期中（第25章-28章）阶段复习拔高卷（考前押题卷二）-2026-2027学年人教版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习拔高卷（考前押题卷二） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 4．学校创客社团的同学用3D打印机制作了一款底面为正方形的杯垫．为了提升实用性，现将杯垫底面各边的长度均增加，结果底面面积增加了，设原杯垫的底面边长为，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表：以下结论：①对称轴为直线；②函数最小值为4；③时，，；④的解集是；正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，函数的图象与函数的图象相交于点和点，函数的图象与函数的图象相交于点和点则四边形的形状一定是（     ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 8．如图，将绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（共18分） 11．定西作为全国马铃薯之乡，马铃薯种植面积持续增长：年为万亩，到年达到万亩．设这两年种植面积的年平均增长率相同，则这两年种植面积的年平均增长率为___________． 12．把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为________（化为一般式）． 13．已知反比例函数，（为常数，）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，则的取值范围是___________； 14．等腰中，的长是关于x的方程的两根，则m的值是____． 15．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，连接、，将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，则旋转角为________． 16．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程： (1)． (2) 18．求下列二次函数图象的顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 20．有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 21．如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在边长为1个单位长度的小正方形的格点上，点的坐标． (1)以原点为对称中心，在图中画出关于原点对称的； (2)请画出绕原点逆时针旋转得到的； (3)求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 25．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，． (1)________，________；（用含有的式子表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第25章-28章）阶段复习拔高卷（考前押题卷二） （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数，先化简各选项函数，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合． B选项：，是二次函数，符合． C选项：，是一次函数，不符合． D选项：的右边含分式，不是整式函数，不符合． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】需将原方程化为一元二次方程的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：， ， ， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．已知函数是反比例函数，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∵由，得或， 由，得， ∴． 4．学校创客社团的同学用3D打印机制作了一款底面为正方形的杯垫．为了提升实用性，现将杯垫底面各边的长度均增加，结果底面面积增加了，设原杯垫的底面边长为，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用新正方形面积与原正方形面积的差为列方程即可. 【详解】解：原杯垫底面为正方形，面积为，边长增加后，新正方形底面边长为，面积为， ∵底面面积增加了， ∴可列方程. 5．如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项． 【详解】解：抛物线开口向下，则，故A错误； 由图可知抛物线对称轴为直线，根据对称轴公式，可得； ∵， ∴，故B正确； 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，当时函数值，因此，故C错误； 把代入函数解析式得，由图可知对应抛物线上的顶点在第一象限，函数值为正，即，故D错误． 6．已知二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表：以下结论：①对称轴为直线；②函数最小值为4；③时，，；④的解集是；正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中的点求出二次函数解析式，再依次判断四条结论：利用对称轴公式判断①；根据的正负判断最值，判断②；将代入解析式求函数值，判断③；利用数形结合判断④，最后统计正确结论的个数． 【详解】解：由表格可知，抛物线过， ， ∴二次函数为， 把，代入二次函数得 ， 解得， ． ，， 对称轴：，故①正确． ， 抛物线开口向下，函数有最大值为，故②错误． ， ，故③正确． 在平面直角坐标系中作的图像如图， 由图可得，当的图像在轴的上方时，对应自变量的取值为， ④的解集是，故④正确． 综上，①③④正确，共3个． 7．如图，函数的图象与函数的图象相交于点和点，函数的图象与函数的图象相交于点和点则四边形的形状一定是（     ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】正比例函数与反比例函数图象都关于原点中心对称，若一个点在函数图象上，它关于原点的对称点也一定在该函数图象上，因此两个函数的交点必然关于原点对称，、两点关于原点对称，、两点关于原点对称，四边形对角线互相平分，由此可以判定该四边形是平行四边形；再结合坐标计算得到线段关系，排除矩形、菱形、正方形． 【详解】解：联立， 解得或， ，． 联立， 解得或， ，． 正比例函数、反比例函数的图象都关于原点中心对称，图象上的点关于原点的对称点仍在图象上， 点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ，，对角线，互相平分． 四边形是平行四边形． 矩形要求对角线相等，，， ，则，，可得． 菱形要求一组邻边相等，四边形顶点顺序为，邻边为、． ， ， ，可得． 正方形既是矩形又是菱形，本题中对角线不相等、邻边不相等，因此该四边形不是矩形、菱形、正方形． 综上，四边形一定是平行四边形． 8．如图，将绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得出旋转角 ，利用角的和差关系 求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 10．规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 即 ∵方程有两个不相等的实数根 ∴，且 解得且． 二、填空题（共18分） 11．定西作为全国马铃薯之乡，马铃薯种植面积持续增长：年为万亩，到年达到万亩．设这两年种植面积的年平均增长率相同，则这两年种植面积的年平均增长率为___________． 【答案】 【分析】已知年马铃薯种植面积为万亩，连续两年按相同年平均增长率增长后年达到万亩，可通过连续增长的数量关系列一元二次方程求解． 【详解】解：设这两年种植面积的年平均增长率为，依题意可得： ， ， ， 或， ，， 种植面积的增长率为正， ． 12．把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为________（化为一般式）． 【答案】 【分析】依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，先推导平移后的顶点式，再整理为题目要求的一般式即可． 【详解】解：原抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，对应的解析式为， 将上式展开整理为一般式， ． 13．已知反比例函数，（为常数，）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，则的取值范围是___________； 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，当函数图象每一分支上随增大而增大时，比例系数小于0，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数，（为常数，）的图象每一分支上，随的增大而增大时， ∴， 解得． 14．等腰中，的长是关于x的方程的两根，则m的值是____． 【答案】 16或25 【分析】等腰中，可作为底边或腰，需结合一元二次方程根与系数的关系、三角形三边关系分情况讨论求解． 【详解】解：对于方程，两根为、，则， ∴； 由根与系数的关系可得，， 分两种情况讨论： ①、当为等腰三角形的底边时，， ∵， ∴， 此时三边长为5，5，8，满足任意两边之和大于第三边的三角形三边关系， ∴； ②、当为等腰三角形的腰时，不妨设， ∵， ∴， 此时三边长为8，8，2，满足三角形三边关系， ∴， 综上，的值为16或25． 15．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，连接、，将绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置，则旋转角为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，确定一个旋转角，再计算解答即可． 【详解】解：连接， 绕着正方形的中心按顺时针方向旋转到的位置， 是对应点， 故是一个旋转角， 根据四边形是正方形，且正方形的中心为， ． 16．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 三、解答题（共72分） 17．解下列方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式法求解； （2）利用因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即； （2）解： 移项，得， 分解因式，得， 即或， 解得． 18．求下列二次函数图象的顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 配方得， 可得顶点坐标为． （2）解：， 可得，，， 计算顶点横坐标：， 计算顶点纵坐标：， 可得顶点坐标为． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 分别求出点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】令，则， 解得，，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴． 20．有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑 (2)三轮传播后，被感染的电脑超过100台 【分析】（1）设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑，根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：，比较大小解答即可． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑， 根据题意，得， ， 解得或（电脑数量不能为负数，舍去） 故， 故每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑； （2）解：根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：（台）， ， 故三轮传播后，被感染的电脑超过100台． 21．如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出此时的水面的宽度． 【详解】（1）解：以水面中点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∴抛物线过，顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：水面上涨，令，得 ， 此时水面宽是． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)或． 【分析】（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， ∴一次函数的解析式为． 把代入，得， ． 把代入，得， 的值为，的值为． （2）解：当时，， ． 为轴上的一动点， ， ， ． ， ． 或， 或． 23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在边长为1个单位长度的小正方形的格点上，点的坐标． (1)以原点为对称中心，在图中画出关于原点对称的； (2)请画出绕原点逆时针旋转得到的； (3)求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）利用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）点旋转到点所经过的路径长是以为半径，圆心角是的扇形的弧长，即： 点旋转到点所经过的路径长为． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，E为线段上一动点（不与点A、C重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标； (3)如图2，P为第三象限内抛物线上一动点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，过点E作的垂线，与y轴交于点G，设点P的横坐标为n，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，根据列方程求出t的值即可求E点坐标； （3）表示出，，得到，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：∵， 当时，， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点P的横坐标为n，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵二次项系数为，， ∴当时，有最大值． 25．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，． (1)________，________；（用含有的式子表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当为时，的长度等于； (3)存在，时，的面积等于． 【分析】（1）根据题意表示出，，由线段和差表示即可； （2）当时，在中利用勾股定理求解； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ，， ，； （2）解：，，， 在中，由勾股定理得， ， 解得，（舍去）， 当为时，的长度等于． （3）解： ，， ， 的面积等于， 解得，， ， ， 时，的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $