精品解析：广西壮族自治区河池市宜州区高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学科素养测评数学试题

宜州区高中2026～2027学年度上学期第一次学科素养测评 高二数学 说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分： 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷（73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的一般式方程化成斜截式方程即可求解. 【详解】将直线的一般式方程化成斜截式方程为, 则直线的斜率为. 故选：B. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为：，圆心，半径； 圆的标准方程为：，圆心，半径； 圆心距， 则，故两圆相交． 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积坐标公式得到方程，求出答案. 【详解】，解得. 故选：C 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 5. 平面直角坐标系中点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线，即， 点到直线的距离为． 故选：B 6. 在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】如图，取的中点，连接， 所以． 故选：A． 7. 设，，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 8. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，则下列判断正确的是（ ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】通过直线截距定义分析A；依据平行、垂直的斜率关系分析B、C；求解两直线交点并代入第三条直线分析D. 【详解】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 10. 已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 点到原点的距离的最小值为2 B. 过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C. 的最大值为1 D. 过点作圆的切线有2条 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可知圆心和半径.结合圆的性质判断AB；分析可知表示直线的斜率，结合切线分析求解；对于D：分析可知点在圆外，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 对于选项A：点到原点的距离的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为，可知点在圆内， 所以最短弦长为，故B错误； 对于选项C：因为表示直线的斜率， 当与圆相切时，此时，取到最大值，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在圆外， 所以过点作圆的切线有2条，故D正确； 故选：AD. 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 直线与圆相离 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可得出选项A，计算圆心到直线的距离和半径比较即可得出选项B，由题意画出图形可得即可判断选项C，画出图形，根据圆的切线性质，在直角三角形中分析即可得出选项D. 【详解】由圆，则， 所以圆的圆心为，半径为，故A选项正确， 由圆心到直线的距离为： ， 所以直线与圆相离，故B选项正确， 由直线与圆相离，点在圆上，点在直线上，如图所示： 所以，故C选项不正确， 从点向圆引切线，设切点为如图所示： 则，在直角三角形中， 切线的长为：， 若要切线长有最小值，则有最小值， 即为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值为， 故D选项正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间两点距离公式可得答案. 【详解】由题，. 故答案为： 13. 已知m为实数，方程表示圆，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先依据题给条件列出关于实数m的方程，解之即可求得实数m的值 【详解】∵表示圆， ∴，∴，， 当时，原方程化为 即：，符合题意， 当时，原方程化为 即：，不是圆的方程，∴不合题意， 故答案为： 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 第Ⅱ卷（77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线. （1）当时,求的值; （2）在（1）的条件下,若直线,且过点,求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据两直线垂直的性质列出方程,求出即可; (2)由(1)中的值,可得直线的方程,根据,设出的方程,将点代入即可求得结果. 【小问1详解】 解:由题知,, , , 解得:; 【小问2详解】 由(1)知, , 即, , 设, 将代入中可得: , 故, 即. 16. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 17. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）[方法一]：几何法 如下图所示： 在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面； [方法二]:空间向量坐标法 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则. 又∵向量,, 又平面，平面； （Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明； （Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 . 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）[方法一]：几何法 延长到，使得，连接，交于， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵,∴,所以平面即平面, 连接，作,垂足为,连接, ∵平面,平面,∴， 又∵,∴直线平面, 又∵直线平面,∴平面平面, ∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角， 根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角. 设正方体的棱长为2，则,,∴, ∴, ∴, 即直线与平面所成角的正弦值为. [方法二]：向量法 接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量， 又∵,∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. [方法三]：几何法+体积法 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P． 因为， 所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 设正方体的棱长为2，在中，易得， 可得． 由，得， 整理得． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． [方法四]：纯体积法 设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h， 在中，， ， 所以，易得． 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为，所以． 【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明； （II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法. 18. 已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】（1）圆心，半径 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入后计算即可得圆的方程，化为标准方程即可得圆心坐标与半径长； （2）由题意可得直线方程，借助弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 将点代入， 则，解得， 即， 故圆的标准方程为， 故圆心，半径； 【小问2详解】 由题意得直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离， 则弦长． 19. 如图①，在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图②． （1）求证：． （2）求证：． （3）在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）由，可得，， 翻折前，即、，因此为等腰直角三角形， 因为为中点，所以， 将沿折起为后，，对应为中点，垂直关系保持不变，即， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，即； （2）由（1）知， 依题意可知，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面， 所以平面. 又平面，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）先用翻折前后保持，再与结合，得到平面，最后由平面推出； （2）先证平面得，结合，得到平面，从而； （3）根据题设条件和（2）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由求得，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，得，， 由（2），所以. 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 所以，，. 设，即， 则，， 若存在点，使得，则，解得，则， 设平面的法向量为，则，， 令，得，所以， 设平面的法向量为，则，， 令，得，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜州区高中2026～2027学年度上学期第一次学科素养测评 高二数学 说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分： 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷（73分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 5. 平面直角坐标系中点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，则下列判断正确的是（ ） A. 在轴上的截距为3 B. 若，则 C. 若，则 D. 若相交于一点，则 10. 已知圆，设点为圆上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 点到原点的距离的最小值为2 B. 过点的直线与圆截得的最短弦长为6 C. 的最大值为1 D. 过点作圆的切线有2条 11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 直线与圆相离 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知点，，则________． 13. 已知m为实数，方程表示圆，则实数m的值为______. 14. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 第Ⅱ卷（77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和直线. （1）当时,求的值; （2）在（1）的条件下,若直线,且过点,求直线的方程 16. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 17. 如图，在正方体中， E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 19. 如图①，在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图②． （1）求证：． （2）求证：． （3）在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $