函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、已知零点数量求参数问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、已知零点数量求参数问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 已知零点数量求参数问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切点，再求导得到切线斜率，由点斜式求出切线方程； （2）先求导，根据导函数符号确定单调区间，再判断并计算函数极值； （3）采用分离参数法，转化为求函数的最大值，利用导数求出新函数的最值，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以. ，所以切线的斜率. 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）若，则，定义域为，所以. 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）若对任意的恒成立，即在恒成立，变形可得. 令，所以 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，所以，即的取值范围是. 例2．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，的单调递增区间为，递减区间为. (2) (3)由（2）取，可得不等式：， 即对任意的恒成立. 令（为正整数），得，因此：. 对不等式左右两侧累加： ，故原不等式得证. 【分析】（1）对求导得到导函数表达式，根据的取值分类讨论导函数的正负，以此确定单调区间； （2）由分参得到，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）利用第二问的结论，选取合适的值得到，进而得到，再对放缩后的通项求和，利用等差数列求和公式完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得：. 当时，在上恒成立， 因此的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，函数上递增； 时，，函数上递减， 此时函数的递增区间为，递减区间为. 综上所述，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无递减区间. （2）对任意的，由，可得， 令，其中， 则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 故实数的取值范围是. （3）略 例3．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，． (1)若有两个不同零点，，证明（为自然对数的底数）； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)设的两个不同零点为，设， ， ， 故欲证，即，只需证， 即，即证， 设，上式转化为， 设， ， 在上单调递增， ， ，即． (2) 【分析】（1）设出两个零点，代入函数表达式，将要证明的不等式转化为证明，构造函数，利用导数求得的最小值大于零，由此证得原不等式成立. （2）问题转化为恒成立，设，利用导数求其最大值，即可得解. 【详解】（1）略. （2）由恒成立，得恒成立， 即恒成立， 设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在唯一实数，使得，即， 两边取对数得， 移项得， 设，则， 所以函数在单调递增，所以，则， 由时，时， 可得时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以. 变式1．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查对数不等式求解，对等价变形可解； （2）本题考查恒成立求参数范围：先将原式化为 ，参数全分离后构造函数 ，由导数符号表得其在 处取最大值 ，从而 . 【详解】（1）解不等式 ，即 ，即，变形可得，等价于 即：，即，即不等式解集为. （2）若恒成立，即 对恒成立， 因为， 即：恒成立 令 ，则 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，即 【点睛】本题考查对数不等式与恒成立问题的参数范围，重点考查定义域优先意识、参数分离与构造差函数求最值的能力。 变式2．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入得到函数解析式，求得导数，然后求得切点坐标和切线斜率，由点斜式写出直线方程； （2）令，由分离常数得到，构造函数，由导数得到函数单调区间，作出函数大致图象，由图象得到答案； （3）整理不等式，构造函数，由，求得的范围.求导数，验证导数的正负性，然后构造函数，通过导数得到函数的单调性，即可通过得到函数的单调性，从而求得的范围. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以所求切线方程为，即． （2）令，得． 令，则有且仅有一个零点等价于直线与曲线有且仅有一个交点． ，则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以．又当时，，当时，，且，作出的大致图象，如图所示： 由图可得，实数的取值范围为． （3）由，得． 令，，由，可得． 当时，，易知． 令，得． 因为，，所以，． 故，即在上单调递增，． 所以在上单调递增．所以，不等式恒成立． 综上，实数的取值范围为． 变式3．（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，证明：； (3)若对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以则即 (2)当时，原不等式可化为， 设，则， 当时，单调递增； 当时，令， 则， 所以单调递增，所以，单调递减， 所以，原不等式得证. (3) 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）原不等式可化为，利用导数求出的最小值即可得证； （3）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意. ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意. 综上： 考点二 能成立求参数问题 例1．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 例2．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数在和处取得极值． (1)求实数，的值； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据极值点有列方程组求参数值； （2）问题化为上，利用导数求函数的最小值，即可得. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 由在，处取得极值，即，解得； （2）若，使得不等式成立，则只需， ， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 在处取得极小值，即， ， 实数的取值范围是. 例3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性即得； （2）由题意可得，利用（1）的结论，结合特值代入，推得方程有一个根为0，另一个根在区间内，进而得到函数在上的单调性，从而求得其最大最小值，进而求出参数的范围. 【详解】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 变式3．（25-26高三上·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调增区间为；单调减区间为 (2). 【分析】（1）求导，通过为极值点，求，进而确定单调区间； （2）将转换成构造函数，通过，，三类情况讨论单调性即可求解. 【详解】（1）是的极值点，故， 当时，， ， 可知是的极大值点，故， 的单调增区间为；单调减区间为. （2）由得， 易知 当时，满足题意； 当时，令， 在上单调递增，则，不符合题意； 当时， 由得，由得， 于是有在上单调递减，在上单调递增， ，所以当，，使得， 也即，使得， 综上，的取值范围是. 考点三 已知零点数量求参数问题 例1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）代入后对函数求导，利用导函数的正负求得单调区间，进而求得极大值与极小值. （2）对含参的函数求导并分类讨论其单调性，在函数存在极值的情况下，令其极小值严格大于零，从而确保三次函数的图像与轴仅有一个交点即可. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为， 极小值为， 且的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由题意得， 当时，恒成立，此时单调递增， 当时，，当时，， 由零点存在性定理可得，有且仅有1个零点，符合题意， 当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的极大值为， 因为，所以极大值恒成立， 极小值为， 若只有个零点，则有，即，即， 即，结合，解得， 综上，的取值范围为. 例2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点、、，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）可知，，，， 要证明，即证明， 即证明， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以，即成立，所以. 【分析】（1）求导，根据点斜式方程求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，根据有三个零点得到导数的分析有两个不同的正根，建立不等式组求出的取值范围，再进行验证：根据韦达定理得到两个正根的取值范围，根据导数的正负判断函数的单调性，结合及零点存在定理确定的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）得、的关系，及的值，构造，判断其在上的单调性，进而证明. 【详解】（1）当时，，所以， 又， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即； （2）（ⅰ）的定义域为， ， 因为有三个零点、、， 所以有两个不相等的正根、， 所以，解得， 当时，，， 当时，或，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，，， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 所以，即. 令，， 则，所以， 由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点， 又， 从而在上存在唯一零点，故在上有个零点， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 例3．（2026·重庆永川·模拟预测）已知关于的函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若该函数有两个不相等的零点，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为常数，当变化时，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，在单减，，在单减，在单增 (2)（i） （ii） 【分析】（1）首先确定定义域，对函数求导，根据参数的正负进行分类讨论； （2）（ⅰ）法一：先由题意确定，确定极小值，并保证极小值小于0，从而求出参数的范围，法二：构造函数，转化为与（）有两个不同的交点，作出的图象，由图可得：参数的范围；（ⅱ），结合题意进行消元，从而得到对恒成立，转化为求函数，的最大值问题，从而求出参数范围即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，此时在上单调递减， 当时，令，得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（ⅰ）法一：由（1）知，，得到在有极小值， 又时，，时，， ，，即，. 法二：函数有两个零点， 即方程有两个不同的根，即有两解， 等价于与（）有两个不同的交点， 而，则在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，则该函数有极大值， 又时，，时，，此时， 要使与（）有两个不同的交点，只需. （ⅱ）由（ⅰ）知，，且， 令，则， 即， 且，从而，. 因为恒成立，所以对恒成立. 令，，， 令，可得， 从而在上单调递增，在上单调递减， 又，，即在为正，在为负， 即在单调递增，单调递减， 得到，即. 变式1．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在区间上单调递增； (3)设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2)证明：， ，， 令，， ，，在区间上单调递增， ，，在区间上单调递减， ， ， 在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）求切点坐标，切线斜率，写出切线方程； （2）求导，利用放缩法判断导函数符号，得出结论； （3）求的表达式及导函数，变形转化为的零点，求导分析单调性，结合零点存在性定理求的取值范围 【详解】（1）当时，， ， ，， 切线方程为，即. （2）略. （3）， ， 令， 有两个不同的零点等价于有两个不同的零点， ， 令， ， 则在上单调递减，， ，，，在区间上单调递增， ，，，在区间上单调递减， ， 要使有两个不同的零点，，； ，，，， 则， 所以的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)①若，在上单调递增，在上单调递减； ②若，在和上单调递增，在上单调递减； ③若，在上单调递增； ④若，在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导后因式分解得到，依据参数的不同取值，分类讨论导数的正负，进而确定单调区间；分类分界点由有无解确定，即与，当时再分出临界点与比较大小. （2）由第(1)问单调性结论，函数要有3个零点，需要函数存在极大值、极小值，且极大值大于0、极小值小于0.先锁定参数的范围，再代入极值点，建立不等式求解的取值范围，同时结合函数在无穷远处的趋势辅助判断零点个数. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 令，得或， ①若，则，的单调性如表： − 0 + ↘ 极小值 ↗ 故在上单调递增，在上单调递减； ②若，则，的单调性如表： + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故在和上单调递增，在上单调递减； ③若，则，易得在上单调递增； ④若，则，的单调性如表： + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故在和上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）可知， 当时，在上单调递增，在上单调递减，至多有两个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 因为， 若使得有3个零点，则， 即，无解； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 若使得有3个零点，则， 即，解得且， 综上所述，的范围为且. 法二：由函数， 可得有一个零点，要使得有3个零点，即方程有2个实数根，又由方程，可化为， 令，即函数与图象有两个交点， 令，得， 的单调性如表： − − 0 + + ↘ ↘ 极小值 ↗ ↗ 所以函数在处取得极小值， 当时，，又，的大致图象如图， 由函数与图象有两个交点，根据图象可得， 所以要使得有3个零点，则实数的取值范围为. 变式3．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间与极值； (3)在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程； （2）根据导数的符号可得函数的单调区间，根据单调区间即可得极值； （3）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为，无极大值. （3）因为，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，当趋近于时，趋近于， 若函数在区间上有两个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、已知零点数量求参数问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 已知零点数量求参数问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 例2．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：. 例3．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，． (1)若有两个不同零点，，证明（为自然对数的底数）； (2)若恒成立，求的取值范围． 变式1．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式2．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，证明：； (3)若对恒成立，求实数a的取值范围． 考点二 能成立求参数问题 例1．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 例2．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知函数在和处取得极值． (1)求实数，的值； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围． 例3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 变式1．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 变式2．（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高三上·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若是的极值点，求实数的值，并求的单调区间； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 考点三 已知零点数量求参数问题 例1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若恰有一个零点，求的取值范围． 例2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点、、，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 例3．（2026·重庆永川·模拟预测）已知关于的函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若该函数有两个不相等的零点，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为常数，当变化时，若恒成立，求的取值范围. 变式1．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在区间上单调递增； (3)设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 变式2．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，求的取值范围. 变式3．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间与极值； (3)在区间上有两个零点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $