精品解析：山东泰安市宁阳县2026-2027学年九年级上学期期中学情检测数学试题

九年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：形如（是常数且）的函数叫作反比例函数， 符合y是x的反比例函数的是选项C； 选项A是一次函数； 选项B中x的次数是2，x的次数应该是1； 选项D是二次函数． 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 3. 把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， 所得抛物线对应解析式是． 4. 在中，、均为锐角，且，则是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先根据绝对值和平方的非负性得到和的值，再由特殊角的三角函数值可得到、的度数，从而得到结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、均为锐角， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 5. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数的解析式是 B. 与都随的增大而增大 C. 两个函数图像的另一交点坐标为 D. 当或时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据交点坐标求出正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一分析各选项的正确性． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法，交点问题的解答思路是解题的关键． 【详解】解：由正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 得， 故， 根据图象的中心对称，得另一交点， 随的增大而减小，在每一个象限内，随的增大而增大． 当或时，， 故A，B，C都是错误的，D是正确的， 故选：D． 6. 金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 7. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的综合问题， 分两种情况讨论：当时，根据一次函数的图象和反比例函数经过的象限；当时，一次函数和反比例函数经过的象限即可得出答案. 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数位于第二、四象限，即可得出答案. 所以图B符合题意. 故选：B. 8. 甲、乙、丙、丁四名同学从家出发骑自行车回学校，如图，用四个点分别描述这四人回校的平均速度与所用时间的情况，其中描述乙、丁两人情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四人中，从家到学校距离最远的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】由于，可根据反比例函数的性质：在同一个反比例函数图象上，图像上的点的横、纵坐标之积相等；同时，图象左侧的点横、纵坐标之积比在图象上的点要小，在图象右侧的点横、纵坐标之积比在图象上的点要大．由此观察各点与用虚线表示的反比例函数的位置关系即可判断． 【详解】解：设从家到学校的距离为，平均速度为，所用时间为， 则，即，符合图中所示图象； 乙、丁两点在同一个反比例函数图象上， 乙、丁两人的横、纵坐标乘积相等，即路程相等， 由反比例函数的性质可知， 丙点位于该反比例函数图象的右侧，比乙、丁两人所在图象上的点横、纵坐标之积要大， 甲点位于该反比例函数图象的左侧，比乙、丁两人所在图象上的点横、纵坐标之积要小； 丙点对应的乘积最大，甲点对应的乘积最小， 丙的路程最远，故选择． 9. 如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，， 过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即容器最高处距离地面的高度是． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值即可解决问题． 【详解】解：由题意得，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，且经过点， ∴根据对称性可得，与x轴的另一交点为， ∴，故②不正确； ∵， ∴，即，故⑤正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时， 又∵当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于的方程求解，注意二次项系数不为零的要求． 【详解】解：由二次函数的定义可得，，解得，故． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示．轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据平行线间的距离相等得出，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ， ， ， 反比例函数在第二象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确的面积的面积是解题的关键． 13. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，利用三角形中位线定理求出的长，再根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点作于点．      是边上的中线 为的中点  是的中位线    在中， ． 14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【详解】解：在Rt△APC中，∵AP= 海里，∠APC=45°， ∴海里． 在Rt△BPC中，∵∠ PBC=30°， ∴海里； ∴AB=AC+BC=海里． 故答案为． 【点睛】本题考查了方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 15. 当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：∵函数 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 在中： 当时，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为， ∴ ∴，不符合题意，舍去； 在中： 当时，当时，函数的最小值为， ∴ 解得或（舍去）； 在中： 当时，y随x的增大而减小， 当时，函数的最小值为， ∴ ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 已知一个反比例函数的解析式为(为常数，)． （1）若点在这个反比例函数的图象上，求的值； （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； （3）若，点，，都在这个函数的图象上，且，比较，，的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标列方程求解的值． （2）根据反比例函数的增减性列不等式求的取值范围． （3）结合反比例函数的图象位置与增减性比较函数值大小． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上． ∴将，代入解析式， 得   解得 ． 【小问2详解】 ∵反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大． ∴ ． 解得 ． 【小问3详解】 当时，． ∴该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ． ∴点、在第四象限，，，且． ∵ ． ∴点在第二象限，． ∴ ． 18. 如图，在中，，，，点在边上，且． （1）求的长； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先解直角三角形求出的长，再求出，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点． ∴， ∵， ， ， ， ． ． ． 【小问2详解】 解：，， ． ． 19. 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为，在楼顶A处测得塔顶的仰角为，求塔高的高及大楼与塔之间的距离的长．（参考数据：，） 【答案】塔高是32米，大楼与塔之间的距离的长为40米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角的问题，过点A作于点E，由题意可知：，，，设大楼与塔之间的距离的长为x米，则，分别在中和中，用x表示出和，利用，得到有关x的方程求得x的值即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，     由题意可知：，，， 设大楼与塔之间的距离的长为x米，则， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 答：塔高是32米，大楼与塔之间的距离的长为40米． 20. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段所在直线和所在双曲线的函数关系式； （2）一道数学题，需要讲分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】（1）， （2）教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出线段所在直线和所在双曲线的函数关系式； （2）求出学生的注意力指数不低于的时间，根据题目讲解所需的时间比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，点的坐标为，点的坐标为， 设线段所在直线的解析式为， 可得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为； 设所在双曲线的函数关系式为， 由函数图象可知，点的坐标为， 可得：， 解得：， 所在双曲线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， 解得：， 当时， 可得：， 解得：， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 21. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）写出苗圃园的面积与边长的关系式，并求出的取值范围； （2）若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）苗圃园的面积的最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）根据墙长为米，可得，解不等式求出的取值范围，根据矩形的面积公式求出面积与边长的关系式； （2）平行于墙的一边长不小于米，可得，把整理成顶点坐标式，可得：，结合的取值范围求出面积的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：苗圃园垂直于墙的一边长为米， 平行于墙的边长为米， 墙长为米， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：平行于墙的一边长不小于米， ， ， 整理， 可得：， 当时，有最大值，最大值是， ，，， 当时，有最小值，最小值为； 苗圃园的面积的最大值是，最小值是． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，顶点纵坐标为，经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）分别求抛物线和直线的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）抛物线的表达式为，直线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，根据抛物线的顶点的纵坐标为，求出的值；解方程求出点、的坐标，根据求出点的横坐标，代入抛物线的解析式再求出点的纵坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点、的坐标求出抛物线的对称轴，再求出对称轴与直线的交点的坐标，从而可知的长度，再根据点、的坐标求出的面积． 【小问1详解】 解：整理， 可得：， 抛物线的顶点的纵坐标为， ， ， 抛物线的解析式为； 解方程， 整理可得：， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为， ， 直线经过点， ， ， 直线的表达式为， 如下图所示，过点作轴， 则， ， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标是， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接、， 由（1）可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的对称轴为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， ． 23. 如图1，消防员使用消防水枪灭火．忽略空气阻力，把水柱顶端看作一个运动的点（以下“水柱”均指该点），其运动路线近似是抛物线的一部分．如图2，水枪喷水口离地面，水柱射到处达到最高，以水枪喷水口点正下方的地面处为原点，建立平面直角坐标系． （1）如果一棵大树着火，消防员站在处使用消防水枪灭火，已知最高点离地面，与点的水平距离为． ①求水柱离地面的高度为与到点的水平距离为之间的函数表达式； ②点与这棵大树的水平距离为米时，水柱在下落过程中恰好射中这棵大树的着火点，求大树着火点的高度． （2）在给一栋着火的楼房灭火时，消防员调整了水枪的喷射角度，此时水柱的运动路线满足，水柱下落过程中，其中一扇窗户的窗台离地面、窗顶离地面，楼房与点的水平距离为，若水柱恰好能射入这扇窗户，求的取值范围． 【答案】（1）① ②大树着火点的高度为米 （2） 【解析】 【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式； ②把代入解析式即可求出大树着火点的高度； （2）解方程分别求出当和时对应的的值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 ①解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 可得：， 解得：， 水柱离地面的高度为与到点的水平距离为之间的函数表达式为； ②解：当时， 可得：， 大树着火点的高度为米； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线的对称轴为， 当时，水柱是上升趋势，当时，水柱是降落趋势， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 3. 把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线对应的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，、均为锐角，且，则是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数的解析式是 B. 与都随的增大而增大 C. 两个函数图像的另一交点坐标为 D. 当或时， 6. 金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁四名同学从家出发骑自行车回学校，如图，用四个点分别描述这四人回校的平均速度与所用时间的情况，其中描述乙、丁两人情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四人中，从家到学校距离最远的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 已知是二次函数，则________． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示．轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为________． 13. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则__________． 14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 15. 当时，函数的最小值为，则的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 已知一个反比例函数的解析式为(为常数，)． （1）若点在这个反比例函数的图象上，求的值； （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； （3）若，点，，都在这个函数的图象上，且，比较，，的大小． 18. 如图，在中，，，，点在边上，且． （1）求的长； （2）求的余弦值． 19. 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底B处测得塔顶C的仰角为，在楼顶A处测得塔顶的仰角为，求塔高的高及大楼与塔之间的距离的长．（参考数据：，） 20. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段所在直线和所在双曲线的函数关系式； （2）一道数学题，需要讲分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 21. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）写出苗圃园的面积与边长的关系式，并求出的取值范围； （2）若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积的最大值和最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，顶点纵坐标为，经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）分别求抛物线和直线的表达式； （2）求的面积． 23. 如图1，消防员使用消防水枪灭火．忽略空气阻力，把水柱顶端看作一个运动的点（以下“水柱”均指该点），其运动路线近似是抛物线的一部分．如图2，水枪喷水口离地面，水柱射到处达到最高，以水枪喷水口点正下方的地面处为原点，建立平面直角坐标系． （1）如果一棵大树着火，消防员站在处使用消防水枪灭火，已知最高点离地面，与点的水平距离为． ①求水柱离地面的高度为与到点的水平距离为之间的函数表达式； ②点与这棵大树的水平距离为米时，水柱在下落过程中恰好射中这棵大树的着火点，求大树着火点的高度． （2）在给一栋着火的楼房灭火时，消防员调整了水枪的喷射角度，此时水柱的运动路线满足，水柱下落过程中，其中一扇窗户的窗台离地面、窗顶离地面，楼房与点的水平距离为，若水柱恰好能射入这扇窗户，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $