湖南邵东市第一中学2026-2027学年高三上学期第四次监测数学试题

高三第四次监测数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A B ⊙ A B AD ABC 题号 11 答案 AD 1.D 【详解】由x2-x-6<0,因式分解得(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3, x∈Z,故M={-1,0,1,2}, 由4>1，移项通分得4二x>0,等价于xx-4)<0, 解得0<x<4,即N={x0<x<4}, 所以M∩N=1,2. 2.C 【详解】.z(1+i)=1-2i, 2--21-0-20-）-1-i-2i+21-3i-2-131」 1+i(1+i)1-i)1-2 222 13 由共轭复数性质得：z=- 2+1； 22 ·z的共轭复数为：-13」 22 13 在复平面对应的点 2-21 ∴.该点在第三象限. 3.B 【详解】因为m/1n,所以2cos0=sin0,故sin0.cos0>0, 因为sim20+cos20=1,所以cos2日=，sim20=4 5 sin20-2sin0cos0-2sin0cos 4 所以n29+6csa=号6x写2 4.A 【详解】设球的半径为R,由题意可知，圆柱的底面半径r=R,圆柱的高等于球的直径，即h=2R. 根据圆柱表面积公式，圆柱表面积为两底面面积与侧面积之和：S性=2π2+2πh, 代入r=R、h=2R得：St=2πR2+2πR2R=6πR2. 答案第1页（共16页） 根据球的表面积公式得S#=4πR2 因此二者表面积之比为熊_6πR3 S球4πR22 5.B 【详解】令n=1,得a2+a1=6,a2=3 用n替换n+1可得，a2+a1=3×2，再与a+a,=3×2”相减可得，a2-an=3×2”,那么 a=4+a4-42+a6-a4+a-a。=3+3(22+24+2)=31+22+24+2） =3×1-4=25. 1-4 6.B 【详解】构造函数gy)=f八☒，其中x≠0， 则g(-)-_儿因-g付)，所以，函数g(国)为偶函数。 一 对任意的对任意x、与∈(0，+o),且x≠5，都有/区)上xf<0, x2- 不妨设5<5，则x()<f5),可得)f儿），即g)>g6), 所以，函数g(x)在(0，+∞)上为减函数，则该函数在(-o,0)上为增函数， 且s(2)=2=1,g(-2)=g2)=1, 当x>0时.由f>x可得g()f因1=g2,可得0<x<2: 当x<0时，由f)>x可得g()f因<1=g(-2列，可得x<-2. 综上所述，不等式f(x)>x的解集为(-0，-2U(0,2) 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： (1)先分析出函数在指定区间上的单调性： (2)根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域： (3)求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集. 7.A 【详解】在△ABC中，A+B=π-C,因此sin(A+B)=sinC, 答案第2页（共16页） 所以cos2C+2 sin Csin(A-B)=1-2sin2C+2 sinCsin(A-B)=l,整理得-sinC+sin(A-B)=0, 又sinC=sin(A+B),可得sin(A-B)-sin(A+B)=-2 cos Asin B=0, 在三角形中siB>0,因此cosA=0,即A=90°，显然△ABC的三个内角都小于120°. 根据费马点定义，此时点P满足PA,PB,PC两两夹角为120°， 即任意两个向量PA,PB,PC的夹角都是120，因此：PA-PB=PAP8cos120=)PAP8, 同理PBPc=PEPd,Pc.PA=PGPA, 因此待求式可写为：PA:Pm+PB.PC+Pc.pm=-(PiPE+PEPC+PCpa), △ABC的面积可拆分为三个小三角形面积之和：SMBC=SPMB+SBC+SpCM, 已知A=90,bc=25,因此S版csnA×25x1=5, 2 因此：5-2in12oPAP+PePc+PcP列.解得：PAP+FEr风+PcPA=4, 所以PA.PB+PBPC+PC.PA=-。x4=-2. 8.B 【1-++:+是 由f(x)+f(-x)=2在R上有且仅有3个不同的实数解可知， F)+e2,即e+6“-2-2=0在R上有且仅有3个不同的实数解 令g(x)=e“+e“-2x2-2;即g(x)在R上有且仅有3个不同的零点； 有g(0)=0,且g(-x)=em+e-2x2-2=g(x),故g(x)为偶函数： 当a=0时，g(x)=-2x2在R上只有1个零点，不合题意： 故a≠0，当a>0时， 当x>0时，g'(x)=a(e“-em)-4x,g'(0)=0: 令h(x)=ae“-em）-4x, 则h(x)=a2(e“+em)-4,h(0)=2a2-4, 因为a>0,故em+em在x>0上单调递增，故h(x)>h(O): 当(0)=2a2-4≥0，即a∈V2,+o∞时，g(x)在x>0时单调递增， 答案第3页（共16页） 则g(x)>g'(0)=0,则g(x)在x>0时单调递增，g(x)>g(0)=0, 此时当x>0时，g(x)没有零点，根据对称性可知，x<0时，也没有零点： 不合题意，舍去： 当(0)=2a2-4<0,即a∈(0，V2)时，则存在x使得h(x)=0, 当x∈(0，x)时，h(x)<0,g'(x)单调递减， 当x∈(x,+o)时，h(x)>0,g(x)单调递增， 则g(x)<g(0)=0,x→+o时，g(x)→+o,故存在x,使得g(x)=0: 当xe(0,x)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(x,+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增， g(x)<g(0)=0,x→+∞时，g(x)-→+o, 故在(x,+∞)上，g(x)有唯一零点： 根据偶函数的性质，可知在当x<0时，g(x)也有一个零点： 故a∈0，V2)满足题意； 当a<0时，根据对称性可知，与a>0情况相同，故a∈(-V2,0)也满足题意. 9.AD π，2π 【详解】对于A:因为BCk轴，所以f(的一条对称轴为x=23=7n, 212 所以沿子子所以7=：故A正瑞： 对于B:因为T=2元=元，所以0=2， 是f)的零点，且在单调递减区间内，所以2×+p=+2,keZ,所以p=-元+2km,keZ, 3 3 2 6 因为受所以取=0，得p-名所以)=2个2x君周 则f0=2o(-?=2x5-=5,放B错误： 2 对于c因为倒=22x-引，当x受君时，2[石引 所以cos(2x-∈[-1,0]，所以f(x)e-2,0],故C错误： 答案第4页（共16页） 对干D:将的图东+移号个单位长度后钓到g(=22+)哥引 2cos2x.xER, 12 因为g(-x)=2cos2(-x)=2cos2x=g(x),所以g(x)是偶函数，故D正确. 10.ABC 【详解】在正方体中，以D为原点，DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系： 因为棱长为2，可得A(2,0,0),B(2,2,0),B(2,2,2)；设Q(x,0,2)(0<x<2), 则BQ=（x-2,-2,2),AB=(0,2,2): 则BQ·AB=-4+4=0;故对于任意点2，都有BQ⊥AB,A选项正确： 因为M,N,P分别是AA,CC,CD的中点，故M(2,0,1),N(0,2,1),P(0,1,2)； 则MN=(-2,2,0),MP=（-2,1,1): 设n=(x,y,z)为平面MWNP的法向量， n⊥MN 则 i.MN=-2x+2y=0 ,可得 解得 x=y n⊥MP iMP=-2x+y+z=0 2=y 令y=1可得，i=(1,1,1): 令BQn=x,-2-2+2=0,解得x=2,不合题意， 故对于任意点Q,不存在BQ∥平面MNP,B选项正确： D C B D B 在平面AB,CD中作QK⊥B,C,垂足为K,过点K在平面BB,CC中作KT⊥BN,交CC于点T; 因为正方体中，平面AB,CD⊥平面BB,CC,且交于B,C: 因为QKc平面AB,CD,故QK⊥平面BB,CC,而BNc平面BB,CC,则QK⊥BN: 因为OKOKT=K,QK,KTc平面QKT,故BN⊥平面QKT: 平面QKT截正方体的截面为矩形QKTL; 答案第5页（共16页） 当T与C重合时，即Q,K为AD,B,C的中点时，截面最大， 面积为QK×KT=2×V22+12=2√5，故C正确： D 0 1 321 可得A2=2,因为Q是线段DA上的动点（不包含端点），故A2∈(0,2)， 综上，不存在点Q,使得三棱鞋4-BDQ体积为放D错误。 11.AD 【详解】因为函数f(x),g(x)及其导函数∫'(x),g'(x)的定义域均为R, 又f(x)=g(x+1),f(3-x)-g(x)=2,g(x-1)关于点(2,0)对称， 所以逐一分析各个选项如下： 对于A:令h(x)=g(x-),则h(x)关于点(2,0)中心对称， 则h(x)+h(4-x)=0,即g(x-1)+g(3-x)=0, 则g(x)关于(L,0)中心对称，则g()=0,故A正确： 对于B:由f(3-x)-g(x)=2,可得f(x)-g(3-x)=2, 所以f'(x)+g'(3-x)=0,又f'(x)=g(x+1), 所以g(x+1)+g(3-x)=0,所以g(x)关于(2,0)中心对称， 则g(x)关于x=2轴对称，故g(3)=g(1)=0,又因为f3-x)-g(x)=2, 令x=3,得f(0)-g(3)=2,故f0)=2,故B错误： 对于C:由A可知，g(x)关于(L,0)中心对称，即g(x)+g(2-x)=0, 由B可知8(x)关于x=2轴对称，即g(2-x)=g(2+x),因此有g(x)+g(2+x)=0①， 可推导出g(2+x)+g(4+x)=0②， ②式-①式，得g(x)=g(x+4),所以g(x)是以4为周期的函数.因为f(3-x)=g(x)+2, 所以f(x)=g3-x)+2,f(x+4)=g(-x-1)+2, f(x+4)-f(x)=g(-x-1)-g(-x+3)=0, 答案第6页（共16页） 故f()也是以4为周期的函数，则f()+f(2)+f(3)+f(4) =f(四)+f(2)+f(3)+f(0)=g(2)+g(0)+g(0)+8, 又g(x)+g(2-x)=0,故g(2)+g(0)=0,又g(1)=0, 因此f()+f(2)+f(3)+f(4)=g(2)+g(0)+g(0)+8=g()+8=8, 故2f)-9/0+Q+/)+-5x8=40,放c错误。 对于D:令h(x)=f(x)g(x),则h(x)也是以4为周期的函数. 因为g(x)关于x=2轴对称，故有g(3-x)=g(x+1), 故由f(x)=g(3-x)+2可得f(x)=g(x+1)+2, 故有f(K)g(k)=[g(k+I)+2]g(K)=g(K)g(k+1)+2g(K), 因有2/e)-宫e国e+0+学e 由B可知，g(3)=0, 由C可知，g(2)+g(0)=0,g(0)=g(4),则g(2)+g(4)=0, 故g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=g(1)=0, 因此宽g个=50g0+g2+g(8)+g41+g0=0+0=0, k= 因为g(x)为以4为周期的函数，令m(x)=g(x)g(x+1), 则m(x)也是以4为周期的函数. 因为g()关于x=2轴对称，且g(1)=0,故g(3)=g()=0, 因此m()+m(2)+m(3)+m(4) =g(1)g(2)+g(2)g(3)+g(3)g(4)+g(4)g(5) =g(4)g(5)=g(0)g(①)=0， &gk+D=506xm0+m2)+m)+m4+g0g②=0+0 所以究fg)=艺ggk+D+22g)=0,故D正确 k 12. x2+4Vx2+4 【详解】因为少 =x+5x+4+1+4+ 1 Vx2+4 令t=Vx2+4,则t22, 答案第7页（共16页） 令g)=+女to.因为函数&)=x+业+m)上单调道卷，所以g()[及】 「5， Vx2+4 即西数y=的最大位为子当且仅当x=0时取等号 x2+5 收答案为：司 13.(3W2+V6,36] 【详解】由正弦定理可得a-b_sinC-sin Bc-b c sin A+sin B a+b ∴.a2-b2=c2-bc,可得b2+c2-a2=bc, :-安04a,4-管 由正弦定理可得sin B sinC sinA =22 sin 2in.e2/sinc-2sin) +e2sinB+2 sinC-2sinB+2/sin -2im8+255om8+n8-3snB+6m8=-26m8+引 2 0<B<π ,·△ABC为锐角三角形，则{ 2π-B< ,解得元<B<,·<B+<2π 6 2 3 631 0 3 2 :3 <sma+s1,则3w5c26sn8+26 因此，周长的取值范围是32+v6,3V6] 14-2n3 f=22x1x>0. x x2 2时，f0,当xt.0 所以)在(0)上单河道减，在位小上单调递耀 答案第8页（共16页） =2-2ln2>0,即f(x)>0 .3/ 1 所以Da=3x-+2nx+ 4 +2nx+- [2nx++3x-3x> 令g(x)=3x-4 q' 4 l+3-3x,0<x≤ 1 2lnx+ x 4 4 当x>时，gt=2nx++3x-} 则g0=21+3=3x+2x-1_K+3x-D x x2 x2 令g'(x)<0,得 下3令g'四>0，解得x八 所以g()在 》上单调灌藏，在G)小上单词港带。 11) 月--2m3. 所以当x>4时，g=83F4 当0<x≤时， 4 111+之二3X,则8xx29二一二2X+1 x 4 易知g<0会(04》上恒成立，所以g在（上单河递减 所以=g日=4-4h2 3 3-2n3-d-Am2=4n2-2n3-2n4-h,ae=h6 34 9 3 9e4 因为(9-e<2r-e<2r-27<0,所u09<e,白e 16 所以，S1,所以-23-4-4n2)<0,所以号-2n3<4-4h2 9e4 13-2n3. 所以DB的最小值为 3”-1 15.(1)an=3-;Sn= 2 (2)Tn=1+(n-1)3” 【详解】(1)由题可得 3a =28,+1 3a=25.1+1meN,n≥2， 所以3an-3an1=2Sn-2Sn1,所以an=3an1. 令n=1,则3a=2S,+1,因为a=S,解得a,=1. 所以{an}为首项为1，公比为3的等比数列. 答案第9页（共16页） 所以a,=3因为3a,=25+1,所以5-a-)=32 2 (2)因为6，=(2n-1)a,所以h.=(2n-1)3=2n-3”-3 3 以下求{n3"}前n项和Pn, Dn=1×3+2×32+.+n.3”(1) 3Pn=1×32+2×33+.+n-3m(2) 所以(1)减去(2)可得， 22-3+3+m3"-0-n3-食刘小3 1-3 以-子+- 五-3-s-1+a-03 16.(1)由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， 得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点， 所以AE⊥BC,又BC//AD,因此AE⊥AD, 因为PA⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,所以PA⊥AE, 而PAC平面PAD,ADC平面PAD且PAO AD=A, 所以AE⊥平面PAD,又PDC平面PAD, 所以AE⊥PD. (25 5 以A为原点，AE,AD,AP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系： 由AB=2,PA=2,结合菱形性质得A(0,0,0),E(√3,0,0)，CN3,1,0),P(0,0,2), 因为F在PC上，故可设PF=1PC0<1<),则F(V32,,2-2), 取底面ABCD的法向量为m=(0,0,1), 因为直线EF与底面所成角为45°，则线面角的正弦值等于向量EF与向量m的夹角的余弦值的绝对值， 所以sin45°= EF.m EF列m' 答案第10页（共16页） 2-2元 代入EF=(5-V5,元，2-2)，m=(0,0,1),可得2 V3-3+2+(2-2n}x1 所以2(822-142+7)=1622-321+16， 化简解得入=了即F为PC中点，点F的华标为 设平面AFC的法向量为n=(x,,Z), 3,1 AC=(31,0)可得 2x+21+名=0 x+y=0 令x=1,可得y=-V3,3=0, 所以R=1,-V3,0)为平面AC的一个法向量， 设平面AFE的法向量为n2=(x,2,Z2), 3.1 由-（正-(k8a可得2+方+-0， V3x=0 令y=2,可得x=0,乙1=-1， 所以n2=(0,2,-1)为平面AFE的一个法向量， 设二面角C-AF-E的平面角为0， 因此cos0= 2-m_10-25+0_15 2 2×55 观察图象可得二面角C-AF-E为锐二面角，故c0s日=下 所以二面角C-AF-E的余弦值为 5 ZA 答案第11页（共16页） 1【详解11)因为小子所以愿意极名态加答思活动人数为200？120,17 又因为P(1)=?,所以愿意报名参加答题活动的男生人数为120×名=80，愿意报名参加答题活动的女生 3 3 人数为120-80=40，则可得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为H。：学生报名参加答题活动与性别无关， 则z2=200x(20x40-80x60_10>10.3828=xm, 100×100×80×1203 依据小概率值=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； (2)(i)X的所有可能取值为：1,2,3,4， x-子x--号子x-)易 所以X的分布列为： 2 3 2 2 2 1 3 27 27 故E(X=1x2+2× 2 140 +4× 27 2727 《m设随L变量Y为甲答对冠日的个效，对y-A引 则P=)=c)得k=La P(Y=10)>P(Y=1I) 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 P(Y=10)>P(Y=9) 答案第12页（共16页） cc 即： c>c 解得14<n< ,又meN,则n=15 31 (2)(i) 空 49 6) 【详解】1)因为椭圆的离心率为；，即e=C-),即a=2c, 又因为左焦点F到左右两个顶点的距离为a-c,a+c,到上下两个顶点的距离都是a,a,即四个距离分别为 a,a,a+c,a-c, 代入a=2c得2c,2c,3c,c按从小到大排列为c,2c,2c,3c,则中位数为2c+2c=2c=2,即c=1,a=2, 2 所以=d-c2=3,则椭圆的标准方程为+上=1。 43 (2)(i)由（1)知，(-1,0)，F(1,0),设点A(x,y)0y≠0)， 则5备音，因为=或：则名5× x0+1” 因为%0，所以回%子代入联到方程手+片-1。 15 43 43 16 x=my+1 设过点F,0)的直线为：x=my+1,联立方程组x2,y2 -11 43 6m 9 得(3m+4y2+6m-9=0,所以%+ya=3m+4wg=3m2+4 1 4 又名=刚，+1子则烟=万 2yo 16 所以 9 -120+m).120+2125 4 21 3m2+43× 4 +48 21 答案第13页（共16页） B ()由()知，线段AB的中点N满足w=h+业=-，3m 3m2+43w=mw+1= 4 2 3m2+4 所以直线0N为y=-3 -x, 4 交x=4于点M(4,-3m) 因为直线ME2过F①，0)和M(4,-3m),且kM,= -3m-0 =-m, 4-1 1 所以方程为x=-二y+1, m 因为kBk=mx(=-l,所以ABLMF,即AB⊥CD, m 由)知4-=120+，同理可得c=12m+ 3m2+4 3+4m2 所边毛400长为5-4Qm-an0 7212 72 令1=m+1>1,S=8+4-)12+ +12 令w=(0,,则分母f=-+u+12为开口向下的二次函数，对称轴为u=) 1 所以大值为兮+12- 而w→0时，f(0→12，当u→1时，f(u)→12， 即f(0∈(12， 288 a,所以s0,6 19. 【详解】(1)解：由函数f(x)=x,可得xnx=x,因为x>0,可得lnx=1,解得x=e, 所以e为f(x)的一阶不动点： 又由g(x)=x,可得am-1=x,即(a-1)x2=1, 答案第14页（共16页） 当a≤1时，此时方程无解，所以g(x)没有一阶不动点： 当a>1时，解得x= 或x=a-i 所以g(x)的一阶不动点为± 1 Va-i a-1 (2)(2)证明：先证充分性：设x为f(x)的一阶不动点， 则f(x)=x,所以f(f(x)月=f(x)=x,即x为f(x)的二阶不动点充分性成立； 再证必要性：设x为f(x)的二阶不动点，即f(f(x)=x, 设f(x)=,而f(x)在D上单调递增， 若%>x,则f(f(x)=f()>f(x)=>x,与f(f(》=x矛盾： 若%<x,则f(f(x)》=f()<f(x)=<,与f(f(x)》=x矛盾； 故必有，=x,所以f(x)=,即x为f(x)的一阶不动点必要性成立， 综上所述，“x为f(x)的一阶不动点”是“x。为f(x)的二阶不动点”的充要条件. （g》解商数F-2因+g)-2匹+m士可得F(国-子a+安 2 e2x 当a>0时，F'(x)>0,F(x)在区间(0，+o)上单调递增， 所以F(x)的二阶不动点与F(x)的一阶不动点等价， 令F-,可2+r,即2+a-x0 sc-=2+a-0士可相e=子+a-+xe@o). 可得G(x)在区间(0，+∞）上单调递减， ①当a≥1时，G(x)>0恒成立，即G(x)在区间(0，+o)上单调递增， 当x→0时，ce→，nc(e)+o-e日o-je>0, 故存在唯一的x。∈(0，+∞)，使得G(x)=0,即F(x)=x有唯一解， 所以F(x)有唯一一阶不动点 ②当0a1时，c0-后+a0.当→*味品+→0. tG(四0，布在在一的e0+o小，使钓6)=云+o-+安=0， 所以a-1=-2_1 e污子，此时G(女在(0，)上单调递增，在区间(6，+∞)上单调递减， 答案第15页（共16页） 所以(-6)-2+6o--2-名是 当x→0时，G(x)→-0，当x→+0时，G(x)→-0， 记)-2子是则®树闪上选，且e)是是忌-0， 又01名在区有Q+回上单调强州， 所以当6因=0，即5=d时，。-1=是，即u=1 e, 方程G(x)=0有唯一解，即F(x)有唯一一阶不动点： 当G国》0，即>e时，a-1>。.即1-<a<1,方起G)=0有两解，甲冈有丙个一阶不 动点： 当G(<0,即<e心时，a-1长2，即0<a<1-是，方程c()=0无解， 即F(x)没有一阶不动点。 综上所述，当a≥1时，或a=1是.F()有呢一二阶不动点：当1-是<a<1时，F()有两个二阶不动点： 当0<a<1是时。F没有=阶不动点 答案第16页（共16页）2026年下学期高三第四次监测数学试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已如张合M=eZ-x-6<- 则M∩N=() A.(-2,3) B.(-0,4) C.{0,1,2 D.{1,2} 2.在复平面内，复数z满足z(1+i)=1-2i,则z的共轭复数对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量m=(1,cos0),i=(2,sin0),m∥i,则sin20+6cos20的值为() A:2 B.2 C.2√2 D.-2 4.阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑 上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切， 则在该几何体中，圆柱的表面积与球的表面积之比为() 4月 c. D. 3 5.己知数列{an}的首项4=3，且满足an+an=3×2”,则a的值为() A.256 B.255 C.129 D.127 6.已知奇函数∫(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o),满足对任意x、2∈(0，+o),且x≠x2,都有 f(西)-xf(<0,且f(2)=2,则不等式f()>x的解集为（） x2- A.（-2,0)U(0,2) B.（-oo,-2)U(0,2) C.（-2,0)U(2,+∞) D.（-0,-2)U(2,+o) 7.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点， 使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点 为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于 120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中所求的点被称为费马点.己知a,b,C分别 是△ABC三个内角A,B,C的对边，且cos2C+2sin(A+B)sin(A-B)=1,点P为△ABC的费马点.若 第1页（共4页） bc=2V3,则PA.PB+PB.PC+PC.PA的值为() A.-2 B.2 C.25 D.-2N3 8.设a为实数，已知函数∫)=。+。。二的定义城为R,若f(+八)=2在R上有且仅有3个 x2+1'e*+e* 不同的实数解，则a的取值范围为() A.（-V2,2) B.（-V2,0u(0,v2) c.（-2,0 D.(0,2) 二、多项择选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) ).函数f()=2c0s(or+p)。>0网<受的部分图象如图所示，其中8Cx拍，则下列说法正确的是(） A.f(x)的最小正周期为π B.f(o)=1 「-π，时，f(x)的值域为[-l,0] C.当x26月 D.将∫(x)的图象向左平移亚个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)为偶函数 12 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，M,N,P分别是A4,CC,C,D的中点，Q是线段D,4 上的动点（不包含端点），则() A.对于任意点Q,都有BQ⊥AB D A B.对于任意点Q,不存在BQI平面MNP C.过点Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD-AB,CD所得截面面 D 积的最大值为2√5 B D.存在点O,使得三棱锥A-BDQ体积为 11.己知函数f(x),g(x)及其导函数f'(),g()的定义域均为R,f(x)=g(x+1),f(3-x)-g(x)=2, g(x-1)关于点(2,0)对称，则() 第2页（共4页） A.g(1)=0 B.f(0)=0 c.2/W=20 D.莞Wg=0 k=l k=1 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.函数y= +4的最大值为 x2+5 a-b sinC-sin B 13.锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, c sinA+sinB,且a=V6,则△ABC 周长的取值范围是 14.如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离'来解决.镜 像距离是一种基础且重要的工具.定义两点A(:,乃)，B(x2,y2)的镜像距离为D=x-y2+x2-.若 4任2n,士3>0，则D。的最小值为一 四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且3an=2Sn+1. (1)求{an}的通项公式与Sn: (2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn: 16.(I5分)己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E是BC的 中点，点F在棱PC上. E (1)证明：AE⊥PD; (2)若AB=2,PA=2,且直线EF与底面ABCD所成的角为45，求二面角C-AF-E的余弦值， 17.(15分)有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知 识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件A=“学生愿 意报名参加答题活动，B“学生为男生，据统计P0PB0子 (1)根据己知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否推断该校学生报 名参加答题活动与性别有关？ 第3页（共4页） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均 23 ()若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题， 直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. (ii)若答题活动设置n(n∈N且n≥l0,n为常数)道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求n的值 n(ad-be)2 参考公式与数据：X= 其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F、E,点F到E 的4个顶点的距离的中位数为2. (1)求E的方程： (2)过点F作斜率存在且不为零的直线与E交于两点A,B. ()若AE,AF的斜率分别为k,k2,当k2=5k时，求AB: (ii)记线段AB的中点为N,O为坐标原点，直线ON交直线x=4于点M,直线MF,与E交于C、D两 点，求四边形ACBD面积的取值范围. 19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D,若存在x。∈D,使得f(x)=,则称x为f(x)的一阶不动点： 若存在x∈D,使得f(f(x)=x,则称x,为f(x)的二阶不动点：依此类推，可以定义f(x)的n阶不动 点 已知函数f()=x8()=x求f(8()的一阶不动点： (2)若∫(x)在D上单调递增，求证：“x为f(x)的一阶不动点”是“为f(x)的二阶不动点”的充要条件： 6)在（1)的条件下，若a>0,讨论函数F()-2因+g()二阶不动点的个数 第4页（共4页）