29.1.2 过三点的圆（高频考点讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.1.2 过三点的圆 学习目标和重难点 1、经历过一点、两点、三点作圆的探究过程，理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”。 2、会用尺规作过不在同一直线上的三点的圆，了解三角形外接圆和外心的概念。 3、知道同一直线上的三点不能作圆，初步体会反证法的思路。 重点：不在同一直线上的三点确定一个圆；过不在同一直线上的三点作圆；三角形外接圆与外心的概念。 难点：理解“确定”包含“存在且唯一”；把作圆问题转化为找圆心；认识共线三点不能作圆并初步理解反证法。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 确定圆的条件 题型02 反证法证明中的假设 题型03 用反证法证明命题 题型04 三角形外接圆与网格问题 题型05 求特殊三角形外接圆的半径 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一 确定圆的条件（过三点的圆） 1.确定一个圆的条件 核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ①过一个点：能作无数个圆（圆心不定）。 ②过两个点：能作无数个圆（圆心在这两点连线段的垂直平分线上）。 ③过不在同一条直线上的三个点：能作一个且只能作一个圆。 作法：分别作两条线段（如AB、BC）的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离即为半径。 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆只有一个 图形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 拓展：点在圆内，；点在圆外，. 【针对训练】 【典例】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 知识点二 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2.三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的内部（如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的外部（如图3）。 【针对训练】 【典例】根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ） A．B．C D． 【变式训练】如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（ ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 知识点三 反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 【针对训练】 【典例】用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 【变式训练】用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 高频考题典例精析 题型01 确定圆的条件 【例1】已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 【变式训练1】如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则___________．（填“”， “”，“”） 题型02 反证法证明中的假设 【例2】用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【变式训练2】用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 题型03 用反证法证明命题 【例3】用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 【变式训练3】如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 题型04 三角形外接圆与网格问题 【例4】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【变式训练4】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 题型05 求特殊三角形外接圆的半径 【例5】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 1．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 3．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 6．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 7．用反证法证明“在同一平面内，两条不重合的直线a、b最多有一个交点”时，应假设____________． 8．要说明命题“若，则”是假命题，任意写出一个反例a的值：__________． 9．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 10．如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 11．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 12．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 13．如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 16．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 17．在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 19．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 20．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 21．已知：如图，为的中线，，．求证：的外接圆的半径等于． 22．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 23．已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 24．如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知，则________． 26．如图，在正方形 中，，点 是平面内任意一点，且满足，点 是 的三等分点（），连接 ，则线段 的最大值为______，最小值为______． 27．如图，等边三角形边长为5，边上有一点D，，E为内一点，，以为边长向下作等边三角形，连，若在射线上存在一点H，且，当______时，最小值，此时______． 28．综合与探究 问题情境：如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，，线段分别与线段，交于点，，线段与交于点． (1)推理证明：求证：； (2)拓展延伸：在旋转过程中，当时，探究下列问题． ①如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②已知，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，请直接写出线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 过三点的圆 学习目标和重难点 1、经历过一点、两点、三点作圆的探究过程，理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”。 2、会用尺规作过不在同一直线上的三点的圆，了解三角形外接圆和外心的概念。 3、知道同一直线上的三点不能作圆，初步体会反证法的思路。 重点：不在同一直线上的三点确定一个圆；过不在同一直线上的三点作圆；三角形外接圆与外心的概念。 难点：理解“确定”包含“存在且唯一”；把作圆问题转化为找圆心；认识共线三点不能作圆并初步理解反证法。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 确定圆的条件 题型02 反证法证明中的假设 题型03 用反证法证明命题 题型04 三角形外接圆与网格问题 题型05 求特殊三角形外接圆的半径 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一 确定圆的条件（过三点的圆） 1.确定一个圆的条件 核心定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ①过一个点：能作无数个圆（圆心不定）。 ②过两个点：能作无数个圆（圆心在这两点连线段的垂直平分线上）。 ③过不在同一条直线上的三个点：能作一个且只能作一个圆。 作法：分别作两条线段（如AB、BC）的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离即为半径。 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆只有一个 图形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 拓展：点在圆内，；点在圆外，. 【针对训练】 【典例】下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 知识点二 三角形的外接圆与外心 1.三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2.三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的内部（如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的外部（如图3）。 【针对训练】 【典例】根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 【变式训练】如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（ ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 知识点三 反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 【针对训练】 【典例】用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时， 第一步应先假设三角形的三个内角都小于， 故选：C． 【变式训练】用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 高频考题典例精析 题型01 确定圆的条件 【例1】已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A、B、C三点不能确定一个圆， ∴A、B、C三点共线， ∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等； 故答案为（答案不唯一）． 【变式训练1】如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则___________．（填“”， “”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了过确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆． 【详解】解：如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然．， 故答案为：． 题型02 反证法证明中的假设 【例2】用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（   ） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 【变式训练2】用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 题型03 用反证法证明命题 【例3】用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 【变式训练3】如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，反证法．熟练掌握平行四边形的判定与性质，反证法是解题的关键． 如图，连接，假设和互相平分，则四边形是平行四边形，，由不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确，进而结论得证． 【详解】证明：如图，连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾，故假设不成立，原命题正确， ∴和不可能互相平分． 题型04 三角形外接圆与网格问题 【例4】如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 【变式训练4】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 题型05 求特殊三角形外接圆的半径 【例5】如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【变式训练5】在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 1．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 2．如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 3．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（    ） A． B．13 C．26 D．24 【答案】A 【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：三角形外心是其三边垂直平分线的交点，故由作图方法可知只有C选项符合题意． 5．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 6．如图，边长均为的个正方形，、、三点在圆上，则圆的半径为________． 【答案】 【分析】作出解图的辅助线，确定圆心O，设，利用勾股定理得到，即，解方程得到，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点Q，交的延长线于点P，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O， 4个正方形的边长均为2， ，，， 设，则， ，即， ， 即， 解得，即， ， ． 7．用反证法证明“在同一平面内，两条不重合的直线a、b最多有一个交点”时，应假设____________． 【答案】两条不重合的直线、至少有两个交点 【分析】反证法的核心步骤是在原命题的条件下否定结论，本题需准确推导“两条直线最多有一个交点”的矛盾表述． 【详解】解：反证法的第一步是在原命题的条件下，假设原结论不成立，即写出原结论的反面． 原命题的前提为“在同一平面内，两条不重合的直线、”，原结论“最多有一个交点”指两条直线的交点个数为0或1． 否定该结论，即交点个数大于或等于2，对应表述为“两条不重合的直线、至少有两个交点”，这就是反证法需要作出的假设． 8．要说明命题“若，则”是假命题，任意写出一个反例a的值：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】举反例需满足命题的题设条件，但不满足命题的结论，据此选取符合要求的值即可． 【详解】解：当时，，满足题设的条件，但此时，不满足结论的要求， 则可作为说明原命题为假命题的反例． 9．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【答案】①④②③ 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此即可解答． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 10．如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)如图所示 (2)5 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据勾股定理，得， ∴， 所以的外接圆的半径是5． 11．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， ， 所以点是△的外心． 12．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 13．如图，四边形为平行四边形，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定，由作图可知，进而可得，再根据三角形内角和定理可得，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴的长． 14．如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，作于，连接，如图，先确定，则垂直平分，则可判断点在上，再根据可判定与圆相切；接着利用可判断圆心不是与的交点；然后根据四边形为的内接矩形可判断与的交点是圆的圆心． 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 15．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 16．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中，， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 17．在中，，，，则此三角形的外接圆的半径长为____________． 【答案】 【分析】先通过三边的平方关系判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形外接圆的直径等于斜边长的性质计算半径． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ． ∴ 由勾股定理的逆定理可得，是直角三角形，且． ∵ 圆周角为直角时，其所对的弦为圆的直径， ∴ 直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等． ∴ 外接圆半径为． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径． 【详解】解：如图，点即为圆心， 由网格可知，， ∴的外接圆的半径为． 19．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【答案】9 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 20．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 【答案】2 【分析】取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2． 21．已知：如图，为的中线，，．求证：的外接圆的半径等于． 【答案】证明：∵是的中线，， ∴， ∴是等边三角形， ∴是的外接圆的直径， ∴的外接圆的半径为． 【分析】利用三角形中线的性质以及等边三角形的判定方法得出是等边三角形，进而得出，求出，即可得出答案． 【详解】略 22．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 23．已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先求得抛物线对称轴为，开口向上，点离对称轴越远函数值越大，且恒大于，A取反例，两点在对称轴右侧，由右侧随增大而增大得，判定A错误；B要恒成立需所有到轴距离均大于，时满足该条件，则无法保证，判定B正确；C取反例，离对称轴更远得，与结论矛盾，判定C错误；D取反例，满足但，与结论矛盾，判定D错误． 【详解】解：∵抛物线 ， ， ∴抛物线开口向上，对称轴为 ， 又∵ ， ， ∴， 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，同时在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大， 对于A：取 ，此时 ， ，两点都在对称轴右侧， 随增大而增大，得，故A错误，该选项不符合题意； 对于B：要使恒成立，需保证所有满足条件的，到对称轴的距离都大于所有到对称轴的距离， 当时：，所有都在对称轴左侧，且到对称轴的距离都大于； 在到之间，结合，任意到对称轴的距离恒大于任意到对称轴的距离， 因此所有离对称轴更远，恒成立， 反之，若，则会出现离对称轴更远的情况，无法保证， 因此“若，则”成立，故B正确，该选项符合题意； 对于C：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都大于，到对称轴的距离都小于， 根据开口向上“距离越远值越大”的规律，可得与结论矛盾，故C错误，该选项不符合题意； 对于D：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都小于，到对称轴的距离都大于，因此<，但此时，与结论矛盾，故D错误，该选项不符合题意． 24．如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 25．已知，则________． 【答案】 【分析】取的中点，根据题意得，由此得出点在以点为圆心，为半径的上，根据圆内接四边形对角互补证得，从而解出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∴ ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 延长交于点，连接， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．如图，在正方形 中，，点 是平面内任意一点，且满足，点 是 的三等分点（），连接 ，则线段 的最大值为______，最小值为______． 【答案】 【分析】如图所示：连接，交于点，过作于， 证明共圆，当过圆心时，最大，如图，当三点共线时，，此时最小，进一步求解可得答案． 【详解】解：如图所示：连接，交于点，过作于， ∵四边形 是正方形，， ∴，，，， ∴，共圆， ∴， 当过圆心时，最大， ∵，， ∴， ∵点 是 的三等分点（）， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； 如图，当三点共线时，，此时最小， ∵， 同理：，， ∴， ∴的最小值为：． 27．如图，等边三角形边长为5，边上有一点D，，E为内一点，，以为边长向下作等边三角形，连，若在射线上存在一点H，且，当______时，最小值，此时______． 【答案】 【分析】由题意易得，，然后可得，则有四点共圆，要使的值为最小，则需满足的长为最小，进而问题可求解． 【详解】解：∵是边长为5的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， 如图所示： 要使的值为最小，则需满足的长为最小， ∴当时，的长为最小，此时， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 28．综合与探究 问题情境：如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，，线段分别与线段，交于点，，线段与交于点． (1)推理证明：求证：； (2)拓展延伸：在旋转过程中，当时，探究下列问题． ①如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②已知，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：，是的中线， ，，，     绕点顺时针旋转得到， ，，     ，，     ， 在和中， ， ； (2)①解：， 理由如下： ，是的中线， ，     绕点顺时针旋转得到， ，， ， ∵， ， ， ， 四边形是平行四边形，     ， 是菱形， ； ②线段的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出，结合图形得到，运用“角边角”即可求证； （2）①根据旋转得到，由平行线的判定得到，可证四边形是菱形，由此即可求解； ②证明在以为圆心，为半径的圆上，即图中的，可得四边形为矩形，可得当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，当，则一定过点，不符合题意；只有或，此时三点共线，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上，即图中的， ∴， ∴四边形为矩形， ∴当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时， 当，则一定过点，不符合题意； ∴只有或， 此时三点共线， 如图所示，当点在线段上时，，且点G在线段上，过点作于点， ， ∵， ， ，， ∴，， 设，， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时， . 综上所述，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $