29.1.2 过三点的圆（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“过三点的圆”核心知识点，从过一点、两点作圆的探究切入，逐步过渡到不在同一直线上三点确定一个圆的关键结论，进而延伸至三角形外接圆、外心概念及性质，最后结合反证法完成共线三点不能作圆的证明，构建完整知识支架。 资料通过作图探究培养几何直观（数学眼光），分题型例题强化推理能力（数学思维），坐标系求圆心等拓展提升应用意识（数学语言）。课中辅助教师突破重难点，课后随学随练与易错提醒帮助学生查漏补缺，有效巩固知识。

第二十九章 圆 29.1.2过三点的圆 课标要点 1.通过作图探究，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上三点作圆的方法。 2.认识三角形的外接圆、外心的概念，理解外心是三角形三边垂直平分线的交点，掌握锐角、直角、钝角三角形外心的位置规律。 3.对比过一点、两点、三点作圆的不同情况；了解反证法的基本思路，能用反证法完成简单说理。 学习重难点 重点： 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.三角形外接圆、外心概念，外心到三角形三个顶点距离相等的性质。 难点： 1.理解“不在同一直线上”这个前提，共线三点不能确定圆。 2.利用外心性质进行线段长度计算。 3.反证法的推理逻辑与基本证明步骤。 知识点 过三点的圆 一、过点作圆的探究 1.过一个点作圆：可以作无数个圆，圆心可以是平面内除该点以外任意一点。 2.过两个点作圆：可以作无数个圆，圆心分布在这两点连线的垂直平分线上。 3.过三个点作圆 条件1：不在同一条直线上的三个点，确定唯一的一个圆。 条件2：如果三个点在同一条直线上，不能作出经过这三点的圆。 关键词：“不在同一直线上”不能省略，是定理的必要前提。 二、三角形的外接圆与外心 1.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2.内接三角形：这个三角形叫做圆的内接三角形。 3.外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等(距离就是外接圆半径)。 三、反证法 1.适用场景：直接证明不好证的命题，例如证明“过同一直线上三点不能作圆”。 2.反证法三步流程： ①反设：假设命题的结论不成立； ②归谬：从假设出发，经过推理，推出与已知、公理、定理矛盾的结果； ③结论：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题正确。 易错提醒 1.“三点确定一个圆”说法错误，必须强调不在同一直线上； 2.外心是三边垂直平分线交点，不是角平分线交点(角平分线交点是内心); 3. 直角三角形外接圆半径斜边，常考计算； 4.反证法第一步一定要否定结论，不能否定条件。 随学随练 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 3．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 【答案】 解：先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作． 则即为所求． 【分析】先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作即可． 【详解】略 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 【答案】证明：假设中没有内角小于或等于． 即，，． ． 这与三角形的内角和为矛盾， ∴该假设不成立． 中至少有一个内角小于或等于． 【分析】假设中没有内角小于或等于，根据三角形内角和定理得出矛盾，即可解答． 【详解】略 拓展 已知圆上三点，求圆心的位置 已知圆上三个点：P1，P2，P₃ 1.选两条弦：优先选有水平/竖直的弦，计算最快(纵坐标相等→水平弦；横坐标相等→竖直弦) 2.求第一条弦的中点，写出它的垂直平分线； ①弦水平(y相同):垂直平分线=过中点的竖直线x=中点横坐标 ②弦竖直(x相同):垂直平分线=过中点的水平线y=中点纵坐标 3.求第二条弦的垂直平分线； 4.联立两个垂直平分线方程，解方程组，交点就是圆心M； 5.验算：圆心分别到三个点距离要相等，得到半径r。 两种快速简化场景(考试高频) 1.两点纵坐标一样(水平弦)：垂直平分线直接写竖直线，不用算斜率! 2.两点横坐标一样(竖直弦)：垂直平分线直接写水平线，不用算斜率! 尽量优先挑水平、竖直弦，可以大幅减少计算量。 活学活用 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为________； (2)若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 圆心D如图所示； (2) 解：点E在内部；理由： 由勾股定理得半径为：； ，而， 故点E在内部． 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）利用勾股定理求出，与求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【答案】(1) 分别作边的垂直平分线，相交于点 (2)点在圆外 (3) 【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）用勾股定理分别求出，，比较即可； （3）取中点P，连接，最小覆盖圆的半径为的长，用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 略 （2）∵， ∴ 由图可得： ∴ ∴ ∴点在圆外； （3）取中点P，连接， 最小覆盖圆的半径为的长， ∴ 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)圆心M的坐标为 ；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1) 解：画图如下： 由图可知：圆心M的坐标为； (2) 解：圆的半径, 线段， 点D在外． 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）求出的半径，的长即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 题型一 三角形外接圆概念辨析 ▌例1（26-27九年级上·北京·课后作业）对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． ▌对点练1-1．（25-26九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， ▌对点练1-2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．经过三点一定可以作圆 B．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角一定相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．三角形的外心到三角形各边距离相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的相关定义， 根据圆的基本性质、圆周角定理和垂径定理等知识判断各选项的正确性． 【详解】解：∵三点共线时无法作圆，∴A错误； ∵在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，∴B正确； ∵当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴C错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到各顶点距离相等，但到各边距离不一定相等，∴D错误． 故选：B． ▌对点练1-3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型二 求三角形外心的坐标 解题贴士 已知三角形三个顶点坐标：A(,),B(,),C(,) 1.选取两条边(两条弦) 优先选水平线段(y相同)、竖直线段(x相同),计算最快。 2.分别求这两条边的垂直平分线方程 如果边是水平(两点纵坐标相等): 中点横坐标：垂直平分线是竖直线：x=中点横坐标 如果边是竖直(两点横坐标相等): 中点纵坐标：垂直平分线是水平线：y=中点纵坐标 普通斜线段： ①求线段中点；②求线段斜率；③垂直平分线斜率是它的负倒数；④写直线解析式。 3.联立两条垂直平分线方程，解二元一次方程组方程组的解(x,y)，就是外心坐标。 4.检验(必做，防止算错) 外心到A、B、C三点距离要相等(距离平方相等即可，不用开根号)。 ▌例2 （25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． ▌对点练2-1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，通过求三边垂直平分线的交点得到圆心坐标是解题的关键． 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如图所示： 分别作出与的垂直平分线交于点，则的横坐标为4，纵坐标为4， ∴△ABC的外接圆的圆心坐标为 故答案为：． ▌对点练2-2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． ▌对点练2-3．（25-26九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 解题贴士 1.先判断三角形类型 ①直角三角形找斜边边，最快。 ②等边三角形直接套 ③普通等腰三角形：勾股列方程，或者坐标系求外心再算距离。 2.直角优先!看到直角，立刻找斜边。 3.等腰非直角：外心在底边的垂直平分线上，设R勾股建方程是主流初中考法。 4.算出后检验：外心到三个顶点距离相等。 ▌例3（25-26九年级上·辽宁沈阳·周测）边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. ▌对点练3-1．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． ▌对点练3-3．直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是_____． 【答案】或6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半． 分为两种情况，①当斜边是12时，②当两直角边是5和12时，求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当斜边是12时，直角三角形的外接圆的半径是； ②当两直角边是5和12时，由勾股定理得：斜边为， 直角三角形的外接圆的半径是； 故答案为：或6． ▌对点练3-4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为_______，内切圆的半径为_______． 【答案】 5 2 【分析】此题考查三角形的内切圆，解一元二次方程．先解一元二次方程可得和的长，根据勾股定理计算的长，进而解答即可． 【详解】解：∵和的长分别是一元二次方程的两根， 可得：， 解得或8， 不妨设， ∴，， ∵， ∴， 设圆O切于D，切于F，切于E，内切圆的半径为，连接、， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得，， ∴，即， ∴， ∴的外接圆的半径为5，内切圆的半径为2， 故答案为：5；2． 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 ▌例4（25-26九年级上·浙江温州·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C ▌对点练4-1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 ▌例5 （25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆； （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图中，画出的外心O，则的半径为______； (2)在图中，画出的内心P，则的半径为______． 【答案】(1)如图，点O为的外心； (2)如图，点P即为所求，1 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求；运用勾股定理求出，从而可求出的半径； （2）取格点E，F，作射线，交于点P，点P即为所求，运用面积关系可求出的半径． 【详解】（1）解：∵， ∴的半径； 故答案为：； （2）解：设的半径为r，则：， ∴， 解得：， ∴的半径为1， 故答案为：1． ▌对点练5-2．（2025·河南濮阳·一模）如图，在的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，的顶点，，均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图中作出的外接圆的圆心； (2)将图中的圆心标记在图的相应位置并求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) 略 (2) 如图所示 ． 【分析】本题考查了网格作图与扇形面积计算，综合运用了三角形外心的性质、勾股定理、扇形面积公式等知识，掌握垂直平分线的作图原理、直角三角形的判定方法以及不规则图形面积的转化技巧是解题的关键． （1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如和），分别作出它们的垂直平分线，相交的一点即的外接圆的圆心； （2）先根据勾股定理求出，再根据勾股逆定理证出为直角三角形，最后根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 由图得，． ∵，即， ∴为直角三角形，， ∴． ▌对点练5-3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 【答案】(1) 如图，点O即为所求； (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 题型六 尺规作图确定圆心 解题贴士 已知：一个圆(没有标出圆心) 求作：该圆的圆心 1.在圆上任取三个不同的点A、B、C；连接AB、BC,得到两条弦。 2.作弦AB的垂直平分线： ①分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧,，两弧在线段AB两侧分另相文; ②过两组交点画直线，就是弦AB的垂直平分线。 3.作弦BC的垂直平分线： 同理，分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，画出BC的垂直平分线。 4.两条垂直平分线的交点，即为圆心O。 补充：也只画两条弦即可，不需要第三个点连线；圆上取A、B、C三点目的是得到两条弦AB、BC。 ▌例6（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，为锐角三角形．请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图： 【详解】解：根据题意，作的外接圆，在上取一点P，则． ▌对点练6-1．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知，． (1)求作一点，使以为圆心的圆经过三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)若为，为，求的半径． 【答案】(1) 如图所示： (2)的半径为5． 【分析】本题主要考查三角形外接圆，圆的有关概念以及勾股定理和垂直平分线的作法，掌握三角形外接圆的画法和其性质是解题的关键． （1）根据题意画的外接圆，即先画三条边的垂直平分线，其交点为圆心，以为半径作圆即可； （2）先根据勾股定理求出，即可求出半径的值． 【详解】（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∵令的半径为， ∴． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型七 求能够确定的圆的个数 ▌例7 （25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． ▌对点练7-1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． ▌对点练7-2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 题型八 反证法证明中的假设 ▌例8 （25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（     ） A．这五个正数中只有一个数大于或等于 B．这五个正数中至多有一个数大于或等于 C．这五个正数中没有一个数大于或等于 D．这五个正数中都大于或等于 【答案】C 【详解】解：用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时， 应先作出的假设为这五个正数中没有一个数大于或等于． ▌对点练8-1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． ▌对点练8-2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【答案】C 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． ▌对点练8-3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需要假设原命题结论不成立，原命题结论为“是负数”，即， ∴假设结论不成立，即为不是负数，可得． 题型九 用反证法证明命题 解题贴士 四步标准解题步骤 1.反设(作出假设)假设命题的结论不成立。 关键点：只否定结论，条件保持不变；注意量词的正确否定(至少、至多、都等)。 2.推理 从这个假设出发，结合已知条件、定义、定理、公理，一步步进行推导。 3.导出矛盾 推导出矛盾结果。矛盾来源三类： ①和题目已知条件矛盾 ②和已经学过的公理、定理、事实矛盾(三角形内角和、垂径定理等) ③自相矛盾 4.得出结论 因为出现矛盾，说明假设是错误的，因此原命题的结论成立。 ▌例9（26-27八年级上·全国·课后作业）求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数． 【答案】 证明：假设整数不是偶数，则是奇数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴是整数， ∴是奇数，即是奇数， 这与已知“的平方是偶数”矛盾，故假设不成立， ∴整数必为偶数． 【分析】根据反证法，假设整数不是偶数，则是奇数，设（为整数），求出解答即可； 【详解】略 ▌对点练9-1．（26-27八年级上·全国·课后作业）求证：在一个三角形中，如果有两条边不相等，那么它们所对的角也不相等． 【答案】 已知：在中，， 求证：． 证明： 假设， ∵ 等角对等边， ∴ 这与已知矛盾，故假设不成立 ∴， 即在一个三角形中，如果有两条边不相等，那么它们所对的角也不相等． 【分析】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的判定得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】略 ▌对点练9-2．（25-26七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 【答案】(1)已知：在中，， 求证：， 证明：过点A作于点D， 则， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明∶假设不成立，则有， (1)假设，则，与矛盾， ∴不成立； (2)假设， 过A作，D在线段内， 则， ∵，， ∴， 这是和矛盾的， ∴不成立， ∴只能． 【分析】（1）根据题意写出已知，求证，然后过点A作于点D，证明，即可得出． （2）利用反证法证明即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． ▌对点练9-3．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 基础通关 1．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 2．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 5．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 6．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（     ） 甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】甲的作法：先连接，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断甲的作法正确；乙的作法：先连接，再利用中点的性质和作法得出，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断乙的作法正确． 【详解】解：甲的作法： 如图，连接， ， ． 点O为中点， ， 点O是的外心， 甲的作法正确； 乙的作法： 如图，连接， 点O为中点， ． 由作法可知，， ， 点O是的外心， 乙的作法正确． 7．（25-26七年级下·山东临沂·期末）举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 8．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得 ， 解得 ，． 当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去； 当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，， 所以三角形为直角三角形，斜边为 10， 因此外接圆半径为斜边的一半，即． 故答案为：5． 10．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求． 【分析】 根据题意画出圆即可； 先任意画线段，然后作垂直平分线，交于点，再以为半径画圆即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 11．（2026·河南南阳·一模）如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，直径是河底截线，弦是水位线，，测得水面宽，拱顶到水面的距离是（即的中点到线段的距离）． (1)在图中利用无刻度的直尺和圆规作出桥拱圆弧所在圆的圆心O． (2)求此时水位的高度（即线段与之间的距离）． (3)货轮从桥洞正中间通过此桥洞，为船身宽，为保证安全，要求点E，F与其正上方拱桥线上的对应点G，H的距离均应不小于．已知该货轮露出水面部分的高度为，，请通过计算判断该货轮能否安全通过该桥洞． 【答案】(1)见解析 (2) (3)该货轮不能安全通过该桥洞 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）连接，过点O作交于点M，交于点N，求出，．设，则． 在中，由勾股定理列方程并解方程即可； （3）连接，，交于点P，求出，，根据线段的和差即可求出答案． 【详解】（1）解：圆心O如图所示．                 （2）解：如图（2），连接，过点O作交于点M，交于点N， 则，．                 设，则． 在中，由勾股定理， 得，即， 解得，即此时水位的高度为．                 （3）如图（2），连接，，交于点P， 则，， ， ， ， ∴该货轮不能安全通过该桥洞． 素养提升 1．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质，结合，，点在线段上，求出，再根据假设法把分别代入A、B、C、D各选项的解析式验证，看是否满足直线经过点，满足的正确，反之错误. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，点在线段上， ∴，， ∴， A.假设直线的函数表达式是， 当时， ，与直线经过点矛盾，故A错误. B.假设直线的函数表达式是, 当时， ，与直线经过点矛盾，故B错误. C. 假设直线的函数表达式是， 当时， ，与直线经过点相符，故C正确. D.假设直线的函数表达式是， 当时， ，与直线经过点矛盾，故D错误. 2．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 5．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心和外心等知识．求出和，即可得到答案． 【详解】解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，则的重心和外心的距离为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：．    7．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 8．（2024·河南周口·模拟预测）如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为______． 【答案】 【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图： 由网格可知，， ， ∵ ， 故答案为：． 9．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； （4）略 10．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 迁移创新 1．（2026·山西阳泉·二模）阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： (1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)B、D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）一定内接于圆的四边形，对角一定是互补的，矩形和正方形的对角一定是互补的，而平行四边形与菱形的对角不一定互补； （2）延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形，利用是的外角，得出，与已知“”相矛盾，从而证明点在内不成立，从反面证明点在上； （3）作出、的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径，作，此时在上，作出的角平分线，与交于点，连接、，四边形与即为所求． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形四个内角都是， ∴矩形和正方形的对角是互补的， ∴矩形和正方形一定内接于圆， 而平行四边形与菱形的对角只是相等不一定互补， ∴平行四边形与菱形不一定内接于圆． （2）解：当点在内时，如图2，延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在内不成立． 综上所述，点在上，即四边形内接于． （3）解：如图所示，分别作出、的垂直平分线，、的垂直平分线交于点；以点为圆心，以为半径，作；作出的角平分线，与交于点；连接、，四边形与即为所求． ∵点是、的垂直平分线的交点， ∴为的外接圆，即在上， 又∵的角平分线，与交于点， ∴平分，点也在上， ∴四边形与即为所求． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 【答案】(1)如图所示，为所求； (2) (3) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，三角形外心的定义，熟练掌握旋转和三角形外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，利用勾股定理求出，再旋转角为，利用弧长公式计算即可； （3）利用网格的特征作的中垂线，交于点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，且旋转角为， 则点经过的路径长为； （3）解：如图所示，作的中垂线，交于点， 则的外心坐标为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章 圆 29.1.2过三点的圆 课时目标 1通过作图探究，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上 三点作圆的方法。 2认识三角形的外接圆、外心的概念，理解外心是三角形三边垂直平分线的交点，掌 课标要点 握锐角、直角、钝角三角形外心的位置规律。 3对比过一点、两点、三点作圆的不同情况：了解反证法的基本思路，能用反证法完 成简单说理。 重点： 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.三角形外接圆、外心概念，外心到三角形三个顶点距离相等的性质。 学习重难点 难点： 1理解“不在同一直线上”这个前提，共线三点不能确定圆。 2.利用外心性质进行线段长度计算。 3.反证法的推理逻辑与基本证明步骤。 清主线 课时内容导图 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过1个点：无数个圆，圆心任意 0作圆探究 过2个点：无数个圆，圆心在两点连线垂直平分线上 不在同一直线上三点：确定唯一的一个圆 过3个点 在同一直线上三点：不能画出圆 过三点的圆 外接圆：经过三角形三个顶点的圆 ②三角形外接圆与外心 性质：外心到三角形 外心：三角形三边垂直平分线交点 三个顶点距离相等 基本思路：先假设结论不成立，推理导出矛盾，从而证明原命题正确 ③反证法 步骤：假设一推理得矛盾一否定假设，肯定原结论 理新知 教材全盘梳理 知识点 过三点的圆 一、 过点作圆的探究 1过一个点作圆：可以作无数个圆，圆心可以是平面内除该点以外任意一点。 2过两个点作圆：可以作无数个圆，圆心分布在这两点连线的垂直平分线上。 3.过三个点作圆 条件1：不在同一条直线上的三个点，确定唯一的一个圆。 条件2：如果三个点在同一条直线上，不能作出经过这三点的圆。 关键词：“不在同一直线上”不能省略，是定理的必要前提。 二、三角形的外接圆与外心 1外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 2.内接三角形：这个三角形叫做圆的内接三角形。 3.外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（距离就是外接圆半径）。 三、反证法 1适用场景：直接证明不好证的命题，例如证明“过同一直线上三点不能作圆”。 2.反证法三步流程： 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①反设：假设命题的结论不成立： ②归谬：从假设出发，经过推理，推出与已知、公理、定理矛盾的结果； ③结论：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题正确。 易错提醒 1.“三点确定一个圆”说法错误，必须强调不在同一直线上； 2.外心是三边垂直平分线交点，不是角平分线交点（角平分线交点是内心）： 3.直角三角形外接圆半径R=2斜边，常考计算： 4.反证法第一步一定要否定结论，不能否定条件。 随学随练 1.(26-27九年级上·北京·课堂例题)下列关于三角形外心的说法中，错误的是() A.三角形的外心到三个项点的距离相等 B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C.等腰三角形的外心在三角形内 D.任何一个三角形有且只有一个外接圆 2.(2025吉林长春·二模)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 二BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N②作直线MN交AB于点D,连结CD,若CD=AD, ∠B=25°，则下列结论中错误的是() A.∠ACB=90 B.∠CAD=65° C.∠ACD=50° D.点D为△ABC的外心 3.(2026山东青岛一模)已知：如图，E,F分别是∠BAC两边AB,AC上的点，连接EF.求作： ⊙O,使⊙O满足以线段EF为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等. 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B -C 4.（26-27八年级上·全国课后作业)证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 破疑难 核心素养拓展 拓展 已知圆上三点，求圆心的位置 己知圆上三个点：P,P2,P3 1选两条弦：优先选有水平/竖直的弦，计算最快（纵坐标相等一水平弦：横坐标相等→竖直弦） 2.求第一条弦的中点，写出它的垂直平分线： ①弦水平(y相同)：垂直平分线=过中点的竖直线x=中点横坐标 ②弦竖直(x相同)：垂直平分线=过中点的水平线y=中点纵坐标 3.求第二条弦的垂直平分线： 4.联立两个垂直平分线方程，解方程组，交点就是圆心M: 5验算：圆心分别到三个点距离要相等，得到半径r。 两种快速简化场景（考试高频） 1两点纵坐标一样（水平弦）：垂直平分线直接写竖直线，不用算斜率！ 2.两点横坐标一样（竖直弦）：垂直平分线直接写水平线，不用算斜率！ 尽量优先挑水平、竖直弦，可以大幅减少计算量。 活学活用 1.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧 经过格点A,B,C,现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系。 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)标出该圆弧所在圆的圆心D,则圆心D的坐标为 (2)若点E的坐标是-1,3，判断点E与⊙D的位置关系，并说明理由 2.(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测)如图，平面直角坐标系中有一个△ABC. 6 5 4 3 2 B -1a 123456x (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心O,并写出圆心坐标是 ； (2)判断点E(2,0)与⊙O的位置关系，说明理由： (6)△ABC最小覆盖圆的半径为 3.(25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点， A0,1、B2,-1、C-4,-1. (1)圆心M的坐标为_：请在图中标出圆心的位置 2)判断点D2,-4与⊙M的位置关系，并写出过程. 通题型 解题能力构建 5/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一三角形外接圆概念辨析 ■例1(26-27九年级上·北京·课后作业)对于三角形的外心，下列说法错误的是() A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C.它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D.以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 ■对点练1-1.（25-26九年级下·辽宁阜新·阶段检测)下列关于外心的说法正确的是() A.外心是三个角的平分线的交点 B.外心是三条高的交点 C.外心是三条中线的交点 D.外心是三边的垂直平分线的交点 ■对点练1-2.(25-26九年级上江苏无锡·期中)下列语句中，正确的是() A.经过三点一定可以作圆 B.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角一定相等 C.平分弦的直径垂直于这条弦 D.三角形的外心到三角形各边距离相等 ■对点练1-3.(25-26九年级上·江苏盐城期中)下列说法错误的是（) A.半径相等的两个半圆是等弧 B.面积相等的两个圆是等圆 C.长度相等的两条弧一定是等弧 D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 题型二求三角形外心的坐标 6/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 已知三角形三个顶点坐标：A(X1,y),B(X2,y2),C(X3,y3) 1选取两条边（两条弦） 优先选水平线段心相同)、竖直线段（区相同），计算最快。 2.分别求这两条边的垂直平分线方程 如果边是水平（两点纵坐标相等）： X1+X2 中点横坐标： 2 二，垂直平分线是竖直线：x中点横坐标 如果边是竖直（两点横坐标相等： 1+y2 中点纵坐标：2 ,垂直平分线是水平线：y=中点纵坐标 普通斜线段： ①求线段中点；②求线段斜率；③垂直平分线斜率是它的负倒数：④写直线解析式。 3联立两条垂直平分线方程，解二元一次方程组方程组的解()，就是外心坐标。 4检验（必做，防止算错） 外心到A、B、C三点距离要相等（距离平方相等即可，不用开根号）。 ■例2(25-26九年级上·湖南常德·期末)如图，在平面直角坐标系Oy中，△AB℃的三个顶点的坐标分 别为：A-2,4,B4,4,C4,0;经画图操作可知，△ABC的外心坐标应是() 5 2 -4-3-2-10 1123456x A.2,1 B.2,2 C.4,4 D.1,2 ■对点练2-1.(2025九年级·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A1,3,B3,1,C5,1, 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△ABC外接圆的圆心坐标为 y 5 3 A 0123456x ■对点练2-2.(25-26九年级上河北石家庄·期末)如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 y个 7 6 5 B 3 2 A 01234567x ■对点练2-3.（25-26九年级上·全国期末)图中△ABC的外心坐标是. 6 5 4 B 3 2 2 3456x 题型三求特殊三角形外接圆的半径 8/23 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 1.先判断三角形类型 ①直角三角形找斜边R=号斜边，最快。 ②等边三角形直接套R=飞。 3 a ③普通等腰三角形：勾股列方程，或者坐标系求外心再算距离。 2直角优先！看到直角，立刻找斜边。 3.等腰非直角：外心在底边的垂直平分线上，设R勾股建方程是主流初中考法。 4算出后检验：外心到三个顶点距离相等。 ■例3(25-26九年级上·辽宁沈阳·周测)边长为6的等边三角形的外接圆的半径为() A.2 B.3 c.33 D.23 ■对点练31.(25-26九年级上·湖南长沙阶段检测)如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为() B A.10cm B.5cm C.3cm D.4cm Ⅱ对点练32.(25-26九年级上·江苏扬州·期中)一直角三角形的两直角边是方程x2-4x+3=0的两个根， 则此直角三角形的外接圆的直径为 ■对点练33.直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是 ■对点练34.(25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)已知Rt△ABC,∠C=90°，AC、BC的长分别 是一元二次方程x2-14x+48=0的两根，则Rt△ABC的外接圆的半径为，内切圆的半径为 9/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四已知外心的位置判断三角形的形状 ■例4(25-26九年级上·浙江温州·期中)如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 ■对点练41.(25-26九年级上·浙江杭州·期中)△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 题型五判断三角形外接圆的圆心位置 ■例5(25-26九年级上·江苏南京·阶段检测)如图，△ABC中，AB=AC. B (1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O(保留作图痕迹，不写作法)： (②)若AB=AC=5,BC=6,求△ABC的外接圆⊙O的半径. ■对点练51.(25-26九年级上·江苏扬州期末)如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小 正方形的顶点叫做格点，A,B,C为三个格点.仅用无刻度直尺在网格中完成作图.（保留作图痕迹） 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图① 图② (1)在图①中，画出△ABC的外心O,则⊙O的半径为 (2)在图②中，画出△ABC的内心P,则⊙P的半径为 ■对点练52.（2025河南濮阳.一模)如图，在6×6的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中， △ABC的顶点A,B,C均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相 关字母 图1 图2 (1)在图1中作出△ABC的外接圆的圆心O: (2)将图1中的圆心O标记在图2的相应位置并求图2中阴影部分的面积（结果保留π）· ■对点练53.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，平面直角坐标系中有一个△ABC. 6 5 4 B 3 2 1 123456x (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心点O: ②)△ABC的外接圆的圆心坐标是 :外接圆半径为 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)该圆圆心到弦AC的距离为 题型六尺规作图确定圆心 解题贴士 已知：一个圆（没有标出圆心） 求作：该圆的圆心 1.在圆上任取三个不同的点A、B、C:连接AB、BC,得到两条弦。 2.作弦AB的垂直平分线： ①分别以点A、B为圆心，大于之AB长为半径画弧，两弧在线段AB两侧分另相文： ②过两组交点画直线，就是弦AB的垂直平分线。 3.作弦BC的垂直平分线： 同理，分别以B、C为圆心，大于BC长为半径画弧，画出BC的垂直平分线。 4两条垂直平分线的交点，即为圆心0。 补充：也只画两条弦即可，不需要第三个点连线；圆上取A、B、C三点目的是得到两条弦AB、BC。 ■例6(25-26八年级下·江苏南京·开学考试)如图，△AB℃为锐角三角形.请用尺规作图法，在平面内求 作一点P,使得∠APB+∠C=180°.（保留作图痕迹，不写作法） B ■对点练61.(2025.甘肃定西·模拟预测)已知Rt△ABC,∠C=90°. (1)求作一点O,使以O为圆心的圆经过A、B、C三点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证 12/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 明) (2)若AC为8，BC为6，求⊙O的半径. ■对点练62.(25-26九年级上浙江杭州·期中)在如图所示的方格纸中存在△ABC,其中，点A,B, C均在格点上. B 1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O: (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求△ABC外接圆半径R的长. 题型七求能够确定的圆的个数 Ⅱ例7(25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测)已知A、B、C、D为平面内不重合的四个点，且这四点 不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 ■对点练7-1.(25-26九年级上·浙江嘉兴·期中)过同一平面内A,B,C三个点作圆，可以作出的个数为 () A.0个 B.1个 C.2个 D.0个或1个 ■对点练7-2.(25-26九年级上河北张家口·期末)如图，点A,B,C均在直线1上，点P在直线1外，则 经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为() P A B C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 13/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八反证法证明中的假设 ■例8(25-26八年级下·辽宁铁岭·期末)已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有 个数大于或等于”时，应先作出的假设() A.这五个正数中只有一个数大于或等于号 上器道王￥廉一其多适中嫌亚↓4‘ C,这五个正数中没有一个数大于或等于号 D.这五个正数中都大于或等于 5 ■对点练81.(25-26八年级下·浙江杭州·期末)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0有两个不相等的有理根，则a,b,c不可能全为奇数”时，应先假设() A.a,b,c全为偶数 B.a,b,c至多有一个奇数 C.a,b,c全为奇数 D.a,b,c至多有两个奇数 ■对点练82.（25-26八年级下浙江台州·期末)用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大 于45°”时，应先假设() A.有两个锐角都不大于45 B.只有一个锐角不大于45° C.有两个锐角都大于45° D.只有一个锐角大于45 ■对点练83.(25-26八年级下·浙江台州·期末)用反证法证明命题结论“a是负数”时，应先假设 () A.a≥0 B.a>0 C.a=0 D.a≠0 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型九用反证法证明命题 解题贴士 四步标准解题步骤 1.反设（作出假设）假设命题的结论不成立。 关键点：只否定结论，条件保持不变；注意量词的正确否定（至少、至多、都等）。 2推理 从这个假设出发，结合已知条件、定义、定理、公理，一步步进行推导。 3.导出矛盾 推导出矛盾结果。矛盾来源三类： ①和题目已知条件矛盾 ②和已经学过的公理、定理、事实矛盾（三角形内角和、垂径定理等） ③自相矛盾 4.得出结论 因为出现矛盾，说明假设是错误的，因此原命题的结论成立。 ■例9(26-27八年级上·全国·课后作业)求证：如果整数的平方是一个偶数，那么必为偶数. ■对点练9-1.(26-27八年级上·全国课后作业)求证：在一个三角形中，如果有两条边不相等，那么它 们所对的角也不相等. ■对点练9-2.(25-26七年级下·福建福州期末)根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等.（写出已知、求证，画图并证明） (2)在△ABC中，若∠C>∠B,求证：AB>AC ■对点练93.(25-26七年级下·江苏无锡阶段检测)用反证法证明命题：“若a>b2,且a>0,b>0,则 a>b” 15/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1.平面内已知点P,以P为圆心，3cm为半径作圆，这样的圆可以作（) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 2.(25-26八年级下贵州毕节·期中)对于命题“若a2>b2,则a>b”的逆命题是假命题，举一个反例， 则符合要求的反例是() A.a=-3,b=4 B.a=-2,b=-1 C.a=2,b=-1 D.a=1,b=-3 3.(25-26九年级上·浙江金华.期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,则△ABC外接圆 的半径为() A.10 B.5 C.6 D.4 4.(25-26九年级上：陕西西安·阶段检测)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、 D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是() D B A.点D B.点E C.点F D.点G 5.（2026河北廊坊·二模)一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块 去？() ① ② ③ A.① B.② C.③ D.都可以 6.如图，锐角三角形ABC中，点O为AB中点.甲、乙二人想在AC上找一点P,使得△ABP的外心为点 16/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O,其作法分别如下.对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是() 甲的作法 乙的作法 P B B 以O为圆心， A 过点B作与 OA长为半径画弧，交AC于点P,则P即为 AC垂直的直线，交AC于点P,则P即 所求 为所求 A.两人都正确 B.两人都错误 C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确 7.(25-26七年级下·山东临沂期末)举一个证明命题“如果x+2y=0,那么X=0,y=0”为假命题的 反例是 8.(2026河北石家庄·二模)如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3= 9.(25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测)三角形两边长是6和8，第三边的长是方程x2-12x+20=0的 根，则该三角形外接圆的半径为 10.根据下列条件作圆： (1)以定点O为圆心，作半径等于2Cm的圆： (2)以定点O为圆心作圆，使其过另一个定点P: ③)先任作一条线段AB,再作半径为号AB的圆。 11.(2026河南南阳一模)如图是一个半圆形拱桥的截面示意图，直径AB是河底截线，弦CD是水位线， CD‖AB,测得水面宽CD=24m,拱顶到水面CD的距离是8m(即CD的中点到线段CD的距离). 17/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B (1)在图中利用无刻度的直尺和圆规作出桥拱圆弧所在圆的圆心O (2)求此时水位的高度（即线段CD与AB之间的距离） (3)货轮从桥洞正中间通过此桥洞，EF为船身宽，为保证安全，要求点E,F与其正上方拱桥线上的对应点 G,H的距离均应不小于1m.已知该货轮露出水面部分的高度为6.2m,EF=10m,请通过计算判断该货 轮能否安全通过该桥洞. ©素养提升 1.(25-26八年级下河北衡水阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴 上，项点A4,0,顶点B6,4,点P4,m在线段BC上，若直线l经过点P,且将平行四边形OABC分割 成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是() A.y=3x-2 B.y= +、 44 5 C.y=2x-4 D.y=3x-3 2.(2026山东德州一模)如图，AB=AC,∠A=42°，O是△ABC的外接圆圆心，连接BO并延长， 交AC于点D,则∠BDC的度数为() A.69° B.96° C.63 D.48° 3.(25-26九年级上江苏扬州·期中)在平面直角坐标系中，若A1,-1,B3,3,C5,n三点可以确定 一个圆，则n的取值范围是() A.n≠3 B.n≤5 c.n>6 D.n≠7 18/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，A,B,C是⊙O上的三点，△ABC是等边三角形.若 AB=3,则⊙O的半径是() 3 B.2 c.3 D.2 5.（2025·上海·二模)我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”.已知等腰 三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于· 6.(25-26九年级上·江苏宿迁·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,则Rt△ABC的重心和外 心的距离为 7.(25-26九年级上江苏南京期末)若在平面直角坐标系中的点A1,1,B-1,-1,Cm,3不能确定 一个圆，则m的值是」 8.(2024河南周口·模拟预测)如图，已知△ABC在边长为1的小正方形的格点上，△ABC的外接圆的 一部分和△ABC的边AB、BC组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 B 9.（2026安徽中考真题)项目式学习 【项目主题】 类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a+b2=c的正整数a,b,c是勾股数， 记为a,b,c. 设m'n为正整数，且m>n因为nm2-n2+2mnP=m2+n所以m2-n,2mm,m2+n2为勾股数. 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 本项目只研究形如m2-,2mn,m2+n2的勾股数. 【规律探究】 分别对m,n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 m n 序号 m2-n2,2mn,m2+n2） 3 1 3,4,5 1 1 8,6,10 2 3 2 5,12,13 3 15,8,17 4 2 12,16,20 5 3 7,24,25 6 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： )m=5'n=1对应的勾股数是（一，一’—)，序号为： (2)勾股数35,12,37对应的m=,n=: 3)序号为15的勾股数是（一，，)· 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n的值随着序号的增大 而增大.他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m+n的值也会随着序号的增大而增大.请问他的 猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明 10.(2026河北保定.三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠ACB=44°，点E,点F分别从点 B,点C同时出发，在线段BC上做等速运动，到达C点，B点后运动停止. 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)求证：△ABF≌△ACE: (②)若AB=BF,求∠EAF的度数： (3)若△ACF的外心在其内部时，求∠BEA的取值范围. 迁移创新 1. （2026山西阳泉·二模)阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的 对角互补，那么这个四边形内接于圆”·发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题 一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务。 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，求证：四边形ABCD内接于圆. 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以△ABC一定内接于圆，若证明点D也在该圆 上，则可得四边形ABCD内接于该圆.但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明. 解决问题： 证明：在四边形ABCD中，过点A,B,C作⊙O 假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O外或点D在⊙O内.分以下两种情况讨论： ①当点D在⊙O外时，如图1.设CD交⊙O于点D: 连接AD,则四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠ABC+∠ADC=180°， .∠ADC是△ADD的外角， ∴.∠ADC>∠ADC, ∴.∠ABC+∠ADC<180°， 这与已知“∠ABC+∠ADC=180°”相矛盾，即点D在⊙O外不成立. 21/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当点D在⊙O内时，如图2. D 0 C 图1 图2 任务： (1)下列四边形中，一定内接于圆的是 (填序号) A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 (2)将材料中的证明过程补充完整. (3)如图3，已知△ABC,求作四边形ABCD和⊙O,使得四边形ABCD内接于⊙O,且对角线BD平分 ∠ABC.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 图3 2.(25-26九年级上广东广州·阶段检测)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示， A-2,4,B-4,2,C-3,1.其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△ABC； (2)求出(1)中旋转过程点C经过的路径长： (3)连接BB,△OBB的外心坐标是 22/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23/23