精品解析：江西省南昌市外国语学校教育集团2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

南昌市外国语学校教育集团2025-2026学年上学期九年级 期中学习质量检测数学学科试卷 说明： 1． 本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2． 本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. “中国制造2025”智能机械臂工作中，将绕点C逆时针旋转α得到．当机械臂处于特殊位置时，B落在延长线上且．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数的图象顶点坐标是______． 8. 若点和点关于原点成中心对称，则点在第______象限． 9. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 10. 定义 上述记号叫做2阶行列式 ．若，则______． 11. 如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为______． 12. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是______． 三 、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 15. 如图，中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出的度数和的长． 16. 在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，作圆的直径； （2）在（1）的条件下，在图2作的角平分线． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 四 、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知点与点关于原点对称，将点向右移动3个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． （1）求点，的坐标． （2）顺次连接，，，，求所得图形的面积． 19. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 20. 如图，是半径为5的的直径，点C、D是上的点，且分别与相交于点． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的长； （3）若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位． （1）若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m； （2）设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 22. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点” ． 例如都是“纵三倍点” ． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ．（填 序 号） ①；② ③． （2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式， 六 、解答题（本大题12分） 23. 【课本再现】如图1，A．B两点分别位于池塘的两端，小外想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小外想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C．连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，利用、则米． 【思维探索】在和中，，且，．将绕点A逆时针方向旋转，把点E在边上时的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的两侧）．设旋转角为，连接，点P是线段的中点，连接． （1）如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是； （2）如图3，当时，点D落在：边上，请判断与的数量关系和位置关系、并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图4，当时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校教育集团2025-2026学年上学期九年级 期中学习质量检测数学学科试卷 说明： 1． 本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2． 本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小，据此解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小， ∵， ∴， 故选：． 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 4. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 5. “中国制造2025”智能机械臂工作中，将绕点C逆时针旋转α得到．当机械臂处于特殊位置时，B落在延长线上且．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和平行线的性质是解题的关键． 利用旋转的性质得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵旋转角度， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转α得到 ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 二 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数的图象顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接运用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵函数可化为， ∴二次函数的图象顶点坐标是． 故答案为． 8. 若点和点关于原点成中心对称，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，各象限点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再判断点P所在的象限． 【详解】解：∵点和点 关于原点对称， ∴，， ∴ 在第二象限． 故答案为：二． 9. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 10. 定义 上述记号叫做2阶行列式 ．若，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，将2阶行列式化成一元二次方程是解题的关键． 根据2阶行列式的定义，将已知行列式表达式转化为关于x的一元二次方程，然后通过移项、化简和因式分解求解即可． 【详解】解：由2阶行列式的定义，得， ∵ ∴ 移项整理得，即， 因式分解得 所以或． 故答案为：或2． 11. 如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由题意可得，根据垂径定理得，再由勾股定理得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 12. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是______． 【答案】130°或100°或160° 【解析】 【分析】由旋转的性质得出BD＝AB＝BC，分三种情况：①当DA＝DC时；②当AD＝AC时；③当CA＝CD时；分别求出m的值即可． 【详解】解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC， ∵△ADC为等腰三角形， ∴分三种情况： ①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD＝（360°﹣∠ABC）＝130°， ∴m＝130； ②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°， ∴m＝100； ③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°， ∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°， ∴m＝160； 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160． 故答案为：130或100或160． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟知旋转前后的对应边对应角是解题的关键． 三 、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 14. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：，即． 【小问2详解】 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 15. 如图，中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转角度是． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识点，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）由旋转的性质可得，再由周角的性质和中点的性质求解即可． 【小问1详解】 解∵按逆时针方向旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心是点A， 根据旋转的性质和三角形内角和定理可得：， ∴旋转角度是． 【小问2详解】 解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∵C为中点， ∴． 16. 在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作图． （1）在图1中，作圆的直径； （2）在（1）的条件下，在图2作的角平分线． 【答案】（1） 如图1中，直径即为所求． （2） 如图：即为所求； 【解析】 【分析】本题考查网格中作图、圆周角定理、平行线的性质、等边对等角等知识点，利用转化的思想得到作图依据是解答的关键． （1）利用90度的圆周角（即）所对的弦是直径可画出直径； （2）如图：取圆与格线的交点D，然后连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 四 、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知点与点关于原点对称，将点向右移动3个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． （1）求点，的坐标． （2）顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】（1）， （2）20 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称变换、平移变换、中心对称变换，正确作出图形是解答的关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数列方程求解a、b即可求解； （2）根据平移性质和轴对称性质得到点C、D的位置，进而利用割补法求解图形面积即可． 【小问1详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意，，，如图， 由图可得，所得图形的面积为． 19. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． （1）某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ （2）若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】（1）款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； （2）售价应降低20元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【小问1详解】 解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 20. 如图，是半径为5的的直径，点C、D是上的点，且分别与相交于点． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的长； （3）若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：是的直径， ． ， ， ， ，即点D是的中点． （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线得性质得，然后根据垂径定理得出答案； 对于（2），先说明是的中位线，可得，即可得出答案； 对于（3），作点C关于的对称点，可得，连接，再确定点P的位置，然后求出，再根据含直角三角形的性质得，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点， ∴是的中位线， ． 又∵半径为5， ． 【小问3详解】 解：作点C关于的对称点，即交于点P，连接， ． ， 此时的值最小， ， ， ． ∵点C与关于对称， ， ，． 作交于点H， 则，则， 在中，， 根据勾股定理，得， ， 的最小值为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为的后墙，其他的边用总长的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙以南，还规划有机动车停车位． （1）若设自行车车库的宽度为xm，则车库的长度为________m； （2）设自行车车库面积为，垂直于墙的车库宽度为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （3）学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好等于，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位向南最多移动，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动． 【解析】 【分析】本题主要考查用代数式表示式、一元二次方程的应用、不等式组的应用、列函数关系式等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据题干条件可得自行车车库由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车库不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出自行车车库面积为关于车库宽度为的一次函数，再求出自变量的取值范围即可； （3）根据题意可列出不等式组，再解不等式组，然后结合实际需要进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵搭建自行车车库为矩形，车库宽度为xm，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得，车库面积为：， 由题意得到，解得， ∴． 【小问3详解】 解：有必要，理由如下： 由（1）可得： ，解得：或（不符合题意舍去）， 当时，． ∴机动车停车位向外移动． ∴有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位向外移动． 22. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点” ． 例如都是“纵三倍点” ． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 ．（填 序 号） ①；② ③． （2）已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式， 【答案】（1）①③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． （1）根据“纵三倍点”的定义，可设“纵三倍点”的坐标为，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）设交点坐标为，把代入可得交点的坐标为，再把代入可得，然后联立得：，根据抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，可得，可求出m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设“纵三倍点”的坐标为， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点” ； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上的“纵三倍点”为 或； 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象上只有一个“纵三倍点”； 故答案为：①③ 【小问2详解】 解：∵该交点是“纵三倍点”， 可设交点坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴交点的坐标为， 把代入得： ， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点， ∴， 解得：， 此时， ∴抛物线解析式为． 六 、解答题（本大题12分） 23. 【课本再现】如图1，A．B两点分别位于池塘的两端，小外想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小外想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C．连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，利用、则米． 【思维探索】在和中，，且，．将绕点A逆时针方向旋转，把点E在边上时的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的两侧）．设旋转角为，连接，点P是线段的中点，连接． （1）如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是； （2）如图3，当时，点D落在：边上，请判断与的数量关系和位置关系、并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图4，当时，若，请直接写出的值． 【答案】（1）． （2）与的数量关系和位置关系分别是．理由如下： 如图，作交延长线于点F，连接， 同（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键． （1）如图1，延长交于F，先证明可得、，再证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）如图，作交延长线于点F，连接，同（1）可得可得，再证明可得、，进而证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）如图3，作交延长线于点F，连接，过E点作交延长线于H点，同（1）可得，同（2）是等腰直角三角形，，再说明，利用直角三角形的性质可得，进而求得，从而求得的长． 【详解】解：（1）与的数量关系和位置关系分别是．理由如下： 如图1，延长交于F， ∵， ∴ ∴， ∵点P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． （2）略 （3）如图3，作交延长线于点F，连接，过E点作交延长线于H点， 当时，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为， ∴， 同（1）可得，同（2）是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $