专题01 证明直线是切线的专项训练（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以切线判定定理为核心，通过四类垂直证明方法（角度计算与等量代换、平行线性质、全等/特殊三角形、辅助垂线）构建系统性训练体系，覆盖有公共点和无公共点两类情境，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|5题|角度计算与等量代换证垂直|基于圆的性质（直径对直角等），通过角度转化推导垂直关系| |题型二|2题|平行线性质证垂直|利用平行线传递垂直关系，结合圆中半径与弦的位置关系| |题型三|5题|全等/特殊三角形证垂直|通过三角形全等或特殊三角形（等腰、直角）性质证明垂直| |题型四|3题|无公共点作辅助垂线证垂直|构造辅助垂线，证明垂线段等于半径，完善切线判定完整路径|

专题01 证明直线是切线的专项训练 题型一 利用角度计算与等量代换证垂直 题型二 利用平行线性质证垂直 题型三 利用“全等三角形或特殊三角形”证垂直 题型四 无公共点作辅助垂线证垂直 题型一：利用角度计算与等量代换证垂直 1．如图，是的直径，C点在上，平分交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． (1)求证：； (2)求证：直线是的切线； (3)若 ，，求的长． 2．如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 3．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 4．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 5．如图，为的直径，，，是上的点，四边形为菱形． (1)求的长； (2)延长到点，使得，求证：是的切线． 题型二：利用平行线性质证垂直 1．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 题型三：利用“全等三角形或特殊三角形”证垂直 1．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 2．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 3．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 4．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 5．如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． (1)求证：与⊙相切； (2)已知，，求⊙的半径． 题型四：无公共点作辅助垂线证垂直 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 2．作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在中，， (1)按要求完成作图： ①用尺规作的角平分线，交于O， ②以O为圆心，为半径作； (2)判断（1）中与的位置关系，直接写出结果． 3．如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 证明直线是切线的专项训练 题型归纳 题型一利用角度计算与等量代换证垂直 题型二利用平行线性质证垂直 题型三利用“全等三角形或特殊三角形”证垂直 题型四无公共点作辅助垂线证垂直 题型专练 题型一：利用角度计算与等量代换证垂直 1. 【答案】(1)证明：，在⊙O中，AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD, ..BD=CD: (2)证明：连接半径OD,如图1所示： 图1 则OD=OA, .∠OAD=∠ODA, .DE⊥AC于E, 在Rt△ADE中，∠EAD+∠ADE=90°， 由(1)知∠EAD=∠BAD, ∴.∠BAD+∠ADE=90°， 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ODA+∠ADE=90°， ∴.OD⊥DE, DE是⊙O的切线： (3)解：过点D作DF⊥AB于F,如图2所示： D B 图2 ,AD平分∠BAC交⊙O于D,DE⊥AC于E, ..DF=DE=3 AB=4, ∴.半径OD=2, 在Rt△ODF中，OF=VOD2-DF=1 .∠ODF=30°， .∠DOB=60°， .OD=OB. ∴△OBD是等边三角形， ..OF=FB=1, .AF=AB-FB=4-1=3, 在Rt△ADF中，AD=VAF2+DF2=2V3, 3. -X 0 D 【答案】(1) (2)证明：如下图所示，连接OA, 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B A 则∠AOB=2∠C, .2∠C+∠B=90°， ∴.∠AOB+∠B=90°， ∴.∠OAB=90, .OA⊥AB, .OA为⊙O的半径， ∴.直线AB是⊙O的切线. 3 【答案】(1)证明：如图，连接OE, G .AE=DE .∠ABE=∠CBE, .OE=OB. ∴.∠OBE=∠OEB, ∴.∠OEB=∠FBE. .BF‖OE, ,EF⊥BC, ∠BFE=90, .∠BFE=∠OEG=90°， .OE⊥≥乙， .GF是⊙O的切线 (2)解：设⊙O的半径为r,AG=6,≥=62， 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在Rt△GOE中，OE2+GE2=OG2, r2+6V22=6+r2, 解得r=3, 即⊙O的半径为3. 4. D 【答案】(1) (2)证明：，DF=FE, ∴∠FDE=∠FED .∠ODC=∠FDE, ∴.∠ODC=∠FED OC=OE .∠C=∠OEC .OC⊥AB .∠COD=90° 在Rt△COD中，∠ODC+∠C=90, ∴.∠OEC+∠FED=90°，即∠OEF=90°， .OE⊥EF .OE为⊙O的半径， EF是⊙O的切线. (3)解：设EF=x .FD=FE, :DF=x. .0D=1, ..OF=OD+DF=x+1, 由(2)可知∠OEF=90°，且OE=OC=4, 在Rt△OEF中，由勾股定理，得OE2+EF=OF2, 4/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 42+x2=x+12,解得x=7.5, EF的长为7.5 【答案】(1)解：如图1，连接OB. 图1 .四边形OABC为菱形， ∴.OA=AB,AB‖OC. 又.OA=OB, ∴.△AOB是等边三角形. .∴.∠A=60°， ∴.∠A0C=180°-∠A=120° .AD=4, ..OA=1AD=2. 120×π×2_4π .AC的长为180 3 (2)证明：如图2，连接CD B 图2 由(1)可得AB‖OC,∠A=60°， ∴∠A=∠COD=60°， .OC=OD. ∴.△COD是等边三角形， ∴.CD=OD=2,∠OCD=∠ODC=60° 5/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DP=2, ∴.DP=CD, 1 ∠DCP=∠P=2∠ODC=30°， ∴.∠OCP=∠OCD+∠DCP=90°， 又，OC是⊙O的半径， ∴.PC是⊙O的切线. 题型二：利用平行线性质证垂直 1. 【答案】(1)证明：连接OM,如图所示： ,:∠ACB=90°D AB ,为斜边的中点， :'.CD=DA-DB--AB, ∴.∠ACD=∠A, .OC=OM, .∴.∠ACD=∠OMC ∴.∠OMC=∠A, ∴.OM‖AB, .ME⊥AB, ∴.ME⊥OM, 又.OM为⊙O的半径， ∴.ME是⊙O的切线， (2)解：连接DM,如图所示： M .CD=5 B 6/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.由(1)可知，BD=AD=CD=5, .CD为⊙O的直径， .∴.ㄥCMD=90°， ∴.DM⊥AC, 在等腰△ADC中，由三线合一性板可得DM是边AC上的中线，即AM=CM=)AC=4, ∴在Rt△CDM中，由勾股定理可得DM=√CD2-CM=52-4=3, S.w号AM-DM-n-M ME-AM.DM-4x3-2.4. AD 5 【答案】(1)解：如图，连接BC B D .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°. .AC=BC, ..AC=BC, 则△ABC是等腰直角三角形， .∠BAC=45°： (2)证明：如图，连接AD,BC 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点D是BC的中点， .OD⊥BC, :∠ACB=90°， .OD‖AC, .DE⊥AC, ∴.OD⊥DE, OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线. 题型三：利用“全等三角形或特殊三角形”证垂直 1. 【答案】(1)证明：如图1中，连接OA,OB. .PA B 图1 是切线， ∴.PA⊥OA, ∴.∠PA0=90°， 在△PAO和△PBO中， t, '.△PAO≌△PBO SSS, ∴.∠PB0=∠PAO=90°， ∴.PB⊥OB, OB为半径， ∴.PB是⊙O的切线. (2)证明：如图1中，设∠PAC=a. 8/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 ∠PA0=90, ∴.∠OAC=90°-a, .OA=OC, .∠OCA=∠OAC=90°-a, ‘PA=PB,OA=OB, ∴.PO垂直平分AB, ∴.∠CAB=90°-∠AC0=90°-90°-a=a, ∴.∠PAC=∠CAB, ∴.AC平分∠PAB (3)解：如图2中，设AB交OP于点M. D :PA,PB⊙O 图2 是 的切线， ∴.OP平分∠APB, .AC平分∠PAB, ∴.点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H, .⊙0的直径为6， ∴.OA=3, .'OP垂直平分AB,AB=25, ∴.AM=BM=5! .oM=V0A2-AM2=32-(5)2=2, .0C=3, 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CH=CM=3-2=1, '点D到⊙C上各点的最大距离为DH, ∴.最大距离DH=CD+CH=6+1=7. 【答案】(1)解：连接OC, E D G ,⊙O半径为3， ∴.OC=OA=3, .AH=2, .OH=OA-AH=3-2=1, .CD⊥AB,AB为直径， .∠OHC=90°，CD=2CH, 在Rt△OCH中，CH=VOC2-0H=V32-12=22, .CD=2×2V2=4V2: (2)证明：连接OE, B D ,点G在EF的垂直平分线上， ∴.i=GF, 10/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠GEF=∠GFE, ,∠GFE=∠AFH, .∠GEF=∠AFH, .CD⊥AB, .∠AHF=90, ∴.∠A+∠AFH=90°， OA=OE. .∠A=∠OEA, .∠OEA+∠GEF=90, .∠OEG=90°， ∴.OE⊥EG, .OE是⊙0半径， :.EG是⊙O的切线。 3. 【答案】(1)切线MN如图所示： B (2)证明：，MA=MB,NA=NB. .MN垂直平分AB(垂直平分线的逆定理)， ∴.OP⊥MN, 点P在圆上， ∴MN就是所求作的⊙O的切线（切线的判定定理）· 4. 【答案】(1)证明：连接OC, 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C B ,直线AB经过⊙O上的点C,OA=OB,CA=CB, .OC⊥AB 又OC为⊙O的半径， ∴.直线AB是⊙O的切线. (2)解：，∠AOB=90°，OA=2,OA=OB,CA=CB, AB=0A+0B=22,0C=5AB=2, 阴影靠分偷面积=0M08-器0C-分×2x2- 0x×2-2 5. 【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP是∠AOB的角平分线， .OA=OB, ∴.△OAB是等腰三角形， .OC⊥AB, 又，OC是⊙O的半径，且点C在AB上， .AB与⊙O相切： (2)解：，△OAB是等腰三角形，且OC⊥AB, ∴.OC是底边AB的中线， AC=号AB=×12=6, 在Rt△OAC中，OC=0A2-AC2=V102-62=8, .⊙O的半径为8. 题型四：无公共点作辅助垂线证垂直 1. 【答案】(1)过点O作OH⊥AC于点H,连接OD、OA 12/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点， ∴.AO⊥BC,且AO平分∠BAC. ,AB与⊙O相切于D, ∴.OD⊥AB .OH⊥AC ..OH=OD .OD是⊙O的半径， ∴.OH也等于⊙O的半径， ∴.AC是⊙O的切线 (2)①△EGF是等腰直角三角形，证明如下： ,EF是⊙O的直径 .∠EDF=90° DG平分∠EDF, .∠EDG=∠FDG=45°. ..EG=FG, ∴EG=FG ∴.△EGF是等腰直角三角形. ②连接OG, D G ,在Rt△EDF中，∠EDF=90°，DE=6,DF=8, EF=DE2+DF2=V62+82=10, 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.⊙O的半径r=OE=OF=OG=5. .DG平分∠EDF, :PDG=3∠EDF=45, .∠GOF=2∠FDG=90. 湖e0Gf的面：582xr一 ×nx52=25n 4 1 ,△OGF的面积：S△oGF= ×0G×0F=号x5x5=25 ÷S%-25n25 4 2 2. 【答案】(1)①如图，射线BP、点O即为所求；②如图，⊙O即为所求： (2)解：BC与⊙O相切.理由如下： 过O作OD⊥BC于点D, ,BP平分∠ABC,OD⊥BC,∠A=90°（即OA⊥AB), ..OD=OA, .OD为⊙O的半径， ∴.BC与⊙O相切. 3 【答案】(1)如图，⊙D为所作的图形. B 米 (2)⊙D与AB相切.理由如下： 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点D作DG⊥AB于点G. G ,△ABC是等边三角形，BD是AC边的中线， ∴.BD平分∠ABC ,BC与⊙D相切于点E, DE⊥BC于点E. 又DG⊥AB于点G, ∴DE=DG ∴点G在⊙D上， ∴.AB与⊙D相切于点G 15/15 专题01 证明直线是切线的专项训练 题型一 利用角度计算与等量代换证垂直 题型二 利用平行线性质证垂直 题型三 利用“全等三角形或特殊三角形”证垂直 题型四 无公共点作辅助垂线证垂直 题型一：利用角度计算与等量代换证垂直 1．如图，是的直径，C点在上，平分交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． (1)求证：； (2)求证：直线是的切线； (3)若 ，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，平分， ∴， ∴； (2)证明：连接半径，如图1所示： 则， ∴， ∵于E， 在中， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (3)2 【分析】（1）证，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解； （2）连接半径，可得；根据、即可求证； （3）过点D作于F，可得，在中求出可推出，，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作于F，如图2所示： ∵平分交于D，于E， ∴， ∵， ∴半径， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，． 2．如图，在中， (1)实践与操作：点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点，并与线段交于另一点；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点与点，并补全． (2)在（1）的条件下，若．求证：直线是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如下图所示，连接， 则， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，与交于点，则点，点与为所求； （2）连接，利用圆周角定理得到，则可证明，再利用圆的切线的判定定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 4．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 5．如图，为的直径，，，是上的点，四边形为菱形． (1)求的长； (2)延长到点，使得，求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图2，连接． 由（1）可得，， ∴， ， 是等边三角形， ，． ， ， ． ， 又∵是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接．首先，证得是等边三角形，得，，然后，求得，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接．先证得是等边三角形，得，，再由，得，进而得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接． ∵四边形为菱形， ，． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； （2）略 题型二：利用平行线性质证垂直 1．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 2．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【分析】（1）证明 是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是 的切线； 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； （2）略 题型三：利用“全等三角形或特殊三角形”证垂直 1．如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 2．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 3．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 【答案】(1)切线如图所示： (2)证明：∵，， ∴垂直平分（垂直平分线的逆定理）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（切线的判定定理）． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 5．如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． (1)求证：与⊙相切； (2)已知，，求⊙的半径． 【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的半径，且点在上， ∴与相切； (2)的半径为 【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分；又，为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得．因是的半径，且点在直线上，即可证与相切； （2）由、，根据三线合一可知是底边的中线，则可得．在中，运用勾股定理即可求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，且， ∴是底边的中线， ∴， 在中，， ∴的半径为． 题型四：无公共点作辅助垂线证垂直 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 2．作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在中，， (1)按要求完成作图： ①用尺规作的角平分线，交于O， ②以O为圆心，为半径作； (2)判断（1）中与的位置关系，直接写出结果． 【答案】(1)①如图，射线、点O即为所求；②如图，即为所求： (2)与相切 【分析】（1）①②根据题干要求以及角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）过O作于点D，先利用角平分线的性质得到，再根据切线的判定可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：与相切．理由如下： 过O作于点D， ∵平分，，（即）， ∴， ∴为的半径， ∴与相切． 3．如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)如图，为所作的图形． (2)与相切．理由如下： 如图，过点D作于点G． ∵ 是等边三角形， 是 边的中线， ∴平分． ∵与相切于点E， ∴于点E． 又∵于点G， ∴． ∴点G在上， ∴与相切于点G 【分析】（1）过点D作于点E，以点D为圆心，以为半径作圆即可． （2）过点D作于点G．证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $