2026-2027学年高三上学期期中考试数学自编模拟卷（三）

2026-2027学年高三年级上学期期中数学模拟卷（三）答案解析 1．A 【详解】由得或,所以. 又,得. 2．B 【详解】，其虚部为2． 3．B 【详解】由，，且， 解得，则， 又，所以的夹角为. 4．D 【分析】确定原函数的定义域，由此建立中关于的不等式组并求解. 【详解】由，可得，解得， 即的定义域是， 所以，解得， 即的定义域为. 5．C 【分析】选项A，在中由余弦定理先求，再在中由余弦定理列方程求；选项B，由三角形面积公式，代入与求值；选项C，由到直线的垂直距离结合方向（南偏西）求；选项D，由正弦定理求，将与正西方向的夹角转化为北偏西角度判断. 【详解】在中，已知，，，由余弦定理得： ， 故. 由在的南偏西，，知在的南偏东方向. 在点处，指向北偏西，指向正东，故. 选项A，在中，，，， 由余弦定理， 即， 整理得，解得， 并非，故A错误； 选项B，，并非，故B错误； 选项C，到直线的垂直距离. 方向为南偏西，故，故C正确； 选项D，在中由正弦定理，得， 故.在点处，指向正西，在基础上向北偏转， 故的正西分量为， 正北分量为. 设在的北偏西方向，则，而，二者不相等，故D错误. 6．C 【分析】先通过二倍角的降幂公式将已知平方关系转化为，再由已知正切值求出，进而可得，再由同角三角函数关系及角的范围可得所求正切值. 【详解】由二倍角的降幂公式，代入， 得，整理得， 又因为，代入上式， 得， 由两角和与差的余弦公式展开整理，，即. 又因为，故，且， 因此，所以，， 又，设，则（）， 代入，得， 解得（舍去），因此，. 将代入，解得. 因，故，因此， 由同角三角函数关系得， 所以. 因此. 7．C 【分析】对求导，根据以及对的单调性讨论，再根据的单调性，判断函数的极值以及最值情况，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对A：； 当时，，令，解得，故在上单调递减， 令，解得，故在上单调递增； 当时，，令，解得，故在上单调递减， 令，解得，故在上单调递增； 综上所述，有极小值，无极大值，且极小值为，故A错误； 对B：因为，令，解得，故在上单调递减； 令，解得，故在单调递增； 即有极小值，无极大值，且极小值为，故B错误； 对C：由A、B选项可知，若存在极值，则极值为，的极值为， 故，即，解得或，故C正确； 对D：的极值为， 因为，所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得极大值，但，故无最大值，故D错误. 8．D 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即， 此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 9．BD 【分析】对于选项A，先求得集合，取，即可判断其错误；对于选项B，先根据基本不等式求得，解不等式即可；对于选项C，对的取值进行分类讨论，结合二次不等式的性质，即可判断其错误；对于选项D，根据不等式的性质，进行求解即可. 【详解】对于A选项，由集合，解方程得或， 即， 当时，集合，满足，即组成的集合中必须有，故选项A错误； 对于B选项，因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 又恒成立，即，解不等式可得，故选项B正确； 对于C选项，因为不等式对一切实数恒成立， 当时，不等式等价于，对一切实数恒成立， 当时，若不等式对一切实数恒成立，则需满足，解得， 综上所述，不等式对一切实数恒成立，则，故选项C错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 又，所以，即，所以，故选项D正确. 综上所述，选项BD正确. 10．BC 【分析】选项A，先将化为的标准形式，由振幅与纵向平移量求最大值；选项B，由正弦函数的单调递增区间解不等式，得到的递增区间后与给定区间比较；选项C，由正弦函数对称中心处相位为求横坐标，纵坐标由常数项确定；选项D，按“左加右减、上加下减”的平移规则逐步变换，与比较相位差. 【详解】 选项A，当时，，并非，故A错误； 选项B，由，解得，. 取，得递增区间，与给定区间完全一致，故B正确； 选项C，令，得，此时， 故图象的对称中心为，，故C正确； 选项D，将向左平移个单位长度，得， 再向上平移个单位长度，得，并非，故D错误. 11．AC 【分析】对于A，化简，然后判断符号即可；对于B，对函数求导，判断函数单调性，进而可判断符号；对于C，对函数求导，假设是的极值点，利用反证法判断即可；对于D，三次函数的图象是中心对称图形，且对称中心的横坐标为图象的对称轴对应的的值，即为，设，求出，判断函数单调性，进而可判断D项. 【详解】对于A，由，若，则， 所以，故A正确； 对于B，，当时，. 单调递增，则当时，，则，故B错误； 对于C，，若是的极值点， 则，解得，此时，单调递增， 则不可能是的极值点，故C正确； 对于D，三次函数的图象是中心对称图形，且对称中心的横坐标为图象的对称轴对应的的值， 即为，若图象的对称中心在第一象限，则. 设，则， 所以. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则当时，，所以曲线的对称中心不可能在第一象限，故D错误. 12． 【分析】先利用向量夹角的数量积公式求出单位向量与的数量积，再代入模长公式计算. 【详解】由为单位向量，故，设， ， ， ， 由与的夹角为，得， ，化简得，整理得，解得，即， 故. 13． 【分析】借助导数的几何意义及公切线定义计算即可得. 【详解】设点是直线与曲线相切的切点， 由， ，解得， 又，则切点坐标为， 即有，解得； 设点是直线与曲线相切的切点， 由， ，解得， 则， 即有，解得； 故. 14．/ 【分析】将条件变形可得，令，利用导数求得的单调性，可得，即，令，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】因为对任意的恒成立，即恒成立， 因为所以， 令，则， 故在上单调递增， 而即， 故，对任意的恒成立，即恒成立， 只需即可. 设，，则， 则当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，且， 所以，所以， 故实数的最大值为. 15．(1) (2)单调递增区间是．值域为 【分析】（1）由向量平行的坐标表示化简求解； （2）由数量积的坐标表示化简函数，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1），， ； ． （2）， ， 令得， 单调递增区间是． 值域为． 16．(1)； (2)快艇有触礁的危险 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 17．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理将边化成角，然后再根据诱导公式及两角和差的正弦公式进行化简求解即可. （2）首先通过诱导公式可得：，代入原式再通过恒等变换将原式化简整理为，最后根据锐角三角形的条件确定角的取值范围，进而求解的取值范围即可. 【详解】（1）证明：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为， 所以，即． （2）由于，所以， 又， 则， 又因为为锐角三角形，则，解得：. 由此可得：，进而可得：. 综上所述的取值范围是. 18．(1) (2) (3)当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在、上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）利用导数的几何意义，计算处的函数值和导数值，即可得到切线方程； （2）极值点处导数值为0，代入求解后验证极值点成立即可； （3）求导后对分子因式分解，分类讨论的取值判断导数符号，即可得到函数单调性 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得： 。 当时，， 代入得， ， 由点斜式得切线方程为，即 （2）因为是的极值点，故， 代入导数得： ，解得， 检验：当时，，在两侧导数符号由正变负， 故是极值点，因此. （3）因为，故，的符号由分子决定： ① 当时，对任意恒成立： 若，则， ，，单调递增； 若，则， ，，单调递减， ② 当时，令 ，得两根和： 若，则， ，故，在上单调递增； 若，则： 当时，，，，单调递增； 当时， ，，，单调递减； 当时， ，，，单调递增； 若，则， 当时，，，，单调递增； 当时， ，，，单调递减； 当时， ，，，单调递增； 综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. 19．(1)答案见详解 (2) (3)的最大值为11 【分析】（1）由函数的定义，将与分别求出后代入不等式，转化为判断与在上的大小关系是否恒成立； （2）由函数的定义，将条件化为在上恒成立，代入后整理为关于的函数恒非负问题，通过求导找最小值并令其非负，分类讨论解出； （3）先由函数的定义，将条件化为在[0,3]上恒成立，通过二次函数在闭区间上按对称轴位置分类讨论求出的取值范围；再将割线斜率问题通过换元转化为的割线斜率问题，由割线斜率下确界等于导数最小值，在的范围内求的最大值. 【详解】（1）不是 由，得， ， 若是上的函数，则对任意，须满足， 即，亦即， 但当时，，不等式不成立， 故不是上的函数. （2）由，得，， 若是上的函数，则对任意，须满足 ， 整理得， 令，其中，注意，且， ，关于单调递增， 当时，，故对恒成立，在上单调递增，，满足条件， 当时，，而（），故存在唯一使，即，解得， 在上单调递减，在上单调递增，最小值为 ， 要使对恒成立，须，由于，故须，即， ，解得，即，故， 综上，实数的取值范围为. （3）由，得，， 若是上的函数，则对任意，须满足 ， 整理得，， 二次函数开口向上，对称轴为， 当，即时，在[0,3]上单调递增，最小值为，须，即，故， 当，即时，最小值在对称轴处取得： ， 须，即，解得，由于已在此范围内，故此区间全部满足， 当，即时，在[0,3]上单调递减，最小值为，须，即，故， 综上，的取值范围为， 对任意，，有， 令，则，，定义，则 ， 即在上任意两点割线斜率均大于， 在上的最小值， 令，则，记，，其对称轴为， 当时，，在[1,3]上单调递增，最小值为， 当时，，最小值在处取得，， 在上求的最大值： 当时，单调递减，最大值在处取得，； 当时，单调递减，最大值在处取得，， 故：的最大值为11. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（三） 试卷满分150分 考试时间：120分钟 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．的虚部为（    ） A． B．2 C．3 D．5 3．已知向量满足，，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．若函数，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 5．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动．他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西45°的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D．点在点的北偏西30°方向上 6．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知且，函数，，下列说法正确的是（    ） A．在上有极大值 B．在处取得极大值 C．若的极值小于的极值，则或 D．当变化时，的极值有最大值 8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（    ） A．已知，若，则组成的集合为 B．已知实数，且，若恒成立，则的范围为 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．已知，则的取值范围是. 10．关于函数的四个结论，其中正确的结论有（    ） A．最大值为2 B．在单调递增 C．图象的对称中心为（） D．将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 11．设函数，下列说法中正确的有（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．不可能是的极值点 D．曲线是中心对称图形，且对称中心可能在第一象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若两个单位向量，满足向量与的夹角为，则_________． 13．已知，，若直线是曲线与曲线的公切线，则________． 14．已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知向量，函数 (1)若，求的值； (2)求函数的单调递增区间和值域． 16．如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 17．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求证：； (2)求的取值范围． 18．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程: (2)若是函数的极值点，求a的值； (3)讨论函数的单调性； 19．函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； (2)若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $