3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 坐标法的延续，圆锥曲线的启航 章前导学——什么是圆锥曲线？ 章前导学——什么是圆锥曲线？ 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线． 我们通常把椭圆、拋物线、双曲线统称为圆锥曲线. 椭圆 抛物线 双曲线 圆 章前导学——圆锥曲线发展史 章前导学——圆锥曲线发展史 削尖的木桩 梅内克缪斯 阿波罗尼斯 公园前5世纪 公园前4世纪 公园前3世纪 安提缪斯 开普勒和伽利略 6世纪初 16世纪末 古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)(约公元前262-前190) 采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有《圆锥曲线论》一书，全书共八卷，含487个命题，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果，《圆锥曲线论》是古希腊几何的登峰造极之作. 章前导学——圆锥曲线发展史 将代数和几何统一起来，建立了解析几何，提出了数形结合的思想 在《圆曲线分析》中推导出了椭圆的方程 在《圆锥曲线新基础》中给出椭圆的第一定义。 在一篇论文中直观地证明了椭圆的截线定义与轨迹定义的统一性。 笛卡尔和费马 拉希尔 洛必达 旦德林 17世纪初 1679年 1707年 1822年 章前导学——生活中的圆锥曲线 章前导学——太空中的圆锥曲线 学习目标 1.通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，理解椭圆的定义和标准方程。 2.能建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。 数学实验 (1)取一条细绳，在黑板上定两个点F1,F2 (2)把细绳的两端固定在黑上的两点F1、F2 (3)用粉笔尖（P）把细绳拉紧，在黑板上慢慢移动看看画出的图形 思考 F1 F2 1.作图的过程中哪些量没有变？哪些量变了？ 2.笔尖所对应的动点M到两个定点的距离绳长之间的关系？ 思考 3.实验中两定点之间的距离|F1F2 |与绳长|MF1+MF2 |有哪些数量关系？每一种情况对应的轨迹分别是什么？由此你能给出椭圆的定义吗？ M F1 F2 P F1 F2 F1 F2 |MF1+MF2 ||F1F2 | |MF1+MF2 ||F1F2 | |MF1+MF2 ||F1F2 | 新知探究1——椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 焦距2c M 一点O 两点 圆 椭圆 定长OM 定长 平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。 平面内，到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。 、 ？ 新知探究1——椭圆的定义 类比圆的定义，根据刚才的探究实验的原理，你们能尝试归纳概括出椭圆的定义吗？ 14 新知探究1——椭圆的定义 定义中的常数为什么要大于焦距|F1F2|？ M F1 F2 P F1 F2 F1 F2 |MF1+MF2 ||F1F2 | |MF1+MF2 ||F1F2 | |MF1+MF2 ||F1F2 | 概念辨析练习 例1 设F1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 解析：∵|MF1|＋|MF2|＝10＞|F1F2|＝6， 由椭圆定义知，动点 M 的轨迹为椭圆. A 概念辨析练习 练1 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆： (1)到 F1(-2，0)、F2(2，0)的距离之和为 6 的点的轨迹； (2)到 F1(0，-2)、F2(0，2)的距离之和为 4 的点的轨迹； (3)到 F1(0，-2)、F2(0，2)的距离之和为 3 的点的轨迹。 ∵|F1F2|＝4，|MF1|＋|MF2|＝6＞4，∴为椭圆. ∵|F1F2|＝4，|MF1|＋|MF2|＝4=4，∴为线段. ∵|F1F2|＝4，|MF1|＋|MF2|＝3＜4，∴不存在 新知探究2——椭圆的标准方程 从椭圆的画法中，你能发现椭圆有哪些对称性？ F1 F2 M 椭圆关于定点F1,F2所在的直线对称 关于线段F1F2的中垂线对称 且对称轴的交点是椭圆的对称中心 新知探究2——椭圆的标准方程 类比圆的方程的最简形式与坐标系的关系,观察椭圆的形状，怎么建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 建系讲究对称、简洁、尽可能多的点在坐标轴上． M F1 F2 O x y M F1 F2 O x y O x y M F1 F2 O x y M F1 F2 新知探究2——椭圆的标准方程 1.建系设点 2.找动点满足的条件. 3.列式 4.化简整理坐标方程 那如何化简会比较简便？ 新知探究2——椭圆的标准方程 F1 F2 P x O y (x,y) 移项后平方 整理，得 再平方 整理，得 两边同时除以 得 因为2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2-c2＞0. ① 新知探究2——椭圆的标准方程 思考：观察图象,找出表示a,c, 的线段. |PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c, 令 可化简为 我们把它叫做椭圆的标准方程.它的焦点在 轴上. 椭圆的特征三角形 新知探究2——椭圆的标准方程 思考：如果焦点F1,F2在y轴上，坐标分別为(0,-c),(0,c)，那么椭圆的方程是什么？ F1 F2 P x O y 敲黑板——椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a,b,c的关系 x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上 （1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1; （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上; （3）椭圆标准方程是关于x和y的二元二次方程，不含一次项; （4）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2 椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 敲黑板——椭圆的标准方程 课堂练习 在x轴,（-3，0）和（3，0） 在y轴,（0，-5）和（0，5） 在y轴,（0，-1）和（0，1） 判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标. D D C 课堂练习 课堂练习 4.已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 B y o F1 F2 M x N 典例分析——课本107页例1 例1 已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),且过点 求它的标准方程. 求a,b 定位 定量 焦点位置 (1.定义法) 椭圆定义求2a 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 29 典例分析——课本107页例1 例1 已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),且过点 求它的标准方程. 求a,b 定位 定量 焦点位置 (2.待定系数法) 确定椭圆的方程形式 构造关于的方程组 解 写出椭圆方程 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 30 方法小结——求椭圆标准方程的主要方法 (1)定义法：用定义寻找a, b, c的方程； (2)待定系数法：①先确定焦点位置，②设方程，计算出待定字母的值. 待定系数法是解此类问题的通法，但是计算较为困难. (3)一般方程法：当焦点位置不确定时，可设为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0) 因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算。 求椭圆的标准方程，要先定“位”，即确定焦点的位置； 其次是定“量”，即求 a, b 的大小 . a, b, c 满足的关系有： 变式练习 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 32 典例分析——课本108页例2——与椭圆有关的轨迹方程 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 将圆“压缩”可得到椭圆 总结：寻求点M的坐标(x,y)中x,y与x0,y0之间的关系，然后消去x0,y0，得到点M的轨迹方程。这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 33 思考 观察下列图形变换过程，由此你能说出椭圆与圆之间的关系吗？ 将圆“压缩”可得到椭圆 将圆“拉伸”可得到椭圆 设A,B点的坐标分別为(-5,0),(5,0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积 是 求点M的轨迹方程. 典例分析——课本108页例3——与椭圆有关的轨迹方程 总结——与轨迹方程 1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. 2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． 3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法． 拓展——焦点三角形 拓展——焦点三角形 y O F1 F2 P x 解： 由已知可得， 拓展——焦点三角形 余弦定理 面积公式 小结——焦点三角形的周长和面积 θ 课堂小结 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2 |）的点的集合 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 Lavf58.46.101 Lavf57.62.100 $