精品解析：河北保定市莲池区河北保定师范附属学校2026-2027学年上学期九年级数学期中试题

保师附校2026–2027年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题12小题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程展开得，即，未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中，没有规定，当时，该方程不是一元二次方程． 2. 在一个晴朗的上午，皮皮拿着一块正方形木板在阳光下做投影试验，正方形木板在地面上形成的投影不可能是(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为太阳光形成的投影有以下特点: 在不同时刻同一物体的影子的方向和大小可能不同; 不同时刻,物体在太阳光下的影子的大小在变,方向也在改变． 所以正方形木板在阳光下做投影实验,得到的投影可能是:正方形,长方形,平行四边形或线段 故不可能是梯形,故选A. 3. 下列各组的四条线段成比例的是（ ） A. ，3，2，， B. 4，6，5，10 C. 1，2，，2 D. 2，3，4，1 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段成比例的性质判断选项的正确性． 【详解】A选项不能成比例； B选项不能成比例； C选项可以，； D选项不能成比例． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例，解题的关键是掌握线段成比例的性质． 4. 下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ax2﹣bx … 6 2 0 0 2 6 … A. x＝1 B. x1＝0，x2＝1 C. x＝2 D. x1＝﹣1，x2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程ax2﹣bx-2=0变形为ax2﹣bx=2，求出代数式ax2﹣bx的值为2时对应的x的值即可，结合题中表格确定即可． 【详解】解：由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx-2=0， ∴ax2﹣bx-2=0的解为x1＝﹣1，x2＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解题关键． 5. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 6. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接 、 相交于点 ，由在菱形 中，点 在 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可求得点 的坐标，继而求得答案． 【详解】解：连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， 点在轴上，点的坐标为，点的坐标为， ，轴， ， ， 点的坐标为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是注意菱形的对角线互相平分且垂直． 7. 如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 8. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 9. 现有大小相同的正方形纸片30张，小凯用其中3张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则小明至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质及正方形纸片不可剪开，确定新矩形边长与原矩形边长的倍数关系，进而求解． 【详解】解：设正方形纸片边长为1， ∵原矩形由3张正方形纸片拼成， ∴原矩形的长为3，宽为1， ∵新矩形与原矩形相似，新矩形的长宽比为， ∵不得把每个正方形纸片剪开， ∴新矩形的宽至少为2，长至少为6， ∴所需正方形纸片张数． 10. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质和角平分线定义推出，结合等角对等边求得，进而求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，  平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，  为的中点，， 是斜边上的中线， ． 11. 关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（ ） A. 1是方程的一个根 B. 方程的一个根大于1 C. 方程有两个不相等实数根 D. 方程的一个根小于1，一个根大于1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过计算判别式确定方程有两个不相等实数根，并验证是方程的一个根，从而求得另一个根为，结合判断各选项即可． 【详解】解：∵ 方程 的判别式 ， ∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选项C不符合题意； 当时，代入方程：， ∴是方程的一个根， 故选项A不符合题意； 设另一个根为，由因式分解得，展开得， 与原方程比较系数得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 方程的一个根大于1， 故选项B不符合题意； ∵方程的两个根为1和，均不小于1， ∴ 没有根小于1， 故选项D符合题意． 故答案为：D． 12. 如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（ ） ①； ②当点与点重合时，； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质和折叠得到，从而得到对应边和对应角相等，进而证明四边形为菱形，得到，，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出的面积的取值范围和． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵点、分别是矩形的边、上的动点， 且点关于直线的对应点为点， ∴的长是变化的， 即的长是变化的， 又∵， ∴与不一定相等， 故结论①不成立； 当点与点重合时，，， 在中，，，根据勾股定理得， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得：， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故结论②成立； ∵四边形为菱形， ∴， 当点E和点A重合时，最短，此时最小， 此时 ， ∴最小值为4， 当点F和点C重合时，最大，此时最大， 此时 ， ∴最大值为8， ∴， 故结论③不成立； 当时，， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∵折叠， ∴，，， ∴在中，， 故结论④成立． 二、填空题（本大题4小题，每题3分，共12分） 13. 已知，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】两边都乘以5（a+b）得出5a＝3a+3b，求出2a＝3b，再根据比例的性质得出即可． 【详解】解：， 两边都乘以5（a+b）得：5a＝3a+3b， 2a＝3b， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 14. 定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____． 【答案】3或﹣1． 【解析】 【分析】根据新定义运算法则得到关于x的方程，通过解方程来求x的值． 【详解】解：依题意得：（x﹣1）2+3=7， 整理，得（x﹣1）2=4， 直接开平方，得x﹣1=±2， 解得x1=3，x2=﹣1． 故答案是：3或﹣1． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a★b=a2+b，此题难度不大． 15. 如图，在由大小相同的边长为1的小正方形组成的网格图中，连接格点、的线段交网格线于、两点，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】取格点、，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格特点可得，，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 16. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上一点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，， ∴且． 当点F在上除点C、E外的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，为的中点， ∴、、均为等腰直角三角形，． ∴，． ∴． ∴． ∴，即， ∴的最小值为的长． 在中，， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解； （3）先移项，再提公因式因式分解，即可求解； （4）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得：． 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解 ∴或， 解得：． 【小问4详解】 解： ∴或， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的； （2）以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2； （3）若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标： 【答案】（1） （2） （3） 位似中心的坐标为． 【解析】 【分析】（1）因为点平移后对应点为，所以可确定平移规则为向左平移3个单位、向上平移1个单位；将的三个顶点按此规则平移，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出平移后的． （2）因为以为位似中心、在轴右侧作相似比为2的位似图形，所以可利用位似变换的坐标规律，将原三角形各顶点的横、纵坐标同时乘以2，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出． （3）因为位似中心是两组对应顶点连线的交点，所以连接与两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心，再根据坐标系读出的坐标． 【小问1详解】 解：由点平移后得到， 可知平移规则是：所有点向左平移3个单位，向上平移1个单位． 根据原顶点坐标、、， 计算平移后对应点坐标：  ，，， 在坐标系中描出三点并顺次连接，就得到． 【小问2详解】 解：以原点为位似中心，在轴右侧作相似比为2的位似图形， 位似变换规则是将原图形各点横、纵坐标都乘2： 可得， ， 点坐标保持不变， 描出三点顺次连接，就得到符合要求的​． 【小问3详解】 解：位似图形的位似中心是两组对应顶点连线的交点： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴延长到Q使， 再延长，， 这三条线交于点Q，点就是位似中心， ∵， ∴轴，， ∴， ∴． 19. 如图，在中，是的角平分线，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，结合角平分线得到，由菱形的判定即可求证； （2）根据菱形的性质得到，，根据含30度角的直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：根据作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 20. 关于的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）___________（填是或否）存在“”点； （2）若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； （3）关于的一元二次方程是否存在“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）， （3）存在，的值为或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，再结合“”点的定义分析即可得出结果； （2）由“”点的定义可得，，再结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结果； （3）设该方程的“”点为，则，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，解得或，再分情况分别检验即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵两个根均为整数，且， ∴是存在“”点； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程：的“”点为， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 解：存在满足条件的， 设该方程的“”点为， ∵该“”点在直线上， ∴， ∵关于的一元二次方程为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，方程为，解得，，满足“”点的定义，且在直线上，故符合题意； 当时，方程为，解得，，满足“”点的定义，且在直线上，故符合题意； 综上所述，的值为或． 21. 如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程． 【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米． 【解析】 【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影； （2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度． 【详解】（1）平行； （2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M， 则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5 所以AN=10-2=8， 由平行投影可知：即 解得CD=7 所以电线杆的高度为7m． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值． （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请求出的长． 【答案】（1）黄金比x的值为； （2） 解：∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点D是线段的黄金分割点； （3）的长为． 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质： （1）根据黄金比的定义列方程，解方程即可求解； （2）先通过等角对等边证明，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换后得，即可证明点D是线段的黄金分割点； （3）设，则，，根据勾股定理求出，进而可得，再证四边形是矩形，根据列方程，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 解得，（舍），； 答：黄金比x的值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 解得， ∴的长为． 23. 保定西大街是保定热门文旅街区，十一假期吸引大量游客前来打卡．据统计，今年十一小长假第一天西大街景区接待顾客6万人次，第三天顾客人数达到7.26万人次． （1）求顾客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）驴肉火烧是来西大街游玩的游客必尝的特色美食．某驴肉火烧店制作真空包装驴肉火烧，每份成本6元，当每份售价为12元时，每天可售出70份．调研发现：售价在12元至22元的范围内，每份售价提高1元，其销量就减少5份． （i）设该款真空驴肉火烧每份售价为x元，则每天能售出___________份；（用含x的代数式表示） （ii）当该款真空驴肉火烧每份售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到420元？ （3）当该款真空驴肉火烧每份售价取最高价格22元时，该小吃店每天的利润___________（填“能”或“不能”）达到480元． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）当该款真空驴肉火烧每份售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到420元； （3）不能 【解析】 【分析】（1）设顾客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）（i）根据每份售价提高1元，其销量就减少5份，列出代数式即可；（ii）根据总利润等于单份利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单份利润乘以销量，求出总利润，即可得出结果. 【小问1详解】 解：设顾客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）； 答：顾客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 解：（i）由题意，每天能售出（份）； （ii）由题意，得， 解得或； ∵， ∴和均满足题意， 答：当该款真空驴肉火烧每份售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到420元； 【小问3详解】 解：当时，； 故该小吃店每天的利润不能达到480元． 24. 综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，常有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处．． （1）填空：的长为___________； （2）【拓展应用】如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长： （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可知，，，根据折叠的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度，再根据求出结果； （2）连接并延长交于点，连接，利用勾股定理求出，，利用勾股定理可以求出，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出结果； （3）根据旋转的性质分点在延长线上和点在线段上两种情况求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠可知， 在中，， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接并延长交于点，连接， 由平移可知， ，． 设，则， 由折叠可知， ， ， ， 解得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ， 由平移可知，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在延长线上时，如下图所示， 由旋转可知， 由折叠可知， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 当点在线段上时，如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， 由旋转可知， 四边形是矩形， ，， ， ； 综上所述，当点，，三点共线时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保师附校2026–2027年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上． 3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟． 一、单选题（本大题12小题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个晴朗的上午，皮皮拿着一块正方形木板在阳光下做投影试验，正方形木板在地面上形成的投影不可能是(　 　) A. B. C. D. 3. 下列各组的四条线段成比例的是（ ） A. ，3，2，， B. 4，6，5，10 C. 1，2，，2 D. 2，3，4，1 4. 下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ax2﹣bx … 6 2 0 0 2 6 … A. x＝1 B. x1＝0，x2＝1 C. x＝2 D. x1＝﹣1，x2＝2 5. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点B的坐标是，点D的坐标是，点A在x轴上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 现有大小相同的正方形纸片30张，小凯用其中3张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则小明至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开），则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 27 10. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（ ） A. 1是方程的一个根 B. 方程的一个根大于1 C. 方程有两个不相等实数根 D. 方程的一个根小于1，一个根大于1 12. 如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（ ） ①； ②当点与点重合时，； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 二、填空题（本大题4小题，每题3分，共12分） 13. 已知，则的值为________________． 14. 定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____． 15. 如图，在由大小相同的边长为1的小正方形组成的网格图中，连接格点、的线段交网格线于、两点，那么___________． 16. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上一点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为___________． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的； （2）以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2； （3）若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标： 19. 如图，在中，是的角平分线，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 20. 关于的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）___________（填是或否）存在“”点； （2）若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； （3）关于的一元二次方程是否存在“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程． 22. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值． （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请求出的长． 23. 保定西大街是保定热门文旅街区，十一假期吸引大量游客前来打卡．据统计，今年十一小长假第一天西大街景区接待顾客6万人次，第三天顾客人数达到7.26万人次． （1）求顾客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）驴肉火烧是来西大街游玩的游客必尝的特色美食．某驴肉火烧店制作真空包装驴肉火烧，每份成本6元，当每份售价为12元时，每天可售出70份．调研发现：售价在12元至22元的范围内，每份售价提高1元，其销量就减少5份． （i）设该款真空驴肉火烧每份售价为x元，则每天能售出___________份；（用含x的代数式表示） （ii）当该款真空驴肉火烧每份售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到420元？ （3）当该款真空驴肉火烧每份售价取最高价格22元时，该小吃店每天的利润___________（填“能”或“不能”）达到480元． 24. 综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，常有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处．． （1）填空：的长为___________； （2）【拓展应用】如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长： （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $