第30章 《直线与圆的位置关系》（知识点+例题讲解+练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册
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内容正文：
第三十章 直线与圆的位置关系
【人教版】
目录
第三十章 直线与圆的位置关系 1
【知识点总结】 1
知识点一 直线与圆的位置关系 1
知识点二 切线的判定定理和性质定理 2
知识点三 切线长及切线长定理 2
知识点四 三角形的内切圆 2
知识点五 圆内接多边形 3
知识点六 探究圆与圆的位置关系 3
【题型归纳】 3
题型一 直线和圆的位置关系 3
题型二 切线的性质 6
题型三 与圆有关的综合题型 12
题型四 三角形的内切圆 20
题型五 正多边形与圆 23
题型六 正多边形与圆的综合 27
题型七 三角形与圆的综合题型 30
题型八 四边形与圆的综合 36
题型九 函数与圆的综合 46
题型十 探究圆与圆的位置关系 54
2 / 53
1 / 53
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【知识点总结】
知识点一 直线与圆的位置关系
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
d与r关系
d＜r
d＝r
d＞r
公共点名称
割点
切点
直线名称
割线
切线
知识点二 切线的判定定理和性质定理
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2. 切线的判定定理的推论
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3. 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径．
4. 证明直线是圆的切线的方法
一看
利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点
二算
利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径
三定理
利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径
知识点三 切线长及切线长定理
1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
知识点四 三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．
2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点．
3. 三角形的内心与外心的区别
内心
外心
内心到三角形三边的距离相等
外心到三角形的三个顶点的距离相等
过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角
过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边
所有三角形的内心均在三角形内部
三角形的外心不一定在三角形内部
知识点五 圆内接多边形
1. 圆内接多边形的定义
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
2. 圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
知识点六 探究圆与圆的位置关系
两圆的位置关系
d与r1和r2之间的关系
外离
d＞r1+r2
外切
d=r1+r2
相交
│r1-r2│＜d＜r1+r2
内切
│r1-r2│=d
内含
│r1-r2│＞d
两圆半径分别为r1和r2，两圆的圆心距为d
【题型归纳】
题型一 直线和圆的位置关系
【例题 1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作．
（1）若，则射线与的位置关系是__________；
（2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________；
（3）当时，射线与的位置关系是__________．
【答案】 相切 相交
【知识点】判断直线和圆的位置关系、含30度角的直角三角形
【分析】过点M作于点N，根据直线与圆的位置关系，逐个进行分析求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点M作于点N，
∵
在中，，
∴射线与的位置关系是相切．
（2）∵与射线没有交点， ，
∴r的取值范围是．
（3）∵，
∴，
∴射线与的位置关系是相交．
【练习 1.1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是______．
【答案】相切
【知识点】判断直线和圆的位置关系、求点到坐标轴的距离、因式分解法解一元二次方程
【分析】解方程推出的半径，再求出点A到x轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵的半径是方程的一个根，
∴的半径为6，
∵的圆心坐标为，
∴点A到x轴的距离为，
∴点A到x轴的距离等于的半径，
∴与x轴的位置关系是相切．
【练习 1.2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________．
【答案】
【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、判断直线和圆的位置关系
【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围．
【详解】解：直线的解析式为，
直线与轴正半轴的夹角为，
当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径，
设切点为，连接，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
当直线与轴正半轴相交且相切时，，即，
同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即，
直线与有公共点，
点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是．
【练习 1.3】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值、用勾股定理解三角形
【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可．
【详解】解：在中，，，．
，
过点作于点，
，
，
与斜边所在直线有且只有一个公共点，
与相切，
．
题型二 切线的性质
5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________．
【答案】6
【知识点】切线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】如图：连接，则，由切线的性质可得，结合可证明可得，同理可得：；再结合，最后运用等量代换以及线段的和差求解即可．
【详解】解：如图：连接，则，
∵分别切于A、C两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵的周长为12，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得：．
【练习 2.1】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则=____°．
【答案】
【知识点】切线的性质定理、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、圆周角定理
【分析】如详解图，连接，利用圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两锐角互余解答即可．
【详解】
解：连接，
与相切于点，
，
圆心角、圆周角同对，
，
．
【练习 2.2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测），分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度、多边形内角和问题、圆周角定理
【分析】连接，，根据切线性质得到，，先求出圆心角；分点在优弧、劣弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形对角互补计算．
【详解】解：①当点在优弧上时，连接，，
，分别切于，，
，，
．
四边形内角和为，，
．
，
．
②当点在劣弧上时，连接，，在优弧上取一点，连接、，
由①得，
圆内接四边形对角互补，
．
的度数为或．
【练习 2.3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线
(1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径．
【答案】(1)条件①②结论③
证明：连接，如图，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线；
条件①③结论②
证明：连接，如图，
∵，
∴．
∵为的切线，
∴．
∴，即，
∵，
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∴；
条件②③结论①
证明：连接，如图，
∵，
∴．
∵为的切线，
∴．
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴；
(2)3
【知识点】切线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、圆的基本概念辨析、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形
【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证；
选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证；
选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证；
（2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设，则，
∵B为的中点，
∴，
由（1）知：，，
∴在中，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为．
题型三 与圆有关的综合题型
【例题 3】（2026·吉林长春·模拟预测）【定理呈现】
如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理，
(1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程．
证明：如图②，连接
【定理应用】
(2)如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长；
【拓展提升】
(3)如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________．
【答案】(1)∵ ，
∴ ，
，
．
(2)
(3)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、圆内知识综合(圆的综合问题)、圆周角定理
【分析】（1）连接，由同弧所对圆周角相等得 ，，证，利用相似三角形对应边成比例得 ．
（2）设 ，则 ，由相交弦定理 ，代入 得，解得，故．
（3）由相交弦定理得为定值，当时，即时最小，由得，故的最小值．
【详解】（1）略
（2）解：设，由得，
由相交弦定理得，，
代入得，，
化简得： ，即，
，
∴ ，
（3）解： ， ，
由相交弦定理得， ，即为定值，
如图，过作垂足为，
则，
为半径是定值，
当最大时，最小，
当点与点重合时，最大，
此时，即 时，最小，
由 且，得：
，解得，
的最小值为 ．
【练习 3.1】（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合），
(1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆
(4)
(5)
①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由；
②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积；
③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离．
【答案】(1)直角
(2)
(3)①解：点O在半圆上．理由如下：
如图，连接，，．
∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∵的直径，
∴的半径，
∴，
解得：，
即，
∴点O在半圆上．
②
③点P到的距离为或
【知识点】切线的性质定理、利用垂径定理求值、圆内知识综合(圆的综合问题)、作线段(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求扇形面积
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案；
（2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于点P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，，，则四边形即为所求；
（3）①连接，，．由垂径定理得到，，由勾股定理得，解出，即有，则点O在半圆上；
②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，再运用扇形面积公式进行计算即可；
③分点在点O的右侧以及点在点O的左侧，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵是直径，
∴，
∴是直角三角形．
（2）略
（3）①略
②解：∵点O在半圆上，
∴半圆与相切时，切点为点O，
∴，
∵由①可知，，
∴，
∴，
∴．
③解：点P到的距离为或．理由如下：
如图，当点在点O的右侧时，过点作于点N，过点P作于点M．
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴点P到的距离为；
如图，当点在点O的左侧时，过点作于点S，过点P作于点R．
同理可证，
∴同理可得，
∴，
同理可得点P到的距离为；
综上所述，点P到的距离为或．
【练习 3.2】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且．
(1)求证：平分；
(2)已知，的半径为，求的长．
【答案】(1)
证明：连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
(2)
【知识点】切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可；
（2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点O作，垂足为点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，的半径为．
在中，，
，
即．
【练习 3.3】（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
(1)的长度为多少公分？
(2)判断与的长度何者较大？请说明理由．
【答案】(1)
大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，
公分，
为中点，
（公分）；
即的长度为30公分．
(2)
，理由如下：
由题意得：大圆的直径公分，
如图3，延长、交于点O，延长、交于点，则公分，
（公分），
（公分），
，
，
（公分），
，
，
即
【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由，可求得公分，再根据中点性质即可求得答案；
（2）根据为大圆的直径可得公分，再根据勾股定理可得公分，进而可得公分，比较160与的大小，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，中点性质等，难度适中，构造直角三角形是解题关键．
题型四 三角形的内切圆
【例题 4】（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____．
【答案】12
【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解
【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果．
【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
【练习 4.1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内心有关应用、圆周角定理
【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
点是的内心，
平分，
，
，
平分，平分，
，
．
【练习 4.2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值．
【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，
由题得，，
∴的周长为．
以为底、为高，的面积为，
又∵的面积可表示为
，
∴联立等式，
得，
∴．
【练习 4.3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心．
(1)若，求的度数；求的度数．
(2)求与的关系．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用、圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合
【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系．
【详解】（1）解∶为的内心，
，．
，
．
，即，
．
点O为的外心，
由圆周角定理得．
，
．
（2）解： 是的内心，
平分，平分．
．
在中，由三角形内角和定理：
在中，，
∴
是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍．
∴，即，
∴．
题型五 正多边形与圆
【例题 5】（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ）
A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误
C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确
【答案】A
【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】连接交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确．
【详解】
解：连接交于点，
∵正五边形内接于，
∴，
，
∴，
故小慧的结论正确；
∵，
∴，的直径为，
∴，点是的中点
∴
∴
即，，
，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故小丽的结论正确．
故选： ．
【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键．
【练习 5.1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________．
【答案】
36
【知识点】求正多边形的中心角、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可．
【详解】解：∵点是正五边形的中心，
，．
，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
∴，.
【练习 5.2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）．
【答案】
【知识点】求正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为，
连接、，
过点作于点
多边形是正六边形
，
是等边三角形
在中，由勾股定理得：
正六边形的面积为： ．
【练习 5.3】（2026·江苏盐城·三模）如图，将两个全等的边长为的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为________．
【答案】
【知识点】求正多边形的中心角、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】连接、、、，根据正六边形的性质可知和是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据求出结果．
【详解】解：如下图所示，连接、、、，
根据正六边形的性质可知，和是等边三角形，
，
是的垂直平分线，
，，
，
同理可得：，
．
题型六 正多边形与圆的综合
【例题 6】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴．
【练习 6.1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质定理、正多边形和圆的综合、正多边形的内角问题、圆周角定理
【分析】连接、，由M、N是边、与的切点可以得到，求出正多边形每个内角的度数，通过四边形内角和为可以得出的度数，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
【详解】解：连接、，如下图所示，
、N是边、与的切点，
、，
，
正五边形的内角和为：，
，
在四边形中，，，
，
．
【练习 6.2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解．
【详解】解：五边形是正五边形，
弧与弧的度数均为，
弧的度数为，
是弧所对的圆周角，
．
【练习 6.3】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接、、、、、、、，
∵正五边形和正方形内接于，
∴，，
∴，，，，，，
∴最长劣弧所对的圆心角为，
则最长劣弧的弧长为．
题型七 三角形与圆的综合题型
【例题 7】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______．
【答案】或
【知识点】三线合一、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形
【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，当点在点右侧时，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出，接着在中利用勾股定理可计算出的长；当点在点左侧时，利用同样的方法计算的长．
【详解】解：过C作于H，连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，，又，
∴，
∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D，
∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是，
∴，则，
∵，
∴，
当点在点右侧时，则，
在中，，
在中，，
∴；
当点在点左侧时，同理可得．
【练习 7.1】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆上一点的最值问题、利用垂径定理求值、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形
【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值．
【详解】解：如图，连接，
，
，
为定值，则当取得最小值时，取得最大值，
当时，取得最小值，
此时点与点重合，
，
．
【练习 7.2】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测） 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，．
(1)求的度数；
(2)探究线段、、之间的数量关系，并证明．
(3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值．
【答案】(1)
(2)解：，证明如下：
延长至点M，使得，连接，
，，
，
在和中
∴，
，
，
在中，，
，
．
(3)4
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得出，根据等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理得出答案即可；
（2）延长至点M，使得，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案；
（3）过点作交点N，证明四边形为正方形．得出，证明，得出，设 ，则，求出 ，根据二次函数性质得出答案即可．
【详解】（1）解：为直径，
，
∵，
，
∵，
∴；
（2）略
（3）解：过点作交点N， 如图所示：
为直径，
．
，
，
，
平分 ．
又 ，
，
四边形为正方形．
，
，
，
，
．
在和中，
∴，
，
设 ，则，
，
当，取得最大值，最大值为4，
即最大值为4 ．
【练习 7.3】（2026·安徽阜阳·三模）如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E．
(1)证明：；
(2)设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长．
【答案】(1)证明：如图，连接，
∵是的切线，是的半径，
∴ ．
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)
【知识点】切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形
【分析】（1）利用切线的性质得到 ，根据半径构成的等腰三角形和对顶角得到对应的角相等，再通过等量代换，证出答案；
（2）根据圆的半径和算出线段的代数式，利用勾股定理进行求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵的半径为4，
∴ ．
∵，
∴，
∴ ，
∴ ．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
∴ ．
题型八 四边形与圆的综合
【例题 8】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
，
平分；
(2)8
【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角、全等的性质和HL综合（HL）、同弧或等弧所对的圆周角相等、圆与四边形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答；
（2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可．
【详解】（1）略
（2）解：过作于，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中
，
，
，
，
，
答：的长为．
【练习 8.1】（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．
(1)如图1，连接，求的长；
(2)如图2，连接，当时，求的长；
(3)如图3，连接，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、圆与四边形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）根据边的数量关系可得，即可求解；
（2）连接，当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．求出，再根据弧长公式，即可求解；
（3）当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为为中点，根据三角形中位线定理可得，可证明为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴．
∵为直径，
∴．
∴；
（2）解：连接，
当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴圆的半径为3，
∴的长；
（3）解：当点G为中点时，面积最大，
连接交于点H，则，且点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵点O为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴面积最大值．
【练习 8.2】（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长．
【答案】(1)
证明：如图1，
点在的外接圆上，
，
在正方形中，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
(2)
结论：，
理由：如图2，延长交于点H，
，，
，即，
，
，
，
，
又，
，
，，
∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
∴是等腰直角三角形，
；
(3)或12
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明、圆与四边形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论；
（2）如图2，延长交于点H．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论；
（3）由（2）知．求得．根据是BC的中点，于是得到，推出不存在，当时，如图3，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图4，连接．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）知．
，
，
∴，
是的中点，
．
由①可知，，
∴，
，
是圆的直径，
当点Q在上方的弧上时，（时相切，不存在）；当点Q在左侧的弧上时，（时相切，不存在），当点Q在下方的弧上时，，
不存在，
当时，如图3，，
，
连接，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∴，
当时，如图4，连接；
是圆的直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
综上所述，的长是或12．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【练习 8.3】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接．
【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______；
【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明；
【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题：
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，求（直接写出结果）．
【答案】
【特殊体会】
【初步探究】，
证明：如题图2．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．
【深入探究】①与相切；
理由：如图，连接、．
∵，
∴．
∵与相切，
∴．
∴，
又 ∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
又 ∵是半径，
∴与相切．
②
【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、圆周角定理、圆与四边形的综合(圆的综合问题)
【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论；
初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论；
深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得
，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论；
② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
初步探究：略
深入探究：①略
②．
如图，延长交于点，
∵，，
∴ 四边形、都是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键．
题型九 函数与圆的综合
【例题 9】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线及直线的表达式；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】(1)，
(2)
证明：由（1）可得抛物线的对称轴为．
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且．
(3)
【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、圆与函数的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）利用点A及B的坐标运用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再根据坐标系中的两点距离公式分别求出，，，然后利用勾股定理逆定理即可证明．
（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解： 将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）略
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
【练习 9.1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标；
(3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积．
【答案】(1)
(2)，，；
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、圆与函数的综合(圆的综合问题)
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式．
（1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解；
（2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解；
（3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点为圆心，，，
，
的方程为，
联立，
将代入得
，即，
设，则，
解得或．
当时，，，
时
时．
当时，，，
时，
时．
除点外的其余交点的坐标为，，；
（3）由（2）可知，点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入中，得
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
直线与轴的交点坐标为，
．
【练习 9.2】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、圆与函数的综合(圆的综合问题)
【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可．
【详解】解：连接，．
，
点的坐标为，
令，则，
解得，，，
，，
，
∴，
∴轴．，
∴点在上，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，
点运动的路径长是．
故选：D
【练习 9.3】（2026九年级·北京·专题练习）平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段．
(1)如图，在点，，中，点______是的关联点；
(2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______；
(3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、圆与函数的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）根据关联点定义，得到关联点需要满足到圆心 的距离小于 2，分别算出三点到 O 点的距离，对比距离 2 的大小，筛选出符合条件的关联点．
（2）作出已知点关于关联线段的对称点，连接圆心与对称点并延长交圆得到最短、最长弦，结合已知点的坐标算出圆心到该点距离，求出关联线段长度的最小值与最大值，得到取值范围．
（3）利用第（1）问结论，关联点在以 为圆心 2 为半径的圆内部，求出直线与坐标轴交点 、，算出线段 和该圆相切时的 值，结合圆 最长弦是直径为 2，恒成立，得到 的取值范围．
【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，
如图，点为上的一点，过点作的直径，
∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称，
∴，
∴，
∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的，
∵此时对称轴是的切线，不是的弦，
∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点，
∴若点是的关联点，则，
∵，，，
∴，，，
∴点，为关联点，不是关联点．
（2）解：作与关于弦对称，如图所示：
∴上的点是的关联点，关联线段为弦，
连接，并延长交于点，，
∴为最小值，为最大值，
∵点，，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，
∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点，
当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示：
∴，，
∵直线的解析式为，
令，得；令，得，解得：，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∴在中，，
∴，
∴当时，线段上存在的关联点，
∵中最长的弦为的直径，的直径为，
∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于
∵记这些点与的关联线段长的最大值为，
∴，
∵，
∴也一定成立，
综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足．
题型十 探究圆与圆的位置关系
【例题 10】（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．相离
【答案】A
【知识点】圆和圆的位置关系
【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含．
【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距，
，
，
与的位置关系是内含．
【练习 10.1】（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（ ）
A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点
C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点
【答案】D
【知识点】圆和圆的位置关系
【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解．
【详解】解：和的半径分别是5和7，且，，
A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误；
B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误；
C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误；
D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确．
【练习 10.2】（2026·山东滨州·二模）如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆和圆的位置关系
【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解．
【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，．
两圆相切，
分两圆外切和两圆内切两种情况：
当两圆外切时，如图1，圆心距 ；
当两圆内切时，如图2，圆心距 ．
综上所述，， 两点的距离等于或．
【练习 10.3】（2026·上海徐汇·二模）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】切线的性质定理、圆和圆的位置关系、全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形
【分析】先证点O在的角平分线上，再求出与外切时的半径，进而可得半径的取值范围．
【详解】解：标记与边、的切点为E，H，
则，，
在与中，，
，
，
即点O在的角平分线上，
作，与外切，切点为M，N，且与边、均相切，与的切点为点D，与的切点为点F，
同理可得，点与在的角平分线上，
设的半径为r，
，
，，
，
，
解得，
同理可得的半径为3，
与相交，
，
当时，与重合，不合题意，
观察四个选项可知，的半径长可以是2．
故选B．
$第三十章 直线与圆的位置关系
【人教版】
目录
第三十章 直线与圆的位置关系 1
【知识点总结】 2
知识点一 直线与圆的位置关系 2
知识点二 切线的判定定理和性质定理 2
知识点三 切线长及切线长定理 2
知识点四 三角形的内切圆 3
知识点五 圆内接多边形 3
知识点六 探究圆与圆的位置关系 3
【题型归纳】 4
题型一 直线和圆的位置关系 4
题型二 切线的性质 4
题型三 与圆有关的综合题型 5
题型四 三角形的内切圆 7
题型五 正多边形与圆 8
题型六 正多边形与圆的综合 9
题型七 三角形与圆的综合题型 10
题型八 四边形与圆的综合 12
题型九 函数与圆的综合 13
题型十 探究圆与圆的位置关系 14
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【知识点总结】
知识点一 直线与圆的位置关系
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
d与r关系
d＜r
d＝r
d＞r
公共点名称
割点
切点
直线名称
割线
切线
知识点二 切线的判定定理和性质定理
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2. 切线的判定定理的推论
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3. 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径．
4. 证明直线是圆的切线的方法
一看
利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点
二算
利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径
三定理
利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径
知识点三 切线长及切线长定理
1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
知识点四 三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．
2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点．
3. 三角形的内心与外心的区别
内心
外心
内心到三角形三边的距离相等
外心到三角形的三个顶点的距离相等
过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角
过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边
所有三角形的内心均在三角形内部
三角形的外心不一定在三角形内部
知识点五 圆内接多边形
1. 圆内接多边形的定义
（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
2. 圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的对角互补；
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．
知识点六 探究圆与圆的位置关系
两圆的位置关系
d与r1和r2之间的关系
外离
d＞r1+r2
外切
d=r1+r2
相交
│r1-r2│＜d＜r1+r2
内切
│r1-r2│=d
内含
│r1-r2│＞d
两圆半径分别为r1和r2，两圆的圆心距为d
【题型归纳】
题型一 直线和圆的位置关系
【例题 1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作．
（1）若，则射线与的位置关系是__________；
（2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________；
（3）当时，射线与的位置关系是__________．
【练习 1.1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是______．
【练习 1.2】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________．
【练习 1.3】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
题型二 切线的性质
5．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________．
【练习 2.1】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则=____°．
【练习 2.2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测），分别与相切于，两点，点在上，不与点，重合．若，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【练习 2.3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线
(1)请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径．
题型三 与圆有关的综合题型
【例题 3】（2026·吉林长春·模拟预测）【定理呈现】
如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理，
(1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程．
证明：如图②，连接
【定理应用】
(2)如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长；
【拓展提升】
(3)如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________．
【练习 3.1】（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合），
(1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆
(4)
(5)
①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由；
②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积；
③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离．
【练习 3.2】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且．
(1)求证：平分；
(2)已知，的半径为，求的长．
【练习 3.3】（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于G点，G为中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
(1)的长度为多少公分？
(2)判断与的长度何者较大？请说明理由．
题型四 三角形的内切圆
【例题 4】（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____．
【练习 4.1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【练习 4.2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【练习 4.3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心．
(1)若，求的度数；求的度数．
(2)求与的关系．
题型五 正多边形与圆
【例题 5】（2026·江苏南通·中考真题）如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ）
A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误
C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确
【练习 5.1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________．
【练习 5.2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）．
【练习 5.3】（2026·江苏盐城·三模）如图，将两个全等的边长为的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为________．
题型六 正多边形与圆的综合
【例题 6】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【练习 6.1】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的内切圆，M，N，P分别是边，，与的切点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【练习 6.2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【练习 6.3】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________．
题型七 三角形与圆的综合题型
【例题 7】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______．
【练习 7.1】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【练习 7.2】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测） 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，．
(1)求的度数；
(2)探究线段、、之间的数量关系，并证明．
(3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值．
【练习 7.3】（2026·安徽阜阳·三模）如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E．
(1)证明：；
(2)设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长．
题型八 四边形与圆的综合
【例题 8】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【练习 8.1】（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．
(1)如图1，连接，求的长；
(2)如图2，连接，当时，求的长；
(3)如图3，连接，求面积的最大值．
【练习 8.2】（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长．
【练习 8.3】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接．
【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______；
【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明；
【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题：
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，求（直接写出结果）．
题型九 函数与圆的综合
【例题 9】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线及直线的表达式；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值．
【练习 9.1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知反比例函数经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标；
(3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积．
【练习 9.2】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
【练习 9.3】（2026九年级·北京·专题练习）平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段．
(1)如图，在点，，中，点______是的关联点；
(2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______；
(3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围．
题型十 探究圆与圆的位置关系
【例题 10】（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．相离
【练习 10.1】（24-25九年级下·上海静安·阶段检测）已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（ ）
A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点
C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点
【练习 10.2】（2026·山东滨州·二模）如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（ ）
A．或 B． C． D．
【练习 10.3】（2026·上海徐汇·二模）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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