精品解析：湖南岳阳市平江县颐华学校高复班2026-2027学年高三上学期第三次月考数学试题

颐华高复部2026级第三次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 3. 若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是 A. B. C. D. 4. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 方程在区间上有唯一根，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 直线能作为下列（ ）函数的图像的切线. A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，满足，，则的最小值为______． 13. 密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于_________rad. 14. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若是第二象限角，且，求的值； （2）已知，化简，在（1）的条件下，求的值. 16. （1）求函数的单调区间和最值． （2）求证：当时，． 17. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s. (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 18. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，求的解集． 19. 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华高复部2026级第三次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由全称命题的否定知，命题p的否定为：，. 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以或， 所以. 3. 若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意． 【详解】A中为奇函数，B中 非奇非偶函数，C中为偶函数，D中+1非奇非偶函数． 故选A． 【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质． 4. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项，，定义域关于原点对称，，为偶函数，故A选项错误； 对于B选项，，，为非奇非偶函数，故B选项错误； 对于C选项，为偶函数，故C选项错误； 对于D选项，为奇函数，故D选项正确. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要不充分条件判断即可. 【详解】若，取，，但是无意义， 所以由“”推不出“”， 若“”，则，所以可得， 所以由“”可推出“ “， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和奇偶性排除选项A，C ，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项. 【详解】函数的定义域为. ，都有， 且， 所以为偶函数，的图象关于轴对称. 所以A，C错误． ， 当时，， 所以，单调递增. 所以排除D，B符合. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 8. 方程在区间上有唯一根，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程分离常数，构造函数，利用导数研究在区间上的单调性，由此求得的取值范围. 【详解】依题意方程在区间上有唯一根，，构造函数，，所以或时，，递增；时，，递减. ，， ，.由此画出在区间上的图像如下图所示，由图可知，的取值范围是. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究方程的根，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】，故A不成立； ，故B不成立； ，故C成立； ，故D成立． 10. 直线能作为下列（ ）函数的图像的切线. A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可． 【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确； ，可以成立；所以正确； ，，可以成立；所以正确； ，可成立．所以正确； 故直线能作为函数图象的切线， 故选：BCD． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，满足，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件证明，，再由结合基本不等式求结论. 【详解】因为，，所以，， 故，， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为， 13. 密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分成6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于_________rad. 【答案】 【解析】 【分析】根据周角为，结合新定义计算即可． 【详解】解：∵圆周角为， ∴1密位， ∴60密位， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧度制的应用，属于基础题． 14. 若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出的值，可确定函数的解析式，再令，分析该函数的单调性，再结合求解即可. 【详解】根据题意，设，则，解得，故， 令，该函数的定义域为， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，由可得，故， 故满足的的最大值与最小值分别为、， 故满足的的最大值与最小值的差为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若是第二象限角，且，求的值； （2）已知，化简，在（1）的条件下，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系即可求解. （2）利用三角三函数的诱导公式即可求解. 【详解】（1），，是第二象限角， ，则. （2） ，由（1）知：，则. 16. （1）求函数的单调区间和最值． （2）求证：当时，． 【答案】 （1）的单调递减区间为，不存在单调递增区间， 函数的最大值为，没有最小值； （2）由已知，， 所以，令可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间，结合单调性求最值； （2）利用导数判断函数的单调性，结合单调性证明结论. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，故，当且仅当时取等号， 所以的单调递减区间为，不存在单调递增区间， 当时，函数取最大值，最大值为，函数没有最小值； （2）略. 17. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s. (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 【答案】(1) (2) 270个单位. 【解析】 【分析】(1)将和这两组值代入v＝a＋blog3,即可求得答案; (2)由,解不等式即可求得的最小值. 【详解】解:(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0， 即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1， 整理得a＋2b＝1. 解方程组得, (2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s， 则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270, 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位. 【点睛】本题考查了对数型函数模型的应用,利用对数函数的单调性解对数不等式,本题属于基础题. 18. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，求的解集． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，可得为偶函数，且在单调减，在单调增.又求解不等式等价于求解不等式，可得，解得. 【详解】设， 因为，且是定义在上的偶函数， 所以， 所以是定义在上的偶函数. 结合当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以,即. 结合的单调性与奇偶性，可知， 解得 19. 已知函数． （1）证明：． （2）若函数在上有零点，求的取值范围． （3）若曲线与曲线，分别交于，两点，证明：． 【答案】（1）设， 则，令， 得；令，解得； 令，解得. 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在处取极小值，也是最小值，故，所以. （2） （3）设,， 那么得到，， 所以，即， 由（1），得 即， 设，则函数在上单调递增， ， 由（1）可得， 故. 故 ，所以, 故， 要证，只需证，即证， 令，则.由于，所以由得， 即，解得， 要证，即证，即证， 要证，只需证,即, 又，即证， 即证，即， 设，则，那么 令，得 ， 所以函数单调递增，又， 故在区间上，即， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导，证明函数最小值大于0即可得证; （2）方法一：对函数求导得到函数的单调性，再通过虚设导函数零点，要使在上有零点，则，从而求得的取值范围；方法二：在上有零点等价于在上有解，先证明不等式，则，那么，再通过分类讨论确定的取值范围； （3）设,，则，由交点坐标可得 ，设，则函数在上单调递增，结合（1）的结论可证 ，所以,从而得到，结合换元法代入化简，最终只需证，再通过构造函数最终证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由题意得，则． 对于任何实数，当时，，当时，． 因为在上为增函数，所以存在唯一的，使得． 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以且． 因为在上有零点，所以，即． 设，则在上单调递减． 因为，所以，则，故的取值范围是． 方法二：在上有零点等价于在上有解． 设，则， 故在上单调递增，所以，即， 所以， 又，故， 则，则． 当时，，在上有零点； 当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知，在上必有零点．故的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $