精品解析：江苏省苏州市苏州国裕外语学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性检测数学试题

苏州国裕外语学校2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性检测卷 （数学）学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在轴上截距为，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜截式直接整理可得. 【详解】因为倾斜角为，所以斜率. 由斜截式可得直线方程为：，即. 故选：A 2. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案. 【详解】抛物线化为标准方程为抛物线， 则其焦准距为，即焦点到准线的距离是， 故选：B 3. 设数列满足，（），若数列是常数列，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为数列是常数列，所以，即，解得，故选A. 考点：1.数列数的概念；2.数列的递推关系. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 5. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理可求切线长. 【详解】 设切点为，圆心为，连接，则， 而， 故选：B . 6. 意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A. 672 B. 674 C. 1348 D. 2022 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推和奇偶周期性即可求解. 【详解】， 故，， 故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶）， 且周期为3， ∵， 故奇数的个数为， 故选：C. 7. 已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得点关于直线的对称点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，整理化简求得，再结合离心率计算公式求解即可. 【详解】易知点关于直线的对称点为， 根据题意可得：，故可得或，又，故； 则离心率. 故选：D. 8. 已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图建立坐标系，可将转化为在方向上的投影向量长度的倍，结合图形可得答案 【详解】如图以A为原点，分别为x，y，z轴建系， 则， 则，又， 则. 表示在方向上的投影向量的长度. 如图当P在G或F时，即当A，O，P共线时，取最值. 因，内切球半径为.则, 则，则. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是双曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A,取验证即可；对于B，变形方程后进行判断即可；对于C，变形方程后进行判断即可；对于D,取验证即可. 【详解】当时，若，方程为，此时为圆，故A错误； 当时，方程化为， 因为，则，且， 符合椭圆方程的标准形式，故B正确； 若时，， 因为，则，符合双曲线的标准方程形式，故C正确； 若，令，方程化为，即，故D错误， 故选：BC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列. B. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为24. C. 已知等差数列与的前项和分别为与，若，则. D. 已知等差数列的前项和为，，公差，若，则必有是中最大的项. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断A，根据等差数列前项和公式计算出、，即可判断B，根据下标和性质及等差数列求和公式的应用判断C，依题意可得，即可得到、，从而判断D. 【详解】解：对于A：因为数列是等差数列，设公差为， 则，故数列也是等差数列，故A正确； 对于B：设数列的公差为，首项为， 因为、，所以， 解得，，所以，故B正确； 对于C：已知等差数列与的前项和分别为与， 若，则，故C错误； 对于D：因为，所以，即，又公差，， 所以，故、， 所以是中最大的项，故D正确； 故选：ABD 11. 已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为（异于点），则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 周长的最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设，则，设，利用点差法推出，判断A；利用基本不等式结合三角形面积公式，判断B；利用椭圆的定义以及几何性质判断C；利用基本不等式中“1”的巧用，结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，设，则，设 ， 由题意可知 ， 则 ，两式相减得， 即，即 ， 由 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A的分析可知，不妨设点在第一象限，则， 所以，当且仅当时取等号， 故 ，故B正确； 对于C，由题意知左焦点为，设右焦点为，， 则根据椭圆的对称性可知，故周长为 ， 而的最小值为椭圆的短轴长 ，由题意可知不能与椭圆短轴重合， 故周长大于，C错误； 对于D，由C的分析可知， ， 故 ，当且仅当时取等号，D正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出点的坐标，再利用抛物线的定义可求得. 【详解】将点的坐标代入抛物线方程可得，即点，易知点， 由抛物线的定义可得. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，若，则________. 【答案】380 【解析】 【分析】由等差数列的性质得，从而，再根据得到结果. 【详解】，所以， . 故答案为：380. 14. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】设出所在圆的圆心以及圆方程，根据圆心坐标满足的垂直平分线，结合直线为圆与圆的相交线直线，比较系数，即可求得结果. 【详解】设所在圆的圆心为，则圆方程为； 又的中点坐标为，，故垂直平分线的斜率， 则的垂直平分线所在方程为：，即，故； 因为直线为圆与圆的相交弦，故两圆方程作差可得：， 即，又直线方程为， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知两个等差数列、，其中，记前项和为，. （1）求数列与的通项公式； （2）记，设，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求得，结合等差数列基本量的计算即可求出； （2）由（1）可得，结合等差数列前项求和公式计算即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 满足，∴ 设等差数列的公差为，则， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以是以7为首项，为公差的等差数列， 所以. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. （1）若点为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示：连接， 点、分别是，的中点， ， 又，且， 四边形是平行四边形， ，， 又平面，且平面， 面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，代入空间向量的线面角公式求出，再求出平面的一个法向量，代入空间向量的二面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 设，，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以，解得（负值舍去） 故，则平面的一个法向量是 ，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点. （1）求抛物线的方程和点的坐标； （2）求点的坐标及所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标； (2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标； 由得,再求出直线所在直线的方程. 【小问1详解】 由点在抛物线上，有，解得. 所以抛物线方程为，焦点的坐标为. 【小问2详解】 由于是的重心，是线段的中点， 所以，设点的坐标为， 则， ，解得，所以点的坐标为， 由得， 因为为为的中点，故， 所以， 因此所在直线的方程为， 即. 18. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， （1）求的值； （2）记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； （3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答. （3）由（2）知，利用累乘法可得，根据作商法判断数列的单调性，结合一元二次不等式恒成立解答即可求解. 【小问1详解】 依题意，为正三角形，且，观察图象得， 而点在曲线上，即，解得， 为正三角形，且， 点在曲线上，， 整理得，解得， 所以，. 【小问2详解】 是正三角形，点，， 于是点在曲线上， 则，即， 当时，，两式相减得：， 整理得， 则，而满足上式，因此， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 所以是递减数列，所以， 所以使得不等式一切正整数都成立， 则，即，所以， 因为正实数，所以取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第3问，关键在于构造函数，利用作商法判断函数的增减性，进而可判断的增减性，从而求得最大值． 19. 已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． （3）如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：①当斜率不存在时，设,， ∵直线与直线的斜率的和为， ∴， 解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设,，， 联立，消去y整理得， 则，， 则 , 又，∴，此时， 故存在k，使得成立， ∴直线l的方程为，即 ∴l过定点． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C上．把的坐标代入椭圆C，求出，即可求出椭圆C的方程； （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l过定点； （3）利用点差法求出直线PQ的斜率，从而可得直线PQ的方程，与抛物线方程联立，由，及点G在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m的取值范围，进而可求得直线的斜率k的取值范围． 【小问1详解】 根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上， 又的横坐标为1， ∴椭圆必不过， ∴三点在椭圆C上． 把代入椭圆C， 得，解得， ∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵点P，Q在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 又是线段PQ的中点， ∴， ∴直线PQ的斜率， ∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得， 由题可知，∴， 又G在椭圆内部，可知，∴，故， 设，，由图可知，， ∴， 当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得， ∴， 由，可知，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴直线TD即的斜率． 【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州国裕外语学校2024-2025学年第一学期高二年级12月阶段性检测卷 （数学）学科 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在轴上截距为，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）. A. B. C. 2 D. 4 3. 设数列满足，（），若数列是常数列，则 A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A. 672 B. 674 C. 1348 D. 2022 7. 已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为棱长为1的正方体的内切球表面一动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是双曲线 10. 下列命题正确的是（ ） A. 已知数列是等差数列，那么数列一定是等差数列. B. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为24. C. 已知等差数列与的前项和分别为与，若，则. D. 已知等差数列的前项和为，，公差，若，则必有是中最大的项. 11. 已知为椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为（异于点），则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 周长的最小值为12 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，若是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，则________． 13. 已知等差数列的前项和为，若，则________. 14. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知两个等差数列、，其中，记前项和为，. （1）求数列与的通项公式； （2）记，设，求. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点. （1）若点为中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点. （1）求抛物线的方程和点的坐标； （2）求点的坐标及所在的直线方程. 18. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， （1）求的值； （2）记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； （3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． （3）如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $