验证同圆就套等弦，是这类题最常见的错。 求弦长一律回到直角三角形：半径、弦心距、半弦三边成勾股。先求弦心距，再乘二；题目只给直径与弦的位置关系时，别忘记"直径过圆心"，它就是弦心距所在的那条线。 易错　①圆周角与圆心角的度数没除二；　②用等弦等弧却漏掉"同圆"这个前提；　③半弦当整弦；　④网格题不验证是否同圆。 要点　同弧等角、等弦等弧；求弦长走 。 1． 如图，在⊙O中，则的度数为      ． 　 2． 如图，在的正方形网格中，图中的两条弦则=      ． 　 3． 如图，的直径弦于点E，连接若则的长是       ． 　 　题型 3　　直线与圆的位置关系 知识梳理 比较圆心到直线的距离 与半径 相离、 相切、 相交 判断位置关系只有一个动作：量出圆心到直线的距离，再与半径比大小。图上看着"接近"不算数，必须落到数值上。题目给圆心到直线某点的距离时，还要再问一句：这条线段是不是垂线段。 "直线上有一点到圆心的距离等于半径"不能断定相切。那条垂线段可能比它更短：若垂足与这点不重合，则 是相交；垂足恰为这点，才是相切。所以正确答案往往是"相交或相切"。 坐标系里的题把距离算成坐标差：圆与 轴的位置关系看圆心纵坐标的绝对值，与 轴看横坐标的绝对值，再分别与半径比。算完就下结论，不要凭图像估。 易错　①由"某点到圆心的距离等于半径"直接判定相切；　②坐标系题把横纵坐标弄反；　③忽略直线可绕该点转动带来的多解；　④比大小时方向记反。 要点　一律比 与 点到圆心的距离等于半径，只说明相切或相交。 1． 如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是 （  ） A． B． C． D． 2． 已知的半径为4，直线l上有一点A满足则直线l与的位置关系为 （  ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 3． 已知点若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为      ． 　 　题型 4　　确定圆的条件与外心的坐标 知识梳理 不共线的三点确定一个圆；外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等 "最多能作几个圆"的题，先数三元组，再剔除共线的。 个点中任取三个有 组，落在同一条直线上的那些组作不出圆，减掉即可。 求外心坐标有两条路：作两边的垂直平分线求交点；或者设 由 列两个方程。坐标系里后一种更稳，算完把坐标代回验证一次半径。 与圆结合的坐标题，先把圆心与半径定下来：题目说"经过某三点"，就用垂直平分线定圆心；说"某条线段是直径"，就取中点作圆心、线段一半作半径。圆心定了，剩下的都是距离计算。 易错　①三点共线也去作圆；　②把外心当成重心或内心；　③只列一个方程就停手；　④求出圆心不回代验证半径。 要点　三点不共线才定圆；外心到三顶点等距，设坐标列平方相等最省事。 1． 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 （  ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 2． 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点点则的外心的坐标为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若则点C的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　题型 5　　切线的性质：连半径得垂直 知识梳理 切线垂直于过切点的半径；已知切线时，第一件事是把切点与圆心连起来 已知切线，第一件事是连切点与圆心，得到直角。这个直角是后续所有角度、长度关系的支点。不连半径就直接用切线，过程几乎写不下去。 求角按"直角—等腰—外角"的顺序推进：两条半径构成的三角形是等腰三角形，两个底角相等；切线给出的直角与它配合，就能把已知角搬到所求的角上。 题目说"某点为中点""某线段等于半径"，多半要用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，或者反过来证等腰。把这些条件先翻译成线段相等，再考虑角。 易错　①不连半径就写"切线垂直于半径"；　②把切点当成任意点，连错线；　③等腰三角形的底角与顶角混用；　④已知角与所求角之间隔着一条切线，忘了先转成直角。 要点　见切线就连半径；直角与等腰是这一型的两个基本工具。 1． 如图，已知点在上，直线与相切，切点为且为的中点，则等于 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若则等于 （  ） A．6 B．4 C． D．3 3． 如图，AB是⊙O的弦，作交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知则的度数为  （  ） A． B． C． D． 4． 如图，为的直径，是的切线，C为切点，交的延长线于D，且求的度数． 　 　 　 　题型 6　　切线长定理与外切四边形 知识梳理 从圆外一点引出的两条切线长相等；圆外切四边形的两组对边之和相等 切线长定理：从圆外一点引出的两条切线，切线长相等。由此立刻得到圆外切四边形的性质——两组对边之和相等，周长等于一组邻边之和的两倍。题目给两条对边，直接算周长。 含切点的角要拆着看：切点处的切线长把一条边分成两段，各段与相邻边的对应段相等。设一个未知数，把各边都用它表示，再套"对边和相等"列方程，比逐段求长度省一半步骤。 实际情境（螺母、扇形与梯形相切）里，先找出所有切点，再标出相等的切线长。题目给的直角、直径这些条件，都要落到某个直角三角形里用，别让条件悬着不用。 易错　①把切线长与弦长混为一谈；　②外切四边形记成"对边相等"；　③切点标错，相等的线段对不上；　④实际情境题漏掉某条切线，方程少一项。 要点　一点两切线长相等；外切四边形两组对边之和相等。 1． 如图，在四边形中，边均与相切，且则四边形的周长为 （  ） A．44 B．42 C．46 D．47 2． 如图，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若则 （  ） A． B． C． D． 3． 形螺母（图）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图所示的位置放置于桌面上．直尺的上边缘，直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点直角三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合．经测量，则该圆形螺母外圆的直径是 （  ） A． B． C． D． 4． 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若则的长为 （  ） A．8 B． C． D．9 　题型 7　　圆外一点引切线：切线段的最值 知识梳理 切线长 故 最小时切线长最小；求最值先求 的最小值 切线长的公式是 所以求切线长的最小值，就是求圆心到动点距离的最小值。动点在直线上时，这个最小值是圆心到直线的距离；动点在圆上时，是圆心距减半径。先把这个距离求出来，再代公式，顺序不能反。 与坐标结合时，切点、圆心、外点构成直角三角形，勾股关系是列方程的依据。题目给"圆与某轴相切"，切点坐标就是垂足，半径等于圆心到该轴的距离，这两条信息能直接定出圆心。 已知两条切线长相等反求半径时，把切线长写成含 的式子，与已知长度联立。解出的 要检验是否为正、是否小于外点到圆心的距离，否则说明设的图形与实际不符。 易错　①把切线长当成圆心距；　②求最值时忘记"垂线段最短"；　③勾股时把斜边与直角边搞反；　④解出的半径不检验取值范围。 要点　 最小则切线长最小。 1． 如图，已知分别与相切于点A，B，C为延长线上一点，与相切于点D，且于点C，则的半径      ． 　 2． 如图，的圆心为半径为是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为则的最小值为       　 3． 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是则点的坐标为 （  ） A． B． C． D． 　题型 8　　切线的判定与动圆相切 知识梳理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是切线；动圆与定直线相切，即圆心到直线的距离等于半径 判定切线只有一条正路：连半径、证垂直。题目给了"直线过圆上一点"，就把这点与圆心连起来，再证这条半径与该直线垂直；若没给公共点，就作垂线、证垂足到圆心的距离等于半径。两种情形对应两种辅助线，选错就绕远路。 动圆相切把"相切"翻译成方程：圆心到直线的距离等于半径。圆在动，距离就是含时间 的表达式，令它等于 解出 圆可能从直线两侧经过，所以答案通常有两个，两个都要保留。 判断"某说法错误"的题，逐个选项回到判定定理：缺"过半径外端"或缺"垂直"的，都不能判定切线。这类题错项往往只差一个字，读题时把每个选项的条件抄在草稿上再比。 易错　①证切线不连半径，直接写"垂直"；　②动圆只算一个相切时刻；　③距离表达式里方向符号写错；　④判定时漏掉"半径外端"这个条件。 要点　判定切线：连半径证垂直，或作垂线证等于半径；动圆相切令 1． 如图，在等边中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是  （  ） A．若则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则 C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D．若则AC是⊙O的切线 2． 如图，直线相交于点O，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么      秒钟后与直线相切． 　 　题型 9　　三角形的内切圆与内心 知识梳理 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等； 内心的两条性质要背熟：到三边距离相等、是三条角平分线的交点。求 直接用 不必再绕三角形内角和；反过来给了 也能求 内切圆半径与面积的关系是 （ 为周长），已知三边求半径用它最快。直角三角形还有 这条捷径，用之前先确认是直角三角形。 外心与内心别混：外心到三顶点等距、由垂直平分线定；内心到三边等距、由角平分线定。题目给的距离是"到顶点"还是"到边"，直接决定用哪一个。 易错　①内心与外心混淆；　② 的公式记成 　③面积公式里周长忘了取半；　④直角三角形的 公式套到一般三角形上。 要点　内心到三边等距，。 1． 如图，在中，点是的内心，则      度． 　 2． 下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为内切圆的半径为则的外心与内心之间的距离为      ． 　 　题型 10　　正多边形的边数、中心角与边长计算 知识梳理 正 边形的中心角为 内角为 半径、边心距、半边长构成直角三角形 正多边形的一切计算都归结到一个直角三角形：半径作斜边、边心距作一条直角边、半边长作另一条，顶角是中心角的一半，即 把这个小三角形画出来，边数与边长就能互相换算。 求边数用角的关系：内角、外角、中心角三者只需知道一个。外角等于中心角，都等于 用它列方程最快。题目给"某个角是 "，先判断它是内角、外角还是中心角。 正六边形要单独记住：边长等于半径，由六个正三角形拼成；正三角形、正方形的半径与边长关系也要张口就答。面积题先拆成若干个等腰三角形，用"底 高 再乘个数"，比套公式稳。 易错　①中心角与内角混用；　②边心距与半径的角色搞反；　③正六边形忘记"边长 半径"；　④面积题用整条边当底，忘了取半。 要点　半径、边心距、半边长成直角三角形，顶角 。 1． 如图，在正边形中，则的值是 （  ） A．16 B．18 C．20 D．36 2． 已知，正六边形内接于若四边形的面积为则的半径等于 （  ） A．1 B．2 C． D． 3． 已知的半径为1，则它的内接正三角形边心距为      ． 　 　题型 11　　正多边形与圆中的角度 知识梳理 正多边形内接于圆时，各边所对的圆心角相等；求角先把它放到某条弧上，再用圆周角定理 正多边形与圆结合的角度题，第一步是把所求角"挂"到一条弧上。正 边形的每条边所对的圆心角都是 圆周角是它的一半。所求角若不是圆周角，先找同弧的圆周角替换。 内切圆与切点有关的角，先用"半径垂直于切线"得到直角，再在等腰三角形里算底角。正五边形、正六边形的内角要能直接写出来，这一步省下的时间比现场推导多得多。 这类题常在"内切圆"与"外接圆"之间切换：外接圆的半径是顶点到中心，内切圆的半径是切点到中心。两种半径在同一个小直角三角形里，角度差一半中心角，看清题目给的是哪一种再动笔。 易错　①把内切圆半径当外接圆半径；　②圆周角与圆心角没除二；　③内角算错，后续角全错；　④所求角不在圆上，却硬套圆周角定理。 要点　正 边形每边对圆心角 圆周角取其半。 1． 如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边与的切点，连接则的度数为 （  ） A． B． C． D． 2． 如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为      ． 　 　题型 12　　正多边形与圆的综合 知识梳理 同圆内接正多边形的边长与半径成定比；方位、等分圆周的实际问题，先算中心角再算长度 同圆内接的两个正多边形，边长之比由 决定，半径相同时只与边数有关。求"某条连线是不是正 边形的边"，就算这条弦所对的圆心角，看 能否被它整除。 方位、罗盘、八等分这类实际题，先把"一格"的圆心角算出来，再按格数乘。求切线长得先连半径得直角，切线、半径、外点构成的直角三角形是唯一入口。 综合题的两问通常递进：第一问定边长比或中心角，第二问才用它。第一问的结论要写清楚，第二问直接引用，不要重新推一遍。 易错　①把内接正多边形的边当成弧；　②判断"是否为边"时只看长度，不看圆心角；　③切线题不连半径；　④两问之间重复推导，浪费篇幅还容易前后矛盾。 要点　边长比看 判断正 边形看圆心角能否整除。 1． 如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆． ​正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为      ； ​连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 　 　 　 2． 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，其早在战国时期就已被发明是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． （1）相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为 ． （2）求的长． （3）求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　题型 13　　弧长与扇形面积的计算 知识梳理 ​公式里的 是圆心角的度数 弧长与扇形面积两个公式，先把圆心角化成度数再代。已知弧长求面积用 最快，省去再求圆心角那一步。题目给直径时先除以二，这是最高频的错。 求弧长的题要先把圆心角找出来：圆周角乘二、等腰三角形的顶角、正多边形的中心角都是常见来源。角度来源没定，公式就无从代起。 古代数学里的弧长近似（"会圆术"）本质是用弦长加修正项逼近弧长，代公式即可，不必推导。用之前先由垂径定理把弦长、弓高求出来，三个量对应清楚再代入。 易错　①直径当半径；　②圆心角用弧度；　③弧长与扇形面积公式混用；　④"会圆术"里把弦长与弓高代反。 要点　先定圆心角，再代 或 已知弧长求面积用 。 1． 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当时，则的值为  （  ） A． B． C． D． 2． 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接则的长      （结果保留）． 　 　题型 14　　阴影面积的计算 知识梳理 阴影由扇形与三角形拼成时，用"割补"：先看整块是什么，再减去空白部分 阴影面积的通用套路是"割补"：把阴影看成整块扇形（或半圆）减去三角形、弓形，或者把某一块旋转、翻折搬到别处拼成规则图形。先写出"整块减空白"的算式，再代数，比一段一段算错得少。 题目给了直径与一个圆周角，先由"直径所对的圆周角是直角"定出直角三角形，再算扇形的圆心角。圆心角往往是圆周角的两倍，这一步换算错，面积就整体错一倍。 结果保留 还是取近似、单位写不写，按题目要求来。算完检查一遍：阴影是否落在扇形内部，若答案比整块扇形还大，一定是减错了对象。 易错　①整块与空白认错，加减颠倒；　②圆心角用圆周角直接代；　③弓形面积忘记减去三角形；　④结果没按题目要求保留 要点　阴影 整块 空白；圆心角由圆周角乘二得到。 1． 如图，是的直径，C为圆上一点，连接若则图中阴影部分的面积为      ． 　 　题型 15　　圆锥的展开与表面最短路径 知识梳理 圆锥侧面展开是扇形，扇形半径是母线、弧长是底面周长，表面最短路程靠"展开成平面再连线段" 圆锥的三个量要分清：底面半径 母线 高 ，满足 展开后扇形的半径是母线、弧长是底面周长，两个对应关系写错，侧面积与圆心角全错。 求表面最短路程只有一条路：展开。沿一条母线剪开摊成扇形，两点之间线段最短。绕行方向不同，展开图上起点与终点的位置也不同，算完要检查线段是否穿过扇形的缺口。 传动类问题（两个齿轮、蜗杆与齿轮）看的是周长比：转过的总弧长相等，半径之比就是转数之比的倒数。先把"转几周"换成弧长，再换算到另一个轮上。 易错　①底面半径当母线；　②不用勾股，直接拿高当半径；　③最短路程在曲面上直接连线；　④传动比取倒数取反。 要点　母线是扇形半径，底面周长是弧长；最短路程先展开。 1． “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中的半径分别是和当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转则      ． 　 2． 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为      ． 　 　题型 16　　拱桥与同心圆的实际建模 知识梳理 圆弧形拱桥用垂径定理建模：跨度的一半、拱高、半径构成直角三角形 拱桥、拱门这类题，第一步是把实际问题画成圆：找到圆心所在的对称轴，把跨度的一半、拱高、半径摆进同一个直角三角形。设半径为 弦心距就是 （ 为拱高），勾股一列方程就出来。 同心圆、双层拱结构，两条半径分别对应内圆与外圆，两个直角三角形共用一个弦心距，列两条勾股式联立。题目给的"内跨度""内部分圆高度"要逐一翻译成线段，翻译错一处，方程就立不起来。 求出半径后回到实际问题：问高度、问宽度、问能否通过，都要再用一次垂径定理把答案换回原情境的量。结果按题目要求保留位数，单位不要漏。 易错　①跨度直接当弦长的一半；　②弦心距写成 　③同心圆的两个三角形混用半径；　④算出半径就收笔，没回答题目问的量。 要点　半跨、拱高、半径成直角三角形；先设 再列勾股。 1． 如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 　 　 　 　 　 A 组　基础题 必做｜内心角、作图与基本证明 1． 如图，是的直径，P是外一点，与相切于点A，连接与交于点C，D是优弧上一点，连接．若则的度数为      ． 　 2． 如图，在中，是的直径，是的切线，连接D是上一点，连接并延长交于点E，交于点F，连接． （1）已知求证： （2）在（1）的条件下，若求的长． 　 　 　 　 　 　 　 3． 已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）如图①，若连OC，求的度数； （2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线． 　 　 　 　 　 4． 如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，连接AD、BC．求证： （1） （2）． 　 　 　 　 　 B 组　提升题 必做｜切线证明、垂径计算与综合推理 1． 如图，内接于是的直径，点在上，点是的中点，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若求线段的长． 　 　 　 　 　 2． 如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点连结． （1）求证： （2）若求的长． 　 　 　 　 　 3． 如图，已知及圆外一点P． （1）尺规作图：过点P作的两条切线切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在上）截下一块三角形求截下的的周长． 　 　 　 　 　 　 　 4． 如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证： （2）连接若求的直径． 　 　 　 　 　 5． 如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且垂足为点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若求的长． 　 　 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜动点问题、内接四边形与多问探究 1． 如图，的半径为2，直线经过圆心O交于点C，D两点，直径M是直线上异于点C，O，D的一个动点，所在的直线交于点N，P是直线上另一点，且． （1）如图①，当点M在内部时，试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当点M在的外部，且时，求的长； （3）如图③，在（2）的情况下，连接求阴影部分的面积． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2． 已知四边形内接于对角线是的直径． （1）如图1，连接若求证；平分 （2）如图2，为内一点，满足若求弦的长． 　 　 　 　 　 3． 如图，等腰三角形内接于点I是的内心，连接并延长交于点D，点E在的延长线上，满足．试证明： （1）所在的直线经过点I； （2）点D是的中点． 　 　 　 　 　 4． 如图，直角以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若求BC的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $