精品解析：广西壮族自治区贺州市昭平县昭平中学2026-2027学年高二上学期10月教学质量检测数学试题

2026年秋季学期教学质量检测卷 数 学 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3 ．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合描述可求得，应用交运算求即可. 【详解】， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查了集合的基本运算，应用了一元二次不等式的解法、集合交运算求交集，属于简单题. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 4. 已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可. 【详解】直线的倾斜角为30°， 直线的斜率. 故选：C 5. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的标准方程直接写出圆心即可. 【详解】由题可知圆心坐标为. 故选：B 6. 过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】由题意直线方程为：， 故选：B 7. 在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再求向量的模即可得答案. 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选：C． 8. 若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交， 或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分． 9. 设直线：，：，则（ ） A. 与平行 B. 与相交 C. 与的交点在圆上 D. 与的交点在圆外 【答案】BC 【解析】 【分析】由两直线斜率判断AB，解出两直线的交点判断CD. 【详解】由题意，直线， 两直线斜率分别为，， 故两直线相交，选项A错误，B正确； 联立，解得，故两直线交点为， 由，得交点在圆上.故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 直线与圆相交，则弦长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】求出恒过定点，从而得到弦长的最小值和最大值，得到答案. 【详解】的圆心为，半径为， 变形为， 故恒过定点， 由于，故在圆内， 当与直线垂直时，弦长最短， 此时弦长， 当过点时，弦长最长，为直径4， 故弦长可能为3或. 故选：BC 11. 如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 与垂直 B. 与所成的角大小为 C. 与平面所成角大小为 D. 直线与平面不平行 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】如图建立空间直角从标系，设， 则， 又、分别是、的中点，所以， 对于选项A，因为，，又， 所以，故与垂直，所以选项A正确， 对于选项B，因为，， 设与所成的角为，则，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以为正方形，连接，则， 又易知，，面，所以面， 又，，所以，故平面，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，又面，面，所以面，则面，故选项D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量的夹角的余弦值为，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可得， 所以． 故答案为：. 13. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解. 【详解】， 所以复数z的虚部为. 故答案为：. 14. 已知，则以为方向向量的两直线的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知向量，的坐标，结合，求得，求出，由两向量的夹角公式求得以为方向向量的两直线的夹角. 【详解】因为所以，又，故. 又，所以，又. 设以为方向向量的两直线的夹角为 则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）如图所示，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，解得，，则平面的一个法向量为， 则，得， 又直线不在平面内，则直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线面平行，求出直线方向向量和平面的一个法向量，证明向量垂直即可. （2）根据向量方法求空间中点到平面距离，根据公式求出距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点B到平面的距离． 16. 设直线l的方程为. （1）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）6； 【解析】 【分析】（1）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围； （2）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【小问1详解】 ， ∵不经过第二象限， ∴，解得. ∴实数的取值范围是. 【小问2详解】 令，解得，解得； 令，解得，解得或. 综上有. ∴ ，当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6， 此时直线方程，即. 17. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 【答案】（1）圆的标准方程为 （2）圆的标准方程为 【解析】 【分析】（1）小问由圆心和圆上的点，可得圆的半径，根据两点间的距离公式，可计算出圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）小问首先设圆心为，半径为，由圆心在直线：上，可得，再根据圆过点和点，可得，由两点间的距离公式，可得，整理可得，联立方程组，解得，再将，代入，解得，最后可得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，， 联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 18. 已知圆和圆. （1）判断和的位置关系； （2）求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 【答案】（1）相交 （2）， 【解析】 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程，利用点到直线距离公式以及弦长公式求得正确答案. 【小问1详解】 根据题意，圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 所以圆心距，因为， 故圆和圆相交. 【小问2详解】 将两圆方程相减，有， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离， 故公共弦的弦长为. 19. 在四棱锥中，底面是一直角梯形，底面，，，，，是上的点，且. （1）若，求异面直线与所成角的大小； （2）当为何值时，二面角的余弦值为. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系,求和所成角，即可得异面直线AE与CD所成角；（2）求平面ACE和平面AED的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算即可得到的取值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，， （1）由，知，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. （2）由， ， 设平面的法向量， 则即，取，得， 由已知面，所以平面的一个法向量， 所以，解得或. 因为，所以. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期教学质量检测卷 数 学 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1 ．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3 ．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的倾斜角为30°，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分． 9. 设直线：，：，则（ ） A. 与平行 B. 与相交 C. 与的交点在圆上 D. 与的交点在圆外 10. 直线与圆相交，则弦长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5 11. 如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 与垂直 B. 与所成的角大小为 C. 与平面所成角大小为 D. 直线与平面不平行 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量的夹角的余弦值为，则________ 13. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为___________. 14. 已知，则以为方向向量的两直线的夹角为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，正四棱柱中，，，点M，N分别是棱，的中点． （1）求证：直线平面； （2）求点B到平面的距离． 16. 设直线l的方程为. （1）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 17. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 18. 已知圆和圆. （1）判断和的位置关系； （2）求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 19. 在四棱锥中，底面是一直角梯形，底面，，，，，是上的点，且. （1）若，求异面直线与所成角的大小； （2）当为何值时，二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $