精品解析：湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025年高三第一次月考数学试卷 一､选择题 1. 复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 则，所以复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合．则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再求，进而得图中阴影部分表示的集合. 【详解】由题， 因为函数单调递增， 所以， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：D. 3. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题为真求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得， 因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是. 故选：C 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，巧用常数的关系即可求解. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据指数运算的性质比较的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出这三个数的大小. 【详解】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 6. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 7. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得或，求函数的导数，根据导数判断函数的单调性与取值情况，做出函数图像，数形结合可得解. 【详解】令， 则，解得或， 当时，，由，得；由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，当时，取最大值，最大值为， 故的大致图象如图所示， 由图可知，有且仅有个实根. 当时，恰有个零点，故A选项错误； 由恰有个零点，则恰有个实根，且， 则或或，则B选项错误； 由恰有个零点，得恰有个实根，则或或，则选项错误； 当时，有个实根，则恰有个零点，故D单调正确； 故选：D. 8. 定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（ ） A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，分析函数的性质并求得，利用周期性求出第个周期内的4项和，再按除以4的余数情况分类求和推理求解. 【详解】由是偶函数，得，则函数的图象关于直线对称， 且，又，则， 因此函数的图象关于点对称，而，即， 函数的周期为4，由及对称性，得， 显然，在第1个周期内，， 在第2个周期内，， 以此类推，在个周期内，有， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，令， 解得，正整数的最小值为506，此时的最小值为2026； 当时，，不符合题意， 所以最小正整数为2026. 故选：D 二､多项选择题 9. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递减 C. D. 函数在区间内的零点个数为3 【答案】CD 【解析】 【分析】确定，得到函数解析式，取，计算得到A错误，取，计算得到B错误，确定解析式得到C正确，计算零点得到D正确，得到答案. 【详解】对于选项A：，，令，， 解得，，故函数的图象关于直线，对称，错误； 对于选项B：令，，得，， 函数的单调递减区间为，，错误； 对于选项C：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，正确； 对于选项D：令，，得，， 函数在区间内的零点有，，，共3个，正确． 故选：CD． 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，，，且 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求导，根据单调区间可判断；B选项，由中心对称得代入计算得到可判断；C选项，直接解方程求出3个根，可判断；D选项，设出切点，计算切线方程，得到有三个不同的解，构造函数，计算极值可得解. 【详解】对于A，，，函数在上为减函数， 则，对， 所以，解得，故A正确； 对于B，函数的对称中心为，则，即，解得，故B错误； 对于C，当时，，则即， 化简得，其3个根为，，，所以，故C正确； 对于D，当时，，设切点为，则，切线的斜率， 则切线方程为， 将点代入上式，整理得， 过点可作曲线的三条切线， 即方程有三个不同的解， 令， 则，可得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 在处取得极大值，极大值为， 由方程有三个不同的解， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 为奇数时，在有一个极值点 C. 为偶数时，在单调递增 D. 为偶数时，的最小值为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，结合导数可得,若为奇数时，可得，对于A：若，结合可得，若，分及讨论可得；对于B：分和两种情况，结合导数判断单调性和极值；若为偶数时，则，对于C：求导，代特值运算即可；对于D：构建，求导，分类讨论判断的符号，进而可得的单调性和最值. 【详解】令， 则在时恒成立， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立； 由题意可知：的定义域为， 若为奇数时，则，可得， 对于选项A：当为奇数时，有， 可知当时恒成立， 所以在单调递增； 当为偶数时，， 则， 若，则，则，故， 当时，， 故在单调递增； 综上所述：在单调递增，故A正确； 对于选项B： 可得， 与的图象如图所示， 则存在点，使得， 且当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减； 又，， 故在内恒成立，可知在内单调递增； 若，令， 可得， 由图象可知：与在内只有一个交点，设其横坐标为， 当时，，则； 当时，，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 且连续不断，综上所述：可知在内单调递减， 在内单调递增，所以在有一个极值点，故B正确； 若为偶数时，则， 可得， 对于选项C：因为， 所以在内不是单调递增函数，故C错误； 对于选项D：设， 则， 若， 则， 可知在内单调递减； 令， 若， 则， 可知在内单调递增，则， 即在内恒成立，可知在内单调递增； 若，则，可知， 则在内恒成立，可知在内单调递增，且， 则当时，，即可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 可得，即的最小值为0，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题 12. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 故答案为：1 13. 已知满足，若在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而， 于是，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数解析式进行因式分解，分类讨论函数恒成立的成立条件，解出两个参数之间的等量关系，再构造函数，根据函数导数求出构造函数单调性，求出值域，求出结果. 【详解】由，则定义域为，通分得， 恒成立，即恒成立， 当时，，解得， ，解得， 要使恒成立，有相同的单调性，且零点相同，即，即， 令，， 当，解得， 可知，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，在取得最大值， ，当时，， 所以此时的取值范围是， 当时，，可知在单调递减，时，，不符合题意， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四､解答题 15. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望值为 【解析】 【分析】（1）根据组合知识得到BAT中有1个和有0个的情况，从而求出相应的概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，求出分布列，得到期望值. 【小问1详解】 选取的3个科技企业中，BAT中有1个的情况为种， BAT中有0个的情况为种， 故BAT中至多有1个的概率为． 【小问2详解】 由题意，的所有取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 ． 16. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为，所以，且 所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点． （1）求证：平面； （2）若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 因为平面平面，所以， 因为与平面所成的角为平面， 所以，且，所以， 又为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理可证； （2）由等腰直角三角形内心的特点确定点的位置，以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，根据线面角的空间向量公式计算可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为正方形，为的内心， 所以在对角线上． 如图，设正方形的对角线的交点为， 所以， 所以， 所以， 所以，又因为，所以． 由题意知两两垂直，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 所以，由（1）知， 所以， 所以． 又因为平面，所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中实轴以及渐近线方程，可得方程组，可得答案； （2）根据三角形外心的定义，由直线与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示点的坐标，根据外心位于中垂线，利用外心到顶点的距离相等，可得答案. 【小问1详解】 由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得， 故双曲线. 【小问2详解】 已知，由（1）可知，，则，即， ①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程，可得，解得，则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，，由，则不符合题意； ②当直线斜率存在时，设， 联立可得，消去可得：， 设，则，， 由于位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或， ，记的中点， 设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， ，显然，则，可得， 由，则，又因， 可得， 整理可得：， ， ，，由，则， 直线方程为，即或. 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：； （3）求证：. 【答案】（1） （2） 由，故， 因为函数有两个不同的极值点（其中），故. 要证：，只要证：. 因为，于是只要证明即可. 因为，故， 因此只要证，等价于证， 即证，令，等价于证明， 令， 因为，所以， 故在上单调递增，所以，得证. （3） 由（1）可知当时，，故， 令，所以，所以， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题； （2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证. （3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可证. 【小问1详解】 函数，，且， ①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立； ②当时，令，得， 当时，此时单调递减，故，不满足题意； 综上可知：. 即的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三第一次月考数学试卷 一､选择题 1. 复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知集合．则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数函数，则下列结论正确的是（    ） A. 若，则恰有个零点 B. 若恰有个零点，则的取值范围是 C. 若恰有个零点，则的取值范围是 D. 若，则恰有个零点 8. 定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（ ） A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026 二､多项选择题 9. 已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递减 C. D. 函数在区间内的零点个数为3 10. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在上为减函数，则 B. 若函数的对称中心为，则 C. 当时，若有三个根，，，且 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 11. 设函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 为奇数时，在有一个极值点 C. 为偶数时，在单调递增 D. 为偶数时，的最小值为0 三､填空题 12. 已知，若函数是定义在上的奇函数，则_______. 13. 已知满足，若在方向上的投影向量为，则__________． 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是________． 四､解答题 15. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望． 16. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点． （1）求证：平面； （2）若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程． 19. 已知函数. （1）当时，，求的取值范围； （2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $