3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

nullnull 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程. 2.理解椭圆简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想. 3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题. 探索新知 1.椭圆的范围 2.对称性 3.顶点、长轴、短轴 4.离心率 两种椭圆几何性质的比较 经典例题 课堂练习 C 课堂练习 ABD 经典例题 课堂练习 85 经典例题 椭圆第二定义 课堂练习 经典例题 课堂练习 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 本节课学习了椭圆的简单几何性质及其简单应用. 课堂小结 作业布置 P114 练习 第2题 P115 习题3.1 第5题、第8题 由方程可知， 所以，即，同理有，即. 即椭圆位于直线和围成的矩形框里. 在椭圆的标准方程中，以代y，方程不变. 即当点在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上， 所以椭圆关于x轴对称. 同理，以代x，方程也不变，则椭圆关于y轴对称. 以代x，以代y，方程也不变，则椭圆关于原点对称. 综上，椭圆关于x轴、y轴都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 在椭圆的标准方程中， 令，得.因此，是椭圆与y轴的两个交点. 同理，令，得.因此，是椭圆与x轴的两个交点. 这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和， a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率， 用e表示，即. 因为，所以. e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平； 反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆. 当且仅当时，，两个焦点重合，图形变为圆，方程为. 标准方程 焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ， 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ， ，， ， 长、短轴长 长轴长，短轴长 离心率 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦 点和顶点的坐标. 解：把原方程化成标准方程，得，于是，， .因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和， 离心率，两个焦点坐标分别是和， 四个顶点坐标分别是，，和. 例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点. 已知. 试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）. 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设所求椭圆方程为. 在中，. 由椭圆的性质知， 所以， . 所以，所求的椭圆方程为. 例3 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数， 求动点M的轨迹. 解：如图，设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M的轨迹就是 集合.由此得. 将上式两边平方，并化简得，即. 所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆. 例4 如图，已知直线和椭圆. m为何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个公共点？ （2）有且只有一个公共点？ （3）没有公共点？ 解：由方程组消去，得.① 方程①的根的判别式.由，得. 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.由，得 .此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点. 由，得，或. 此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点. $