精品解析：江西南昌市南昌二十八中教育集团 2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

南昌二十八中教育集团2026-2027学年上学期期中测试卷 九年级数学 一、单选题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点坐标即可解答． 【详解】解：二次函数为， 对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：当时，， ∴与y轴交点坐标为，不是，故C说法错误，不符合题意； 选项D：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D说法正确，符合题意． 3. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 4. 已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 5. 如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）． A. 水温从20℃加热到80℃，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 接通电源后，时，水温为25℃ D. 在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 6. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（ ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用交点坐标求出的值确定解析式，再根据二次函数性质及坐标计算逐一判断四个结论． 【详解】解：把代入得， ， 解得， ． ①， ， ，故正确； ②令，得， 解得， ， ， 令，得， 解得， ， ， ，故②正确； ③令，得， ， ， 与互相垂直平分且， 四边形为正方形，故③正确； ④， ， 随的增大而减小，故④不正确． 综上所述，正确的结论有3个． 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 7. 小明在与Deepseek的对话中输入如下文字：“有没有这样一个实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”设这个实数为，经过深度思考后，Deepseek列出方程是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个实数为x，它的平方对应的代数式为， 它的3倍对应的代数式为， ∴ 列出的方程为． 8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则， ∴这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是， 故答案为：． 9. 抛物线与坐标轴有_________个交点． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算抛物线与轴、轴的交点个数，确认无重合交点后求和得到总交点数． 【详解】解：令，代入，得， 即抛物线与轴有个交点． 令，得到一元二次方程， 判别式， 该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有个不同的交点． 抛物线与轴交点不在轴上，不存在重合交点， 抛物线与坐标轴的总交点数为． 10. 若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，然后根据方程根的定义表示出，最后代入代数式即可求解． 【详解】解：∵p，q是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 11. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点在轴上，的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义以及三角形面积的等积变换，利用轴得到与面积相等是解题的关键． 连接、，设与轴相交于点，由点在反比例函数的图象上得，由轴得， 从而得，即可得，解得，由反比例函数的图象位于第二象限可知，故． 【详解】解：如图，连接、，设与轴相交于点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，点在轴上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，解得， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 13. 解方程与证明： （1）解下列方程：； （2）如图，，平分，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：平分， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据证明三角形全等即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 略 14. 抛物线上有一点， x轴上两点． （1）请用无刻度的直尺在图①作出点； （2）如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 【答案】（1）解：如图：点D即为所求． （2）解：如图：作正方形即为所求． 【解析】 【分析】（1）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点为，由点关于轴对称和抛物线关于轴对称可得关于轴对轴，利用轴对称的性质即可得到； （2）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点即为点D，可得，连接并延长分别交抛物线于F、E，利用轴对称性质可得，，然后顺次连接即可得正方形 且使E、F在上． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 15. 如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： （1）写出这一函数表达式； （2）小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】（1） （2）200度 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【小问1详解】 解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论m取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 【答案】（1）解：由题意得： ， ∴不论m取何值，该方程总有实数根 （2）的周长为5，m的值为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式，证明根的判别式大于等于0即可； （2）根据等腰三角形的定义，判断方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由题意得：b，c恰好为等腰三角形的腰， ∴即， ∴， ∴， 将代入一元二次方程得：∴， 解得：， ∴， ∴的周长为5，m的值为． 17. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【小问1详解】 解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 四、解答题（本大题共3题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，的边在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段交的图象于点，连接，，则的面积=___________． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用平行四边形的性质求出，最后用待定系数法即可得出结论； （2）联立方程组求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出的长度，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 已知， 则． 又∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵反比例函数的图象经过点， ， 解得， 则反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为． 将点代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 联立直线与反比例函数解析式： ，解得（舍去）， 所以点的坐标． 设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得， 所以直线的解析式为． 令，得， 如图，直线与轴交于点， 所以， 所以， 则， 故的面积为6． 19. 【问题背景】为美化校园，某学校打算利用一面长度为的墙，用长度为的建筑材料围建一个如图所示的面积为的矩形花园，且在与墙平行的一侧开设两扇宽度均为的门． 【建立模型】设矩形花园与墙垂直的一边长为． （1）请用含的式子表示矩形花园与墙平行的一边的长度； 【解决问题】 （2）当时，求的值； （3）矩形花园的面积能否达到？若能达到，请求出的值；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）矩形花园的面积能否达到，理由如下： 当 整理得， 此时 因此这个方程无实数根， ∴矩形花园的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）根据总材料减去2个与墙垂直的边长，再加上两扇门宽即可； （2）根据矩形面积建立方程求解，并且检验是否符合题意即可； （3）先假设能达到，然后根据判别式判断这个方程的根的情况即可． 【小问1详解】 解：由题意得，矩形花园与墙平行的一边的长度为 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得或 若，则矩形花园与墙平行的一边的长度为，不符合题意； 若，则矩形花园与墙平行的一边的长度为，符合题意 ∴； 【小问3详解】 略 20. 风筝制作技艺包括扎、糊、绘、放“四艺”，属于非物质文化遗产．如图是一个风筝，图是该风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． （1）求证：直线垂直平分线段； （2）若，， ①求的长； ②求的面积． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，判定点在线段的垂直平分线上，由，判定点在线段的垂直平分线上，从而证得直线垂直平分线段； （2）①设与交于点，根据等边三角形的性质和垂直平分的条件，求得，进而利用勾股定理求得，根据，得出，进而解直角三角形，求得，最后将和相加，即可求得； ②过点作交于点，由，得到为等边三角形，从而分别求出，再利用勾股定理求出，进而求出的面积，然后以为底，为高，求出的面积，最后将的面积和的面积相加，即可得到的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设与交于点， 直线垂直平分线段， ，且是中点． 是等边三角形， ，， ， 在中，． ， ． 在中，， ， , ． ． ②过点作交于点． 为等边三角形， ， ， ， ， 为等边三角形． 是的高，也是的中线． ，， ． ． 又， ． 五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共18分） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标； （3）在（2）的条件下，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，点的坐标为 （2）线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将A、B分别代入一次函数求出两点坐标，再把A代入反比例函数求得k，得到反比例解析式． （2）作B关于x轴对称点D，连接，与x轴交点即为P；求直线解析式，联立反比例方程，舍去A点，得另一交点． （3）求出P点坐标，利用对称转化面积，用算出面积． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为． 将点的坐标代入中，得 ， 解得， 反比例函数的解析式为． 由，知， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 分别将，代入中，得： ， 解得， 直线的函数解析式为． 联立，得方程组， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 当时，， 线段与反比例函数图象的另一个交点坐标为． 【小问3详解】 解：对于，令， 解得， 点的坐标为． 由（2）可得，． 22. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒， （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动几秒时，四边形的周长最小． 【答案】（1） （2）存在，或或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别表示出，，根据平行四边形的性质列出方程即可求解； （2）分三种情况：①当点在的右边时，②当点在的左边且在线段上时，③当点在的左边且在的延长线上时，列方程求解即可； （3）当最小时，四边形的周长最小，作点关于的对称点，连接交于，进而即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，，， ，， 点是的中点， ， 由运动知，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当点在的右边时，如图1， 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得： ； ， ②当点在的左边且在线段上时，如图2， 同①的方法得出， ③当点在的左边且在的延长线上时，如图3， 同①的方法得出，， 【小问3详解】 解：如图4，由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， 作点关于的对称点，连接交于， ， ， ， ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． （1）如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； （2）如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； （3）【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式可得抛物线顶点为．根据“共轭抛物线”的定义可得共轭抛物线的顶点为，开口大小与抛物线相同且方向相反，即可求解； （2）同（1）得出抛物线表达式为：．将点代入，根据，得出 （3）由（2）可知，抛物线，抛物线，分三种情况讨论，①当时，点在的左侧，②当时，点在之间，③当时，点在的右侧，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：； 【小问2详解】 解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：． 抛物线经过点， 解得：． 【小问3详解】 解：令得：， ∴， 由（2）可知，抛物线，抛物线， ①当时，点在的左侧， 点在点上方， ． ②当时，点在之间， 点在点上方，． ③当时，点在的右侧， 点在点上方，． 综上，与的函数关系图象如下图所示， ∴当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， 当或时，， 解得：，， 当时，， 解得： ． 方法二：由定义可知抛物线与共轭抛物线关于点成中心对称， ， 与的函数关系图象如下图所示， 当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， ， ∴ 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二十八中教育集团2026-2027学年上学期期中测试卷 九年级数学 一、单选题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 当时，随的增大而增大 3. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 5. 如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）． A. 水温从20℃加热到80℃，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 接通电源后，时，水温为25℃ D. 在一个周期内水温不低于40℃的时间为 6. 如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（ ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分） 7. 小明在与Deepseek的对话中输入如下文字：“有没有这样一个实数，先计算它的平方，再减去它的3倍，结果等于这个数？”设这个实数为，经过深度思考后，Deepseek列出方程是_________． 8. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 9. 抛物线与坐标轴有_________个交点． 10. 若p，q是方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 11. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点在轴上，的面积为，则的值为___________． 12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 13. 解方程与证明： （1）解下列方程：； （2）如图，，平分，求证：． 14. 抛物线上有一点， x轴上两点． （1）请用无刻度的直尺在图①作出点； （2）如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 15. 如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： （1）写出这一函数表达式； （2）小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明不论m取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 17. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 四、解答题（本大题共3题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，的边在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，延长线段交的图象于点，连接，，则的面积=___________． 19. 【问题背景】为美化校园，某学校打算利用一面长度为的墙，用长度为的建筑材料围建一个如图所示的面积为的矩形花园，且在与墙平行的一侧开设两扇宽度均为的门． 【建立模型】设矩形花园与墙垂直的一边长为． （1）请用含的式子表示矩形花园与墙平行的一边的长度； 【解决问题】 （2）当时，求的值； （3）矩形花园的面积能否达到？若能达到，请求出的值；若不能达到，请说明理由． 20. 风筝制作技艺包括扎、糊、绘、放“四艺”，属于非物质文化遗产．如图是一个风筝，图是该风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． （1）求证：直线垂直平分线段； （2）若，， ①求的长； ②求的面积． 五、解答题（本大题共2题，每小题9分，共18分） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标； （3）在（2）的条件下，求的面积． 22. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒， （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动几秒时，四边形的周长最小． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． （1）如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； （2）如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； （3）【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $