指(对)数函数模型的实际应用问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：指数函数模型的实际应用问题、对数函数模型的实际应用问题专项训练 考点目录 指数函数模型的实际应用问题 对数函数模型的实际应用问题 考点一 指数函数模型的实际应用问题 指数函数模型的实际应用问题解题技巧 （1）识别模型：数量按固定比率成倍增长或衰减（人口、复利、细胞分裂、放射性衰变、折旧等），一般设为 。 （2）增长时 （常写 ），衰减时 （常写 ），底数方向不要弄反。 （3）利用初始值（ 时 ）确定 ，再代入已知数据求底数 。 （4）解指数方程可通过两边取对数，转化为一次式求解。 （5）注意时间单位与增长周期一致，如”每年”与”每半年”的次数 不同。 （6）最终结果结合实际意义处理，如人数、件数取整数。 例1．（2026·四川泸州·一模）一款藏品原价1000元，存放年后价值满足：（为常数）.若存放8年后价值为1500元，则存放16年后藏品价值为（   ） A．2000元 B．2250元 C．2500元 D．3000元 例2．（2026·浙江杭州·一模）中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（     ） A．减小，且减速越来越慢 B．减小，且减速越来越快 C．增大，且增速越来越快 D．增大，且增速越来越慢 例3．（25-26高一上·青海海西·期末·多选）如图，某河塘浮萍面积与时间（月）的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月增加的面积都相等 B．第4个月时，浮萍面积会超过 C．只需6个月，浮萍面积便超过 D．若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，，，则 例4．（26-27高三上·河北邯郸·阶段检测·多选）若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中正数为臭氧的初始含量，则（   ） A．随着时间的增加，臭氧的含量增加 B．随着时间的增加，臭氧的含量减少 C．当时， D．已知年臭氧含量为，年臭氧含量为，若，则 变式1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）某考古团队利用古木中一种有机成分的含量估算其死亡年代．古木死亡后，该成分含量每经过1000年减少20%．检测系统先将样本产生的信号放大，再记录输出信号强度．在放大倍数一定时，输出信号强度与该成分含量成正比.2023年，团队检测一个该成分含量等于初始含量的标准样本；此后三年中，系统每年升级一次，每次将信号放大倍数提高20%.2026年，检测某古木样本，输出信号强度与2023年的标准样本输出的信号强度相同．若两种样本的初始含量相同，则该古木的死亡年代属于（    ）（参考数据：，） 春秋战国 秦汉时期 魏晋南北朝 隋唐时期 公元前770年 至公元前221年 公元前221年 至公元220年 公元220年 至公元589年 公元589年 至公元907年 A．春秋战国 B．秦汉时期 C．魏晋南北朝 D．隋唐时期 变式2．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，当v的值约为时，则时室内空气中颗粒物的浓度是时的（     ）倍（参考数据：，） A． B．2 C． D． 变式3．（25-26高三下·四川成都·开学考试·多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 考点二 对数函数模型的实际应用问题 对数函数模型的实际应用问题解题技巧 （1）识别模型：遇到里氏震级、分贝、pH 值、星等等以对数定义的量，直接套用对应公式。 （2）看清底数：常用对数 以 10 为底，自然对数 以 为底，不可混用。 （3）求原始物理量时，把对数式化为指数式，利用指对互化计算。 （4）比较两个等级或求差值时，利用”对数之差等于真数商的对数”化简。 （5）注意真数必须大于零，并弄清公式中的基准量（参考值）。 （6）结果按实际要求取整或保留有效数字，并解释其实际含义。 例1．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）点声源在空间中传播时，衰减量K与传播距离d(单位：米)的函数关系式为 (单位：dB)，取lg2≈0.30，则传播距离d从5米变化到40米时，衰减量K的增加值约为（     ） A．12dB B．16dB C．18dB D．24dB 例2．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，2022年11月16日，凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 例3．（2026·河南郑州·模拟预测·多选）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（     ） A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B．当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C．若，则 D．这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 例4．（26-27高三上·江苏常州·开学考试·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（       ）． A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量也增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 变式1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测·多选）根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（    ） A． B． C．若声音强度由降到，需降为原来的 D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍 变式4．（26-27高三上·吉林白山·阶段检测·多选）人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（    ） A． B． C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳 D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：指数函数模型的实际应用问题、对数函数模型的实际应用问题专项训练 考点目录 指数函数模型的实际应用问题 对数函数模型的实际应用问题 考点一 指数函数模型的实际应用问题 指数函数模型的实际应用问题解题技巧 （1）识别模型：数量按固定比率成倍增长或衰减（人口、复利、细胞分裂、放射性衰变、折旧等），一般设为 。 （2）增长时 （常写 ），衰减时 （常写 ），底数方向不要弄反。 （3）利用初始值（ 时 ）确定 ，再代入已知数据求底数 。 （4）解指数方程可通过两边取对数，转化为一次式求解。 （5）注意时间单位与增长周期一致，如”每年”与”每半年”的次数 不同。 （6）最终结果结合实际意义处理，如人数、件数取整数。 例1．（2026·四川泸州·一模）一款藏品原价1000元，存放年后价值满足：（为常数）.若存放8年后价值为1500元，则存放16年后藏品价值为（   ） A．2000元 B．2250元 C．2500元 D．3000元 【答案】B 【详解】由题意，，即，所以. 所以. 所以存放16年后藏品价值为元. 例2．（2026·浙江杭州·一模）中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（     ） A．减小，且减速越来越慢 B．减小，且减速越来越快 C．增大，且增速越来越快 D．增大，且增速越来越慢 【答案】D 【详解】， 由题，，， ，指数函数是增函数，且，故恒成立， 即，函数单调递增； 又随着增大而减小，故随着增大而减小，即函数的图象切线斜率越来越小，即增速越来越慢. 例3．（25-26高一上·青海海西·期末·多选）如图，某河塘浮萍面积与时间（月）的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月增加的面积都相等 B．第4个月时，浮萍面积会超过 C．只需6个月，浮萍面积便超过 D．若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，，，则 【答案】BCD 【分析】待定系数法求出的解析式，逐个分析即可. 【详解】由图可知，在上，则， 解得，故， 对于A，时，时，时， ，故A错误； 对于B，时，，故B正确； 对于C，时，，时，，故C正确； 对于D，由题可知，则，，， 所以， ， 所以.故D正确. 故选：BCD. 例4．（26-27高三上·河北邯郸·阶段检测·多选）若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中正数为臭氧的初始含量，则（   ） A．随着时间的增加，臭氧的含量增加 B．随着时间的增加，臭氧的含量减少 C．当时， D．已知年臭氧含量为，年臭氧含量为，若，则 【答案】BCD 【分析】由指数型复合函数的单调性和指数幂的运算逐项判断即可. 【详解】对于A，B选项，由函数单调递减，函数单调递增， 可得函数单调递减，故A选项错误，B选项正确； 对于C选项，当时，，故C选项正确； 对于D选项，由，有，可得，故D选项正确. 故选：BCD. 变式1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）某考古团队利用古木中一种有机成分的含量估算其死亡年代．古木死亡后，该成分含量每经过1000年减少20%．检测系统先将样本产生的信号放大，再记录输出信号强度．在放大倍数一定时，输出信号强度与该成分含量成正比.2023年，团队检测一个该成分含量等于初始含量的标准样本；此后三年中，系统每年升级一次，每次将信号放大倍数提高20%.2026年，检测某古木样本，输出信号强度与2023年的标准样本输出的信号强度相同．若两种样本的初始含量相同，则该古木的死亡年代属于（    ）（参考数据：，） 春秋战国 秦汉时期 魏晋南北朝 隋唐时期 公元前770年 至公元前221年 公元前221年 至公元220年 公元220年 至公元589年 公元589年 至公元907年 A．春秋战国 B．秦汉时期 C．魏晋南北朝 D．隋唐时期 【答案】A 【分析】根据题意，2026年检测的标准样本输出的信号强度为，再结合2026年检测的标准样本，输出信号强度与2023年的标准样本输出的信号强度相同，可得方程，再利用对数运算，得到古木的大约死亡时间，即可判断. 【详解】设古木死亡时（初始年份）该有机成分的初始含量为. 已知该成分每经过年减少，设古木死亡了年，则其残余含量为. 设 2023 年系统的初始放大倍数为， 2023年到 2026年共经过了3年，系统每年放大倍数提高， 经过3次升级，2026年的系统放大倍数变为：. 因为2026年检测的标准样本，输出信号强度与2023年的标准样本输出的信号强度相同， 所以，解得 ， 所以古木的大约死亡时间为，即公元前417年， 故该古木的死亡年代属于春秋战国时代. 变式2．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，当v的值约为时，则时室内空气中颗粒物的浓度是时的（     ）倍（参考数据：，） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由已知函数关系 . 所以. 变式3．（25-26高三下·四川成都·开学考试·多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【答案】AC 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 考点二 对数函数模型的实际应用问题 对数函数模型的实际应用问题解题技巧 （1）识别模型：遇到里氏震级、分贝、pH 值、星等等以对数定义的量，直接套用对应公式。 （2）看清底数：常用对数 以 10 为底，自然对数 以 为底，不可混用。 （3）求原始物理量时，把对数式化为指数式，利用指对互化计算。 （4）比较两个等级或求差值时，利用”对数之差等于真数商的对数”化简。 （5）注意真数必须大于零，并弄清公式中的基准量（参考值）。 （6）结果按实际要求取整或保留有效数字，并解释其实际含义。 例1．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）点声源在空间中传播时，衰减量K与传播距离d(单位：米)的函数关系式为 (单位：dB)，取lg2≈0.30，则传播距离d从5米变化到40米时，衰减量K的增加值约为（     ） A．12dB B．16dB C．18dB D．24dB 【答案】C 【详解】设传播距离为5米时衰减量为，即时，. 传播距离为40米时衰减量为， 即时，. 衰减量的增加值为： ， 根据对数运算性质（）， 所以，又， 根据对数幂的运算性质， 所以，代入，得. 故C符合题意. 例2．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，2022年11月16日，凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【详解】设凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量为，云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量为， 则①，②， ①②得， 化简可得，所以， 即. 例3．（2026·河南郑州·模拟预测·多选）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（     ） A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B．当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C．若，则 D．这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 【答案】BCD 【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可. 【详解】为正常数. 对于A，， 由，得， 所以，解得，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，由，得，即， 则，故正确； 对于D，设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 例4．（26-27高三上·江苏常州·开学考试·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（       ）． A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量也增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 【答案】AC 【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答案. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以， 所以C正确，D错误. 故选：AC. 变式1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒，代入解得，再根据量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，代入求解即可. 【详解】因为当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，即，解得. 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒， 则，解得. 变式2．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，则最大理想速度为：，故D正确. 变式3．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测·多选）根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB．已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（    ） A． B． C．若声音强度由降到，需降为原来的 D．若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍 【答案】AD 【分析】根据题目分贝数函数求出，，，即可判断ABC，再分别求出40分贝数和60分贝数对应的声音强度即可判断D. 【详解】由题意可知，，即，得， ，即，得， ，即，得， 则，所以，与大小关系不确定，由此可知A正确，B错误； 因为，，所以，C错误； 当声音强度的等级为60dB时，有，即，得， 此时对应的强度. 当声音强度的等级为40dB时，有， 即，得，此时对应的强度， 所以60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确. 故选：AD 变式4．（26-27高三上·吉林白山·阶段检测·多选）人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（    ） A． B． C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳 D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍 【答案】BD 【分析】AB选项，得到方程，解得；C选项，将代入求出释放出的能量为；D选项，代入，求出释放出的能量为，从而得到比值. 【详解】AB选项，由题意可得，即，解得，A错误，B正确. C选项，由题意得，解得，C错误. D选项，由题意得，解得，，D正确. 故选：BD 2 学科网（北京）股份有限公司 $