导数与函数的零点专题训练-2027届高三数学一轮复习

导数与函数的零点 一、知识点梳理 （一）零点存在定理与判断个数的完整路线 若函数 在闭区间 上连续，且 ，则 在 内至少有一个零点；若再能说明 在 上单调，这个零点就唯一。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材在「导数在函数中的应用」中用单调性与极值讨论过方程根的个数，路线与此一致。 判断个数的完整路线是四步：先求定义域，再求导并解出驻点，然后用驻点把定义域切成若干单调区间、算出每段端点的函数值或极值，最后在每个单调区间上用存在定理定一个零点。四步里最容易漏的是第三步——只凭 只能得到「至少一个」，说不出究竟几个。 端点函数值算不出来时用极限代替： 时 ， 时 ， 时 的增长快于任何多项式。趋势判断错一处，个数就会多算一个或少算一个，这一步不能用「显然」带过。 （二）数形结合：把零点个数换成图象交点个数 方程 的根，就是 的图象与 轴交点的横坐标；方程 的根，就是 的图象与水平直线 交点的横坐标。把含参数的项挪到一边化成 ，交点个数一眼可见。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材的习题里多次用这种「一条曲线加一条水平线」的方式数交点。 草图必须标出三样东西：极值点的横坐标与函数值、单调区间的走向、两端的趋势（含趋于 或无穷）。只画一个「大致形状」而不标极值，交点个数无法确定，画了也等于没画。 水平线与图象相切时，交点是重根，但只算一个点。所以「恰有两个交点」常常对应 等于某个极值，此时还要看另一侧是否另有一个交点，不能一看到相切就写答案。 （三）由零点个数反求参数的两条路 第一条是分离参数：把条件化成 ，把「 有 个零点」翻译成「 的图象与 的交点恰有 个」，再读 的极值与值域。第二条是不分离，直接算 的极值，用「极大值 且极小值 」这类符号条件列不等式。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材的含参例题两种处理都有，选哪条要看 是否容易画。 三次函数 （）有三个零点的充要条件是极大值 且极小值 ；恰有两个零点则某个极值等于 。用这组结论之前必须先确认极值点真实存在（导数的判别式大于 ），否则讨论的对象就不存在。 分离参数后要盯住 的值域：若 在端点处取不到（开区间、趋于无穷），端点处会少一个交点，答案的端点随之取开或取闭。列完不等式务必回头核对端点，这一步错得最多。 （四）极值点解不出时怎么收尾 有些函数的极值点满足 或 一类方程，解不出具体数值。此时不必求出 ：把 当作条件代回 ，就能把极值写成参数的表达式，符号也随之一目了然。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材的习题中出现过这种「设而不求」的处理。 代回之后还要交代 的存在性与范围：一般先说明 单调，再用 在两点的符号定出 所在区间，最后由 的范围去估计极值的符号。少了这一段，「设而不求」就成了空中楼阁。 最后别忘两端趋势。极值的符号只决定图象内部与 轴有没有交点，两端的走向决定外面还有没有交点。两者合起来才是完整的零点个数。 自查三件事：驻点是否全部解出并检验过、两端趋势是否说清楚、答案端点的等号该取还是不该取。 二、典型例题 例1　极值异号：三个零点 函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 变式1　最小值大于 ：没有零点 函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 例2　一阶导数符号不明：再求一次导 函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 变式2　闭区间上的最小值大于 函数 在区间 上的零点个数为（　　） A． B． C． D． 例3　三个零点：两处极值异号 若函数 有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3　极值差变了：区间随之改变 若函数 有三个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例4　分离参数： 有两个交点 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式4　不分离：直接看最小值符号 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例5　含参指数型： 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式5　含参对数型： 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例6　一次因式乘指数：最小值含 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式6　分离参数： 的图象分两段 若函数 有两个零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 2．方程 的解的个数为（　　） A． B． C． D． 3．若直线 与曲线 恰有两个公共点，则（　　） A． B． 或 C． D． 4．函数 的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 没有零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6． 无零点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数与函数的零点 一、知识点梳理 （一）零点存在定理与判断个数的完整路线 若函数 在闭区间 上连续，且 ，则 在 内至少有一个零点；若再能说明 在 上单调，这个零点就唯一。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材在「导数在函数中的应用」中用单调性与极值讨论过方程根的个数，路线与此一致。 判断个数的完整路线是四步：先求定义域，再求导并解出驻点，然后用驻点把定义域切成若干单调区间、算出每段端点的函数值或极值，最后在每个单调区间上用存在定理定一个零点。四步里最容易漏的是第三步——只凭 只能得到「至少一个」，说不出究竟几个。 端点函数值算不出来时用极限代替： 时 ， 时 ， 时 的增长快于任何多项式。趋势判断错一处，个数就会多算一个或少算一个，这一步不能用「显然」带过。 （二）数形结合：把零点个数换成图象交点个数 方程 的根，就是 的图象与 轴交点的横坐标；方程 的根，就是 的图象与水平直线 交点的横坐标。把含参数的项挪到一边化成 ，交点个数一眼可见。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材的习题里多次用这种「一条曲线加一条水平线」的方式数交点。 草图必须标出三样东西：极值点的横坐标与函数值、单调区间的走向、两端的趋势（含趋于 或无穷）。只画一个「大致形状」而不标极值，交点个数无法确定，画了也等于没画。 水平线与图象相切时，交点是重根，但只算一个点。所以「恰有两个交点」常常对应 等于某个极值，此时还要看另一侧是否另有一个交点，不能一看到相切就写答案。 （三）由零点个数反求参数的两条路 第一条是分离参数：把条件化成 ，把「 有 个零点」翻译成「 的图象与 的交点恰有 个」，再读 的极值与值域。第二条是不分离，直接算 的极值，用「极大值 且极小值 」这类符号条件列不等式。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材的含参例题两种处理都有，选哪条要看 是否容易画。 三次函数 （）有三个零点的充要条件是极大值 且极小值 ；恰有两个零点则某个极值等于 。用这组结论之前必须先确认极值点真实存在（导数的判别式大于 ），否则讨论的对象就不存在。 分离参数后要盯住 的值域：若 在端点处取不到（开区间、趋于无穷），端点处会少一个交点，答案的端点随之取开或取闭。列完不等式务必回头核对端点，这一步错得最多。 （四）极值点解不出时怎么收尾 有些函数的极值点满足 或 一类方程，解不出具体数值。此时不必求出 ：把 当作条件代回 ，就能把极值写成参数的表达式，符号也随之一目了然。人教A版《选择性必修第二册》第五章「一元函数的导数及其应用」这本教材的习题中出现过这种「设而不求」的处理。 代回之后还要交代 的存在性与范围：一般先说明 单调，再用 在两点的符号定出 所在区间，最后由 的范围去估计极值的符号。少了这一段，「设而不求」就成了空中楼阁。 最后别忘两端趋势。极值的符号只决定图象内部与 轴有没有交点，两端的走向决定外面还有没有交点。两者合起来才是完整的零点个数。 自查三件事：驻点是否全部解出并检验过、两端趋势是否说清楚、答案端点的等号该取还是不该取。 二、典型例题 例1　极值异号：三个零点 函数 的零点个数为 A． B． C． D． ①求导定单调　， 在 、 上递增，在 上递减。 ②算极值　极大值 ，极小值 ，两者异号。 ③数个数　两端分别趋于 与 ，三个单调区间上各有一个零点，共 个。 注：极值异号只是必要条件的一半：极大值必须为正、极小值必须为负，还要两端确实能走到极值之外。三条都满足，才是三个零点。 【答案】B。 ，令 得 或 。 当 或 时 ，当 时 ，故 的极大值为 ，极小值为 。 又 时 ， 时 ，所以 在 、、 上各有一个零点，共 个。故选 B。 变式1　最小值大于 ：没有零点 函数 的零点个数为 A． B． C． D． ①求导　，在 处由负变正。 ②求最小值　最小值为 。 ③定个数　最小值大于 ，图象整体在 轴上方，故没有零点。 注：最小值恰好等于 时是「一个零点」，与 轴相切；大于 才是「没有零点」。这两种情形只差一个等号，必须把最小值算准再下结论。 【答案】A。 的定义域为 ，。 当 时 ，当 时 ，故 的最小值为 。 因为 ，所以 ，即 对任意 成立， 没有零点。故选 A。 例2　一阶导数符号不明：再求一次导 函数 的零点个数为 A． B． C． D． ①一阶求导　，这个式子的符号不能直接看出。 ②二阶定号　，故 的最小值为 ，于是 单调递增。 ③数个数　，，故恰有一个零点。 注：一阶导数的符号看不出来时，对它再求一次导，用二阶导数定出一阶导数的最小值——这是「导数的符号本身需要研究」的标准处理，不是技巧。 【答案】D。 ，。 当 时 ，当 时 ，故 的最小值为 。 所以 处处成立， 在 上单调递增。又 ，，故 在 上恰有一个零点，即零点个数为 。故选 D。 变式2　闭区间上的最小值大于 函数 在区间 上的零点个数为 A． B． C． D． ①求驻点　，在 内只有 是驻点。 ②定单调　 在 上递减、在 上递增，最小值 。 ③数个数　最小值大于 ，故 上没有零点。 注：不要看到「三次函数」就默认它有零点：这一题在整个实数范围内确实有一个零点（在 处），但在 上一个也没有。区间是题目的一部分，必须按区间算。 【答案】C。 ，在 内 的根只有 。 当 时 ，当 时 ，故 在 上的最小值为 。 最小值 ，所以 在 上成立， 在 上没有零点。故选 C。 例3　三个零点：两处极值异号 若函数 有三个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①求极值　，极大值 ，极小值 。 ②列符号条件　三个零点要求极大值大于 、极小值小于 ，即 且 。 ③定范围　解得 。 注：含参三次函数有三个零点，等价于「极大值大于 且极小值小于 」，因为 与 两端的走向已经把外面的两个零点各锁死了一个。 【答案】A。 ，故 在 处取极大值 ，在 处取极小值 。 又 时 ， 时 ，所以 有三个零点当且仅当极大值大于 、极小值小于 。 即 且 ，解得 。故选 A。 变式3　极值差变了：区间随之改变 若函数 有三个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①求极值　，极大值 ，极小值 。 ②列符号条件　要求 且 。 ③定范围　解得 。 注：极值差等于极大值与极小值之差的绝对值，本题为 ，上一题为 。答案区间的长度就是这个差，不必重新推导，但要算准极值。 【答案】D。 ，故 在 处取极大值 ，在 处取极小值 。 有三个零点当且仅当 且 。 解得 。故选 D。 例4　分离参数： 有两个交点 若函数 有两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①分离参数　 即 ，问题化为直线 与 的图象有两个交点。 ②画 的图象　， 在 上递增、在 上递减，最大值 。 ③数交点　 时 ， 时 ，故两个交点要求 。 注： 取负值时只有负半轴那一个交点，取 时只有 ，都不算两个。所以「两个零点」必须先把 定下来，再谈上界。 【答案】B。 等价于 ，即直线 与 的图象有两个交点。 ，当 时 ，当 时 ，故 的最大值为 。 又 时 ， 时 ，所以两交点要求 。故选 B。 变式4　不分离：直接看最小值符号 若函数 有两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①求导　，只有 时才可能有极值点。 ②求最小值　驻点 ，最小值为 。 ③列条件　两个零点要求最小值小于 ，即 ，得 。 注：本题分离参数不划算： 的图象不好画，端点趋势也不好交代。直接算最小值、用符号列不等式更快，这是两条路的选择问题。 【答案】A。 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递增，至多一个零点；当 时 在 处取最小值 。 两个零点要求该最小值小于 ，即 ，解得 。故选 A。 例5　含参指数型： 若函数 有两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①分类　 时 ， 单调递增，至多一个零点。 ②求最小值　 时驻点 ，最小值 。 ③列条件　两个零点要求 ，即 ，得 。 注： 不能直接除掉 就看 ，要先说明 ——分类讨论的第一步正是为了把这个前提立住。 【答案】C。 。当 时 ， 在 上单调递增，至多一个零点，不合题意。 当 时， 在 上递减、在 上递增，最小值为 。 两个零点要求最小值小于 ，即 ，解得 。故选 C。 变式5　含参对数型： 若函数 有两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①分类　 时 ， 单调递增，至多一个零点。 ②求最大值　 时驻点 ，最大值 。 ③列条件　两个零点要求 ，即 ，结合 得 。 注：指数型看最小值、对数型看最大值，因为两者的两端趋势相反： 两头都趋于 ， 两头都趋于 。 【答案】B。 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递增，至多一个零点，不合题意。 当 时， 在 上递增、在 上递减，最大值为 ；两个零点要求 ，解得 。故选 B。 例6　一次因式乘指数：最小值含 若函数 有两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①分类　 时 ， 单调递增，至多一个零点。 ②求最小值　 时驻点 ，最小值 。 ③列条件　两个零点要求 ，即 ，得 。 注：注意 里出现了 而不是 ，这是因子 带来的，最容易把 写成 ，答案就差了一个 。 【答案】A。 。当 时 ， 单调递增，至多一个零点。 当 时， 在 上递减、在 上递增，最小值为 。 又 时 ， 时 ，故两个零点要求 ，解得 。故选 A。 变式6　分离参数： 的图象分两段 若函数 有两个零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①分离参数　 即 ，看直线 与 的交点。 ②画 的图象　， 在 上递减、在 上递增，最小值 。 ③数交点　 时 ， 时 ，故两个交点要求 。 注：与例4 的图象分段正好相反： 的正值段能取到两个交点， 的负值段才能取到两个交点。判断依据只有一条——看水平线穿过哪一段。 【答案】D。 等价于 ，即直线 与 的图象有两个交点。 ，当 时 ，当 时 ，故 的最小值为 。 又 时 ， 时 ，所以两交点要求 。故选 D。 三、巩固练习 1．函数 的零点个数为 A． B． C． D． 【答案】C。 的定义域为 ，，故 单调递增。 ，，故 在 内恰有一个零点，即零点个数为 。故选 C。 2．方程 的解的个数为 A． B． C． D． 【答案】A。 令 ，则 ， 在 处取最小值 。 因为 ，所以 ，即 恒成立，方程无解。故选 A。 3．若直线 与曲线 恰有两个公共点，则 A． B． 或 C． D． 【答案】B。 ，故极大值为 ，极小值为 。 或 时一个公共点， 时三个公共点； 时方程为 ， 时方程为 ，都恰有两个公共点。故选 B。 4．函数 的零点所在的区间是 A． B． C． D． 【答案】D。 ，故 在 上单调递增，零点至多一个。 ，，故零点在 内。故选 D。 5．若函数 没有零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C。 时 ， 单调递减，且 时 ， 时 ，故恰有一个零点。 时 在 处取最小值 ；没有零点要求 ，解得 。故选 C。 6． 无零点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B。 ， 在 处取最小值 。 没有零点要求最小值大于 ，即 ，解得 。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $