精品解析：广东揭阳市普宁市华南师范大学附属普宁学校2026-2027学年高一上学期期中教学质量检测数学试题

2026-2027学年度第一学期高一年级期中教学质量检测 数学科试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的描述法化简集合B，再根据集合的交集运算即可得答案. 【详解】因为集合， 所以集合， 则. 故选：A. 2. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题，的否定是全称量词命题，，所以A正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到其解集，再通过两个条件对应集合的包含关系判断其充分必要性. 【详解】由，得 ，解得 或， 充分性：因为或， 所以“”是“”的充分条件； 必要性：取，“”成立，但是“”不成立， 故“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 若，，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，由，得，所以，A错误； 对于B，由，得，所以，即，B正确； 对于C，由，得，所以，即，C错误； 对于D，由，得，所以，即，D错误． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可. 【详解】由有意义可得， ， 解得，即， 所以函数的定义域为. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为和均为单调函数， 所以欲使则需，得，则 7. 若为奇函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 8. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若对任意，，当时，都有成立， 可知函数在定义域内单调递减， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若集合，，且，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由，可得，又中最多有一个元素， 所以当时，可得， 当时，可得， 当时，可得， 故的可能取值为. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.用乘 1 法配凑定值，结合基本不等式求最小值，验证等号可取；B.直接用和定积最大的基本不等式，得 xy 最大值为；C.将平方和转化为含 xy 的表达式，结合 xy 的最大值反向求平方和的最小值；D.代入消元转化为单变量二次函数，通过配方法求开口向下抛物线的最大值. 【详解】由题知，对于选项A，，（当且仅当，即，等号成立） 对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B错误； 对于C，由，得，即，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由C知，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确． 11. 下列说法正确的是（　　） A. 已知函数，则 B. 与是同一函数 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A用换元法求解析式；B看定义域与对应关系；C注意“括号里”的范围；D先求根号内式子的取值范围． 【详解】解：A：令，则， ，，正确； B：，与的定义域、对应关系都相同，是同一函数，正确； C：，，即的定义域为， 由得，即定义域为，错误； D：，且当或时取到一切非负值， 的值域为，正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接计算即可. 【详解】由， 则， 所以. 13. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由定义判断函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值与最小值即得. 【详解】因的定义域为，任取， ， 因为，所以， 所以， 即当时，，故函数在上为减函数， 故当时，函数取最大值，当时，取最小值， 故. 14. 若，使为假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原命题为真时的取值范围，再求其补集得到原命题为假时的取值范围. 【详解】当，使为真命题时，即在上有解. 设，. 对于函数，根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增. 对于，在上单调递减，在上单调递增. ，，. 所以的值域为，即当原命题为真时，. 原命题为假时，则的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的定义域并求，； （2）已知，求a的值． 【答案】（1）定义域为；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式分母不为、二次根式被开方数大于等于列出不等式组求出定义域，将自变量直接代入解析式求出函数值； （2）把代入函数解析式，解方程即可求解. 【小问1详解】 要使有意义，需要满足 ， 解得且，所以的定义域是. ； . 【小问2详解】 ， 由，得， 即，解得. 16. 已知集合， （1）若求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，. 所以. 因为， 所以或， 则或 【小问2详解】 由可得： ， 解得. 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由不等式的解集为，得到和是方程的两个根，结合韦达定理求解； （2）对分，进行分类，利用恒成立的不等式列式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为，说明和是方程的两个根，且， 由韦达定理得：  ，解得； 【小问2详解】 当时，，一次函数不可能对任意都满足，不符合题意； 当时，二次函数对任意恒成立，需满足， 其中判别式， 由得，解得，结合，得， 综上，a的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）在上单调递增. 证明：任取，且，则， 所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以，即， 所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）对的表达式变形配凑出整体的形式，直接整体代换即可； （2）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、判断符号，即可证明单调性. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 略 19. 对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 【答案】（1）因为函数在为增函数，所以在也为增函数， 又因为，所以的值域为， 所以为函数的“优美区间”. （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可； （2）函数在为增函数，又为的“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”， 所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以的最小值为4. 【小问3详解】 定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以， 所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级期中教学质量检测 数学科试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若为奇函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 8. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若集合，，且，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是 D. 的最大值是 11. 下列说法正确的是（　　） A. 已知函数，则 B. 与是同一函数 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 13. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____． 14. 若，使为假命题，则的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的定义域并求，； （2）已知，求a的值． 16. 已知集合， （1）若求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若，对任意，恒成立，求a的取值范围； 18. 已知函数. （1）求的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 19. 对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $