精品解析：江西南昌市2026-2027学年度九年级上学期第一学期期中测试数学试题

2026—2027学年度第一学期期中测试卷 九年级（初三）数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内 1. 关于的一元二次方程的常数项是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数（）的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的图象如图所示，该图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤有4个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个开口向下，且经过点的抛物线所对应的二次函数解析式：__________． 8. 若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 9. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_______________． 10. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则__________． 11. 反比例函数：与反比例函数：（）在第二象限的图象如图所示，直线轴，且与双曲线，分别交于，两点，连接，．若的面积为2，则__________． 12. 如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点是该抛物线对称轴上一动点，且位于点上方，当是等腰三角形时，点坐标为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知二次函数图象的顶点为，且与轴交于点． （1）求该二次函数解析式； （2）当函数值时，请直接写出自变量的取值范围． 15. 为建设书香校园，某校举办图书义卖活动，规划在一块长，宽的矩形场地搭建9个全等的矩形义卖摊位．为方便师生通行，场地内部留有宽度相等的通道，如图所示，若摊位总占地面积为，求通道的宽度． 16. 如图，抛物线经过点．请仅用无刻度直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出该抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一点，在图2中作出点关于抛物线对称轴的对称点． 17. 某数学小组在学习了函数的相关知识后，对函数展开了如下探究． （1）探究1函数的自变量的取值范围是__________； （2）探究2该函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示： … … … … ①根据以上信息可知，__________； ②请在图的平面直角坐标系中将该函数图象补充完整，并写出它的一条性质：___________________； 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，于点，，，边，的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：； （2）求四边形的周长． 19. 今年十一黄金周，本地旅游热度高涨，素有“新豫章十景”之称的安义古村群吸引了众多游客．古村内某民宿有40间客房可供游客居住，当每间客房定价为170元时，每天都能住满，民宿对每一间入住的客房，每天需要支出50元的运营成本．经市场调研：每间客房定价在200元至300元范围内（含200元，300元）调整时，房价每提高10元，日均入住客房减少1间，设每间客房每天的定价提高元（是10的整数倍）． （1）当房间的定价为230元时，当日可租出客房__________间； （2）若该民宿客房当日总利润为5760元，求民宿当日客房定价； （3）设该民宿客房每日总利润为（元），求每日总利润的最大值． 20. 如图，直线（）与反比例函数（）的图象交于和两点． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集：_______________； （3）将直线向下平移，当直线与反比例函数图象只有一个公共点时，求直线平移的距离． 五、解答题（本小题10分） 21. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点，的抛物线与轴的另一个交点为点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）点是抛物线上位于直线下方的点，连接，，设点的横坐标为． ①请用含的式子表示的面积． ②过点作于点，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中测试卷 九年级（初三）数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内 1. 关于的一元二次方程的常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程的常数项为． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 3. 已知点在反比例函数（）的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知点坐标求出比例系数，再通过横纵坐标乘积是否等于判断各点是否在函数图象上． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该反比例函数上的点满足， A、B、D选项的横纵坐标乘积均为，不等于，不符合， C选项，符合． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出关于的不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即. ∵方程有实数根， ∴. ∴. 解得. ∴的取值范围是且. 5. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，且一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即交点坐标为． 6. 已知抛物线的图象如图所示，该图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤有4个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴公式和与y轴的交点位置可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数可判断②；由对称性可得该图象经过点，据此可判断③；根据当时，，可判断④；根据抛物线与直线有两个交点，抛物线与直线也有两个交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵该图象经过点， ∴由对称性可知该图象经过点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②错误 ∵该图象经过点， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，， ∴，故④错误； ∵抛物线与y轴的交点在点上方， ∴抛物线与直线有两个交点， 又∵抛物线与直线也有两个交点， ∴有4个不相等的实数根，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个开口向下，且经过点的抛物线所对应的二次函数解析式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下的性质确定二次项系数的符号，结合抛物线经过的定点确定常数项取值，构造符合要求的二次函数解析式即可． 【详解】解：抛物线开口向下， 二次项系数小于0. 设满足条件的二次函数解析式为， 抛物线经过点， 将代入解析式，可得， 符合条件的一个二次函数解析式为（答案不唯一）. 8. 若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据题意可得且，求出结果即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 9. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为_______________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的规则，按给定的平移顺序逐步代入计算即可． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”的变换规则， 将原抛物线向右平移1个单位长度时，得到对应解析式为 将上述抛物线再向下平移2个单位长度得到， 故所得抛物线的函数解析式为． 10. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则__________． 【答案】2027 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，再代入目标代数式计算即可 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∴． ∴． 11. 反比例函数：与反比例函数：（）在第二象限的图象如图所示，直线轴，且与双曲线，分别交于，两点，连接，．若的面积为2，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线l与x轴交于点E，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线l与x轴交于点E， ∵直线轴，且与双曲线，分别交于，两点， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴， ∴． 12. 如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点是该抛物线对称轴上一动点，且位于点上方，当是等腰三角形时，点坐标为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据抛物线的图象和性质，求出顶点的坐标，点；设点，根据等腰三角形的性质，分类讨论，进行解答，即可． 【详解】解：抛物线转换为顶点式为：， ∴顶点的坐标为， 当时，解得，， ∴点，即， ∵点是该抛物线对称轴上一动点，且位于点上方， ∴设点 ①当时，是等腰三角形， ∵，点， ∴； ∵，点， ∴， ∴， 解得：， ∴点； ②当时，是等腰三角形， 此时点和点关于轴对称， ∴点； ③当时，是等腰三角形， ∵，点， ∴； ∵点，点， ∴， ∴， 解得：， ∴点， 综上所述：是等腰三角形时，点坐标为；；． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解： ， ，． 【小问2详解】 解： ，，， ． ． 即，． 14. 已知二次函数图象的顶点为，且与轴交于点． （1）求该二次函数解析式； （2）当函数值时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）因为已知二次函数的顶点坐标，所以优先选用二次函数的顶点式设出函数解析式．因为函数图象经过与y轴的交点，所以将该点坐标代入顶点式，求解出未知的二次项系数，即可得到完整的二次函数解析式； （2）因为要求时x的取值范围，所以先令函数值等于1，求解对应的x的两个根，再结合二次函数的开口方向，确定满足不等式的x的范围． 【小问1详解】 解：设该二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ． 【小问2详解】 解：二次函数中，，抛物线开口向上． 令，代入解析式得， 解得，． 开口向上的抛物线，函数值的部分对应图象在直线与抛物线的两个交点的外侧， 因此x的取值范围是或． 15. 为建设书香校园，某校举办图书义卖活动，规划在一块长，宽的矩形场地搭建9个全等的矩形义卖摊位．为方便师生通行，场地内部留有宽度相等的通道，如图所示，若摊位总占地面积为，求通道的宽度． 【答案】通道的宽度为 【解析】 【分析】设通道的宽度为，用含的式子表示出摊位所占部分的长与宽，再根据摊位的总占地面积列出一元二次方程，解方程后检验所得的值是否符合实际意义． 【详解】解：设通道的宽度为， ， 解得，， 当时，，不符合题意，故舍去． 答：通道的宽度为． 16. 如图，抛物线经过点．请仅用无刻度直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出该抛物线的对称轴； （2）点是抛物线上一点，在图2中作出点关于抛物线对称轴的对称点． 【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求 【解析】 【分析】（1）设抛物线与轴的交点为，记抛物线与轴的交点分别为，连接得两线段的交点，延长得其交点，过两个交点的直线即为对称轴； （2）连接交对称轴于，连接并延长交抛物线于，则即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某数学小组在学习了函数的相关知识后，对函数展开了如下探究． （1）探究1函数的自变量的取值范围是__________； （2）探究2该函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示： … … … … ①根据以上信息可知，__________； ②请在图的平面直角坐标系中将该函数图象补充完整，并写出它的一条性质：___________________； 【答案】（1） （2）①2；②如图， 性质：该函数图象关于直线对称（答案不唯一）； 【解析】 【分析】（1）根据分母不等于零列式求解即可； （2）①把代入计算即可； ②结合表格中的数据利用描点法画出函数图象，然后根据图象写出函数的一条性质即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：①把代入，得 ， 即； ②图象略； 性质：该函数图象关于直线对称； 或当时，随的增大而减小； 或当时，随的增大而增大； 或该函数图象在轴上方． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在四边形中，于点，，，边，的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：； （2）求四边形的周长． 【答案】（1） ， ， 由勾股定理得，， ，． ， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）因为，所以四个小三角形均为直角三角形，可利用勾股定理分别表示、、、，通过等式变形完成第（1）问的证明． （2）结合第（1）问的结论，代入已知的、长度，计算的数值．因为、是给定一元二次方程的两个实数根，所以可利用韦达定理得到与关于的表达式，再结合完全平方公式，联立的数值求解．得到的值后，确定的长度，再结合已知的、长度，计算四边形的周长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ，的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ，． ． ，解得或（舍去）． ． ∴四边形的周长为． 19. 今年十一黄金周，本地旅游热度高涨，素有“新豫章十景”之称的安义古村群吸引了众多游客．古村内某民宿有40间客房可供游客居住，当每间客房定价为170元时，每天都能住满，民宿对每一间入住的客房，每天需要支出50元的运营成本．经市场调研：每间客房定价在200元至300元范围内（含200元，300元）调整时，房价每提高10元，日均入住客房减少1间，设每间客房每天的定价提高元（是10的整数倍）． （1）当房间的定价为230元时，当日可租出客房__________间； （2）若该民宿客房当日总利润为5760元，求民宿当日客房定价； （3）设该民宿客房每日总利润为（元），求每日总利润的最大值． 【答案】（1）34 （2）民宿当日客房定价为210元 （3）当每个房间的定价提高130元时，每日总利润的最大值为6750元． 【解析】 【分析】（1）根据房价每提高10元，日均入住客房减少1间列式即可； （2）根据该民宿客房当日总利润为5760元列方程求解即可； （3）根据题意列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：当房间的定价为230元时，当日可租出客房（间）； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得或． 当时，，不符合题意，故舍去． ，此时定价为（元）． 答：民宿当日客房定价为210元； 【小问3详解】 解：由题意得，， ． ， ∴当时，有最大值，为6750元． 答：当每个房间的定价提高130元时，每日总利润的最大值为6750元． 20. 如图，直线（）与反比例函数（）的图象交于和两点． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）直接写出关于的不等式的解集：_______________； （3）将直线向下平移，当直线与反比例函数图象只有一个公共点时，求直线平移的距离． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法先求解反比例函数解析式，进而可得，再进一步求解一次函数解析式即可； （2）根据图象可得不等式的解集； （3）设直线向下平移个单位长度，则平移后的直线解析式为，可得，且该方程，即，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得， ． 将代入得，， ． 将和代入得， 解得， ． 【小问2详解】 解：根据图象可得关于的不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：设直线向下平移个单位长度，则平移后的直线解析式为． 联立得，， 消去得， 整理得， ∵平移后的直线与反比例函数图象只有一个公共点， ∴该方程，即， 解得． 两个根均符合题意，因此平移的距离为或． 五、解答题（本小题10分） 21. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点，的抛物线与轴的另一个交点为点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）点是抛物线上位于直线下方的点，连接，，设点的横坐标为． ①请用含的式子表示的面积． ②过点作于点，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由直线解析式求出点，的坐标，再用待定系数法求出抛物线所对应的函数解析式； （2）①过点作轴交直线于点，把分割为两个以为底的三角形，用含的式子表示的长，进而表示出的面积；②根据面积的两种求法得到关于的二次函数，再配方求其最大值． 【小问1详解】 解：由可得，， 将，代入得， 解得， ； 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴点的坐标为， 过点M作轴交于点，交轴于点，过点作于点，如图所示， ∴点的坐标为， ∵点在点上方， ， ， ， ， ， ； ②，， ， 于点， ， ， ∴当时，取得最大值，为． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及三角形面积的求法，利用平行于坐标轴的线段把三角形的面积转化为关于的二次函数，再配方求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $