精品解析：山东烟台市蓬莱区 2026-2027学年七年级上学期期中数学试题（五四制）

2026—2027学年第一学期期中学业水平考试初二数学试题 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若的三边长a，b，c满足，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 5. 如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 7. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（ ）     A. 100 B. 28 C. 9 D. 10 8. 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（ ） A. B. C. D. 9. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. 0.3 0.4 0.5 B. C. 9 16 25 D. 12 16 20 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长方形有且只有一条对称轴 B. 等腰三角形底边上的高是它的对称轴 C. 角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴 D. 平面内两条相交直线是轴对称图形 11. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 13. 如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________． 14. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 15. 在中，，，则的度数为________． 16. 等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 17. 在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 18. 如图，公园里一长方体石凳的长为30，宽为20，高为10，点与点的距离为5，一只蚂蚁沿着该长方体石凳的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是________． 三、解答题（本大题共8个题．满分66分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 20. 如图，在中，，是上一点，过作于，并与CA的延长线相交于，试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． （1）请在图中画出关于直线对称的图形； （2）请在直线上确定一点，使得最短． 22. 如图，在中，，，分别过点，向过点的直线作垂线，垂足分别为，．与相等吗？请说明理由． 23. 如图，某单向隧道的截面是一个半径为的半圆形，一辆高、宽的卡车能通过这个隧道吗？请说明理由． 24. 如图，已知为等边三角形，点，分别在，边上，且，与交于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的度数． 25. 一块菜地的形状如图所示，其中，，，，且．求这块菜地的面积． 26. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，且． （1）吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中学业水平考试初二数学试题 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角，  垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 3. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 4. 若的三边长a，b，c满足，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 5. 如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分， 则， ∵，， ∴的周长． 7. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（ ）     A. 100 B. 28 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 8. 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，邻补角的性质．先根据三角形的内角和定理求出，再根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. 0.3 0.4 0.5 B. C. 9 16 25 D. 12 16 20 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 长方形有且只有一条对称轴 B. 等腰三角形底边上的高是它的对称轴 C. 角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴 D. 平面内两条相交直线是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称轴为直线的性质快速排除B、C选项，再验证剩余选项． 【详解】解：∵对称轴是直线，等腰三角形底边上的高是线段，角平分线是射线，均不是直线，∴B、C选项表述错误； ∵长方形有2条对称轴，∴A选项表述错误； ∵平面内两条相交直线的对称轴是其夹角的平分线所在的直线，共2条，∴平面内两条相交直线是轴对称图形，D选项表述正确． 11. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：设的长为尺，则的长为尺， 在中， ，则由勾股定理得， ∴． 12. 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 13. 如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 14. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 15. 在中，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和为的性质，将三个内角统一用的度数表示，建立方程求解得到的度数，再代入计算的度数． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， 整理得， 解得， ∴． 16. 等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 17. 在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 18. 如图，公园里一长方体石凳的长为30，宽为20，高为10，点与点的距离为5，一只蚂蚁沿着该长方体石凳的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是________． 【答案】25 【解析】 【分析】将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，共有种情况： ①如图， ，， 由勾股定理，得：； ②如图， ，， 由勾股定理，得：； ③如图， ，， 由勾股定理，得：； ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 三、解答题（本大题共8个题．满分66分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P． 【详解】作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求． 20. 如图，在中，，是上一点，过作于，并与CA的延长线相交于，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90，然后余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，即可推出△ADF是等腰三角形． 【详解】△ADF是等腰三角形， 理由如下： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°， ∴∠F=∠BDE， 而∠BDE=∠FDA， ∴∠F=∠FDA， ∴AF=AD，即△ADF是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出∠F=∠FDA，即可推出结论． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． （1）请在图中画出关于直线对称的图形； （2）请在直线上确定一点，使得最短． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，分别过点，向过点的直线作垂线，垂足分别为，．与相等吗？请说明理由． 【答案】解： 理由：∵， ， ∵分别过点向过点的直线作垂线，垂足分别为， ， ， ， 在和中， ， ∴ 【解析】 【分析】由垂直的定义得到，再求出，由即可证明． 【详解】略 23. 如图，某单向隧道的截面是一个半径为的半圆形，一辆高、宽的卡车能通过这个隧道吗？请说明理由． 【答案】解：图中的长方形是卡车横截面的示意图，的中点O是隧道的截面半圆的圆心 根据题意得：，，， 在中，根据勾股定理，， 即， 隧道的截面半径，， 所以卡车可以沿着隧道中间顺利通过． 【解析】 【分析】根据题意直接构造直角三角形进而得出当时求出的长，即可得出答案． 【详解】略 24. 如图，已知为等边三角形，点，分别在，边上，且，与交于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵△是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，，结合，可证明； （2）根据，，等量代换可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△△， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴． 而， ∵△是等边三角形， ∴， ∴ 25. 一块菜地的形状如图所示，其中，，，，且．求这块菜地的面积． 【答案】这块菜地的面积为 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，利用勾股定理的逆定理可判定，使用的面积减去的面积即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 答：这块菜地的面积为． 26. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，且． （1）吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： 连接，如图， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴． ∵为线段的中点， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的“三线合一”证明； （2）证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $