精品解析：北京市文汇中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试卷

北京市文汇中学2026—2027学年度第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间100分钟． 2．在答题纸上准确填写姓名、班级、考场/座位号、准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，统一将答题纸交回． 一、单选题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共24分） 1. 下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、B、D都不符合轴对称图形的定义， C符合轴对称图形的定义， 故选：C． 2. 以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：较小的两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C、，∴能组成三角形，故符合题意； D、，∴不能组成三角形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系的应用，正确理解组成三角形的三边之间的关系是解题的关键． 3. 已知关于轴的对称点为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，正确； 选项C：，错误； 选项D：，错误． 5. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．作射线，连接．则下列说法不正确的是（　　） A. 射线是的角平分线 B. 是等腰三角形 C. 直线是线段的垂直平分线 D. 是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和垂直平分线的判定定理，正确识图是解题的关键． 根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，，平分， ∴是等腰三角形，点和点在的垂直平分线上，即直线是线段的垂直平分线． 故选项A，B，C正确，不符合题意． 故选：D． 6. 如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A. 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，邻补角的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键， 由，推导出，则，可得，再根据增大代入于是得到问题的答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴当增大时，则， ∵， ∴减小， 故选：A． 8. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（ ） ①；②是等边三角形；③；④． A. ①④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，在根据解答④即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴． 则①正确； ∵的角平分线交于点O，， ∴平分， ∴． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 则②正确； ∵， ∴． 在中，． 则③正确； 由上述可知， ∵平分， ∴， ∴． 则④不正确． 所以正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. __________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，BE与CD交于点A，且．请添加一个条件使得，这个条件是：_________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定． 【详解】， 当时，依据ASA可得，， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 11. 如图，已知，和，和是对应顶点．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形的内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】13或14 【解析】 【分析】分类讨论确定腰长，验证三边能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①若4为腰，则三角形三边长为4，4，5， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； ②若5为腰，则三角形三边长为5，5，4， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点．若，则，两点间的距离是__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，结合已知即可得出结果； 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即，两点间的距离是2． 14. 如图，在中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形外角的性质进行角度推导； 【详解】解：， ， 是的外角， ， ， ． 15. 如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，依据是的垂直平分线，可得，进而将的周长转化为，依据两点之间线段最短，可知当在同一直线上时，最小，从而求出周长最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵点是边的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵长不变，要使的周长最小，需最小 ∵， 当在同一直线上时，的最小值等于的长， ∴的周长最小值． 16. 初二年级10个班进行足球比赛，比赛分两轮进行，第一轮为淘汰赛，胜出的5支队伍进入第二轮的单循环赛（每两支队伍之间都要比赛一场），胜者获3分，负者得0分，若平局则两队各得1分．当单循环赛进行到某场结束时，经统计．此时A队共赛了4场、积8分：B队共赛了3场，积7分，C队共赛了2场积1分，D队只赛了1场、积0分．此时，E队应积______分．当全部比赛结束时，发现只有A队和B队积分相同，且恰有5局平局，那么E队在本轮单循环赛中共积______分． 【答案】 ①. 0 ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查了关于足球比赛积分计算的逻辑推理题，根据各队比赛场次和积分情况并逐步分析出比赛的胜负平关系是解题的关键． 根据各队比赛场次和积分情况，逐步分析出比赛的胜负平关系，即可确定E队的积分． 【详解】解：第一轮是淘汰赛，10个班进行比赛，5个班胜出进入第二轮单循环赛． 第二轮单循环赛已知信息分析： A队：赛了4场，这意味着A队与B、C、D、E队都进行了比赛． D队：只赛了1场，由于A队与其他四队都赛了，所以D队只和A队比赛了． B队：赛了3场，因为D队只和A队赛，所以B队是与A、C、E队比赛． C队：赛了2场，是和A、B队比赛． 由此可知，E队与A、B队各赛了一场，共赛2场． 积分情况分析： A队：A队赛4场积8分，因为单循环赛中胜一场得3分，平一场得1分，若A队3胜1平，则分，不符合8分； 若A队2胜2平，则分，所以A队是2胜2平． B队：B队赛3场积7分，若B队2胜1平，则分，符合条件． C队：C对赛2场积1分，则1平1负． 确定E队与A、B队比赛结果： 因为A队有2平，B队有1平，且A与B比赛结果未知，若A与B平，那么A另一场平是与C队，B队另两场胜是对C和E，此时E队2负积0分； 全部比赛结束时的情况分析： 第二轮单循环赛共5个队，比赛场次为场，已知有5局平局，那么分出胜负的场次为5场． 总积分计算：平局两队共得2分，分出胜负两队共得3分，所以总积分为分． 因为A队和B队积分相同且最高，假设A、B队都积x分，若分（3胜1平），则总积分超过25分，不符合，所以A、B队最多积9分（3胜0平1负）． 若A、B队都积9分，此时总积分分，剩下C、D、E队总积分分，已知C队至少1分，D队至少0分，E队积分范围不确定； 若A、B队都积8分（2胜2平），此时总积分分，剩下C、D、E队总积分分． 因为C队积1分，D队积0分，所以E队积分分． 综上，当单循环赛进行到某场结束时，E队积1分；当全部比赛结束时，E队在本轮单循环赛中共积6分． 故答案为：0；6． 三、解答题（本题共12道题，共60分．第17题7分，第18题3分，第19-23题各4分，第24、25题各5分，第26题6分，第27、28题各7分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 定义新运算：． （1）计算：__________； （2）若，求的值． 【答案】（1）32 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）根据定义可求出，则可得到方程，进而得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 补全本题证明过程以及推理依据： 如图，，相交于点，，． 求证：． 证明：在和中， ，（ ② ）（填推理依据） ．（ ③ ）（填推理依据） ．（ ④ ）（填推理依据） 【答案】①；②对顶角相等；③；④全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理和性质来补全证明过程即可． 【详解】证明：在和中， ，（对顶角相等） ．（） ．（全等三角形的对应角相等） 20. 如图，点是四边形的边上的一点，请用尺规作图的方法在四边形内求作一点，使，且点到点，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】利用尺规作图作射线，使，再利用尺规作图作线段的垂直平分线与射线交于点即可． 【详解】略 21. 如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等解答即可． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中， 已知，， （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）如果点在第一象限，且以点、、为顶点的三角形与全等．直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所作： （2）点D坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，满足条件的点D有两个，点D坐标为，． 23. 如图，在中，，平分，且交于点，垂直平分于点，．求线段的长． 【答案】9cm 【解析】 【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由BD平分∠ABC交于AC于点D，即可得∠A=∠ABD=∠CBD=30°，CD=DE=3cm，继而求得AD的长，则可求得答案． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD， ∵BD平分∠ABC交于AC于点D， ∴∠CBD=∠ABD， ∵在三角形ABC中，∠C=90°， ∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°，CD=DE=3cm， ∴AD=2DE=2×3=6（cm）， ∴AC=AD+CD=9（cm）． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 24. 如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： （1）为等腰三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． （2） 证明：， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 规定两正数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论： 小明给出了如下的证明：设，，由规定，得，， ，， ． 请你解决下列问题： （1）填空：__________； （2）证明：； （3）如果正数，，（）满足，，，求的值． 【答案】（1） （2）证明：设，，由规定得，. ，即. . . （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义对应，找出满足的的值． （2）仿照题目给出的证明方法，设，，根据定义写出幂的形式，再利用同底数幂乘法法则推出，完成证明． （3）先推导得到，再代入已知代数式列出方程，解方程求出． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， ， ， 解得． 26. 地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫做物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． （1）如图，在的网格中，的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出的中线； ②作出的重心． 直接写出和的数量关系为：______． （2）根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图，图，分别在的边上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点即为的重心（图）． 如图，若在点处系一根细线，按照上述方式得到，比较与的大小关系：______（填“”或“”或“”）． （3）平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心一定在这两部分图形的重心，所连直线上． 如图是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为，）． 则，的交点即为该直角梯形的重心（不要求画出重心）． 【答案】（1） ①如图所示，为所求； ②如图所示，点为所求； （2） （3） 解：如图所示，，为所求． 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，网格作图，尺规作图，作垂直平分线． （1）①根据网格的特征找到中点，连接即可；②同理①找出的中点，连接交于点，点即为所求，再根据重心的性质即可得到和的数量关系； （2）根据题意，过的重心，得到是的中线，即可得到结果； （3）第一种，连接，分别作的垂直平分线，得到中点，即可得到，连接即可，第二种，连接，同理即可作出． 【小问1详解】 解：①略 ②略 由重心的性质得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，过的重心， ∴是的中线， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 略 27. 已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接． （1）如图1，若点F与点C重合，则线段的长为； （2）如图2，若F在线段延长线上， ①依题意补全图形； ②探究线段与之间的数量关系，并给出证明． （3）当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长． 【答案】（1）2； （2） ①如图， ②， 理由如下： 在上截取， 连接， 设与交点为， ∵和是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）如图所示；． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. （1）由可证，即可得到解题； （2）①根据题目文字语言画图即可； ②由可证，可得，，得到是等边三角形，即可得到，解题即可； （3）由（2）可知，则点在过点平行于的直线上运动，由垂线段最短可得当 时，有最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴点在过点平行于的直线上运动， ∴当时，有最小值，如图， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“关联点”． （1）点的坐标为， ①当点的坐标为时，则点的“关联点”，的坐标为______________． ②若点为点的“关联点”，则坐标为__________． （2）已知：，，上有一点，的关联点在轴上，求的取值范围； （3）点，，，，，点在正方形边上，点，，若线段上存在点的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据 R 关联点定义，先把向左平移 2 个单位得到，再利用中点纵坐标公式求出它关于直线的对称点，得到坐标．②利用 R 关联点平移横坐标不变、对称点纵坐标中点公式，由算出，由算出，得到． （2）时平移不改变点坐标，设，求出关联点纵坐标，令得到，结合列出不等式，求出． （3）先根据定义写出矩形四个顶点坐标，再分线段和矩形四条边相交的情况列出不等式组求解，排除不可能相交的边，最后合并得到的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵ ，， ∴ 将点向左平移个单位， 平移后横坐标：，纵坐标不变，得到点， 设平移后的点关于直线的对称点坐标为， ∴ 的坐标为． ②设，点 由定义，平移后的点横坐标为，纵坐标为， 平移后的点关于直线对称得到， ∴ 横坐标不变：，即 由对称中点公式：，即 ∴ 的坐标为． 【小问2详解】 解：∵ ，，平移距离为，点平移后坐标不变， ∴ 设，． 平移后的点为，设它关于直线的对称点为． ∵ 在轴上， ∴ ． ∴，即 ∵ ∴ ，解得 ，解得 ∴ 的取值范围是． 【小问3详解】 解：根据，，分别求出点关于四点作为 “点” 时的四个 “关联点” 坐标： ，，，， 即、 即、 即、 即， 矩形四条边即点的 “关联点” 的轨迹． 、，并且线段上存在点的 “关联点”， 线段需与矩形四条边有交点． 当线段与有交点时， 依题意得： 解得： 当线段与有交点时， 依题意得： 解得： 当线段与有交点时， 依题意得： 解得： 线段和线段分别在轴下方和上方，不可能有交点． 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市文汇中学2026—2027学年度第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间100分钟． 2．在答题纸上准确填写姓名、班级、考场/座位号、准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，统一将答题纸交回． 一、单选题（每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共24分） 1. 下列体育运动的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于轴的对称点为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．作射线，连接．则下列说法不正确的是（　　） A. 射线是的角平分线 B. 是等腰三角形 C. 直线是线段的垂直平分线 D. 是等边三角形 6. 如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A. 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 8. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（ ） ①；②是等边三角形；③；④． A. ①④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. __________． 10. 如图，BE与CD交于点A，且．请添加一个条件使得，这个条件是：_________（写出一个即可） 11. 如图，已知，和，和是对应顶点．若，，则_____． 12. 等腰三角形的两边长分别是4和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点．若，则，两点间的距离是__________． 14. 如图，在中，，，，则__________． 15. 如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长最小值为__________． 16. 初二年级10个班进行足球比赛，比赛分两轮进行，第一轮为淘汰赛，胜出的5支队伍进入第二轮的单循环赛（每两支队伍之间都要比赛一场），胜者获3分，负者得0分，若平局则两队各得1分．当单循环赛进行到某场结束时，经统计．此时A队共赛了4场、积8分：B队共赛了3场，积7分，C队共赛了2场积1分，D队只赛了1场、积0分．此时，E队应积______分．当全部比赛结束时，发现只有A队和B队积分相同，且恰有5局平局，那么E队在本轮单循环赛中共积______分． 三、解答题（本题共12道题，共60分．第17题7分，第18题3分，第19-23题各4分，第24、25题各5分，第26题6分，第27、28题各7分） 17. 计算： （1） （2） 18. 定义新运算：． （1）计算：__________； （2）若，求的值． 19. 补全本题证明过程以及推理依据： 如图，，相交于点，，． 求证：． 证明：在和中， ，（ ② ）（填推理依据） ．（ ③ ）（填推理依据） ．（ ④ ）（填推理依据） 20. 如图，点是四边形的边上的一点，请用尺规作图的方法在四边形内求作一点，使，且点到点，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中， 已知，， （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）如果点在第一象限，且以点、、为顶点的三角形与全等．直接写出所有符合条件的点的坐标． 23. 如图，在中，，平分，且交于点，垂直平分于点，．求线段的长． 24. 如图，在中，平分，连接，且，过点D作交于点E．求证： （1）为等腰三角形； （2）． 25. 规定两正数，之间的一种运算记作，如果，那么．例如：因为，所以． 小明在研究这种运算时发现一个结论： 小明给出了如下的证明：设，，由规定，得，， ，， ． 请你解决下列问题： （1）填空：__________； （2）证明：； （3）如果正数，，（）满足，，，求的值． 26. 地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫做物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． （1）如图，在的网格中，的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出的中线； ②作出的重心． 直接写出和的数量关系为：______． （2）根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图，图，分别在的边上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点即为的重心（图）． 如图，若在点处系一根细线，按照上述方式得到，比较与的大小关系：______（填“”或“”或“”）． （3）平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心一定在这两部分图形的重心，所连直线上． 如图是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为，）． 则，的交点即为该直角梯形的重心（不要求画出重心）． 27. 已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接． （1）如图1，若点F与点C重合，则线段的长为； （2）如图2，若F在线段延长线上， ①依题意补全图形； ②探究线段与之间的数量关系，并给出证明． （3）当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“关联点”． （1）点的坐标为， ①当点的坐标为时，则点的“关联点”，的坐标为______________． ②若点为点的“关联点”，则坐标为__________． （2）已知：，，上有一点，的关联点在轴上，求的取值范围； （3）点，，，，，点在正方形边上，点，，若线段上存在点的“关联点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $