专题11一元一次方程的认识及解法复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题11一元一次方程的认识及解法复习讲义 1.理解方程、一元一次方程的定义，能判断一个式子是不是一元一次方程，会识别方程的解。 2.掌握等式的基本性质，能利用等式性质对等式变形，知道变形时需要注意的限制条件。 3.能根据简单的实际情境，找到等量关系，列出一元一次方程。 4.熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，规范书写解方程过程。 5.会检验一个数是不是方程的解，养成解方程后检验的习惯。 6.会处理含括号、含分母的一元一次方程，能区分容易出错的地方：漏乘常数项、去括号变号、移项要变号。 7.能解决简单的含参数一元一次方程问题，根据方程解的情况求参数的值。 8.分清代数式、等式、方程三者的区别，避免概念混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 ★★ 题型八 合并同类项与移项 ★ 题型九 去括号 ★★ 题型十 去分母 ★★ 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十二 一元一次方程解的关系 ★★ 题型十三 绝对值方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 等式、代数式、方程区分 1 基础定义 代数式：只用运算符号连接数字、字母，不含等号、不等号。 例：3x、2a-5、y 等式：含有等号，表示左右两边相等的式子，分为两类： 恒等式：永远成立2+3=5 条件等式（方程）：含未知数，只有未知数取特定值才成立 方程：含有未知数的等式。 2.判定方程两个必要条件（同时满足） ① 必须有等号；② 必须含有未知数。 3.三类式子对比表 类型 核心特征 有无等号 有无未知数 举例 代数式 仅数字、字母、运算 无 可有可无 4x-1、7 普通等式（恒等式） 左右数值固定相等 有 无 6-2=4 方程 含未知数的等式 有 一定有 3x+2=8 知识点 02 方程的解、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，若左边 = 右边，就是方程的解。 解方程：求方程解的全过程（是一个运算步骤）。 易错区分 方程的解：结果（数字）；解方程：动作、过程。 知识点 03 一元一次方程定义（本节核心） 一元一次方程四判定条件（全部满足） （1）只含一个未知数（一元）； （2）未知数的次数都是1 次（一次）； （3）等号两边都是整式（分母不含未知数，无根号、分式未知数）； （4）化简后未知数系数不为 0。 标准形式 ax+b=0(a≠0），(a、b为常数，x是未知数） 正反举例 ✅是一元一次方程：2x-6=0、5=3x ❌ 不是： x+y=3（两个未知数）、x2=4（次数 2）、+2=5（分母含未知数，分式） 知识点 04 列简易方程（从文字到等式） 1.列方程三步法 （1）审题，找出题目中的等量关系； （2）设未知数（直接设：求什么设什么；间接设）； （3）用含未知数的代数式表示等量关系，写出等式。 2.常见等量关系模板 和差：大数 ± 小数 = 和 / 差 倍数：几倍量 = 基数 × 倍数 公式类：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量 知识点05:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识点 06 解一元一次方程标准五大步骤（通用流程） 完整步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 分步详细规则、易错点 步骤 1：去分母 操作：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数； 关键：不含分母的常数项也要乘，不能漏乘； 易错：分子是多项式时，去分母后必须加括号。 例：+1=x，两边 ×2 得 (x-1)+2=2x，不能写成x-1+1=2x 步骤 2：去括号 依据乘法分配律 a(m+n)=am+an （1）括号前是正号：去括号，内部符号不变； （2）括号前是负号：去括号，括号内每一项全部变号； （3）数字乘数要乘括号内每一项，禁止漏乘。 例：-2(x-3)=-2x+6 步骤 3：移项（核心高频考点） 定义：把方程中某一项改变符号后，从等式一边移到另一边； 规则：移项必变号，不移不变号； 目的：含未知数项放左边，常数项放右边； 易错：只在同侧交换位置，不属于移项，不能变号。 例：3x+5=2x-1 移项得 3x-2x=-1-5 步骤 4：合并同类项 （1）同类：未知数相同、次数相同的项； （2）操作：未知数系数相加减，字母不变； 结果化为最简形式：ax=b(a≠0) 步骤 5：系数化为 1 操作：方程两边同时除以未知数系数a，或乘； 区分符号：正数除以正数结果为正，正负相除得负； 格式：x= 知识点 07 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点 08含参数的一元一次方程拓展 若(m-2)x+3=0是一元一次方程，则未知数系数m-2≠0，即m≠2； 已知方程的解，求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 例：已知x=3是2x+a=10的解，代入得6+a=10，a=4 知识点09高频易错汇总 一、认识方程易错 1.判定一元一次方程：忽略整式条件，把=5当成一元一次方程； 2.混淆 “方程的解” 和 “解方程”； 3.列方程找不准等量关系，等量左右写反； 4.分不清代数式、等式、方程。 二、解方程易错（阅卷高频扣分点） 1.去分母：常数项漏乘最小公倍数，分子多项式不加括号； 2.去括号：负号括号内只变第一项，其余不变；乘数漏乘括号内某一项； 3.移项不变号，同侧交换位置乱变号； 4.系数化为 1 时分母分子颠倒，符号计算错误； 5.含参数题目忘记系数不能为 0； 6.解题跳步，不按规范五步书写。 题型一：判断各式是否是方程 1．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的有（   ） ①3是一个整式；②方程是关于x的一元一次方程；③单项式的系数是，次数是7；④一个有理数不是整数就是分数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 题型二：列方程 4．根据图中的标注，列出方程为________． 5．创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 6．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 题型三：判断是否是方程的解 7．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 8．下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 9．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 题型四：已知方程的解，求参数 10．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．若是方程的解，则________． 12．都是质数，且关于的一元一次方程的解是，则代数式的值为_______． 题型五：判断是否是一元一次方程 13．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 14．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有________，其中是一元一次方程的有________．（只填序号） 15．若为一元一次方程，则m的值为（   ） A． B． C．3或1 D．或 题型六：判断是否是一元一次方程解 16．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 17．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 18．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型七：等式的性质 19．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 20．下列变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．若，则 D．若，则 21．下列变形：①如果，则；②如果，则；③如果，则；④如果，则，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 题型八：合并同类项与移项 22．下列变形属于移项的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 23．定义符号“”的运算规则为，则方程的解为______． 24．方程的解是（   ） A．2007 B．2009 C．4014 D．4018 题型九：去括号 25．定义：，若，则______ 26．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解______． 27．下列方程变形正确的是(   ) A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 题型十：去分母 28．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 29．下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，整理得 30．将方程中含小数的分母转化为整数，得___________． 题型十一：已知一元一次方程的解，求参数 31．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 32．已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 33．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 题型十二：一元一次方程解的关系 34．已加关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 （   ） A． B． C． D． 35．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 36．多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 题型十三：绝对值方程 37．如果，那么的值为（      ） A． B． C． D． 38．若，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 39．对于有理数，定义一种新运算：和进行该运算时，结果为与的2倍的差的绝对值．若5与进行这种运算的结果是9，则的值为___________． 40．适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解答题 41．解方程：． 42．计算、化简和解方程： (1)计算： (2)化简： (3)解方程： (4)解方程： 43．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 44．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 45．【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则 原式． (1)【探索发现】已知是关于x的方程的解，则代数式的值是_______； (2)【尝试应用】如下图，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，则线段的长_______； (3)【拓展应用】如下图，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为a的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积； (4)【迁移运用】若当时，代数式的值为k；当时，求代数式的值．（用含k的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次方程的认识及解法复习讲义 1.理解方程、一元一次方程的定义，能判断一个式子是不是一元一次方程，会识别方程的解。 2.掌握等式的基本性质，能利用等式性质对等式变形，知道变形时需要注意的限制条件。 3.能根据简单的实际情境，找到等量关系，列出一元一次方程。 4.熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，规范书写解方程过程。 5.会检验一个数是不是方程的解，养成解方程后检验的习惯。 6.会处理含括号、含分母的一元一次方程，能区分容易出错的地方：漏乘常数项、去括号变号、移项要变号。 7.能解决简单的含参数一元一次方程问题，根据方程解的情况求参数的值。 8.分清代数式、等式、方程三者的区别，避免概念混淆。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 ★★ 题型八 合并同类项与移项 ★ 题型九 去括号 ★★ 题型十 去分母 ★★ 题型十一 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十二 一元一次方程解的关系 ★★ 题型十三 绝对值方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 等式、代数式、方程区分 1 基础定义 代数式：只用运算符号连接数字、字母，不含等号、不等号。 例：3x、2a-5、y 等式：含有等号，表示左右两边相等的式子，分为两类： 恒等式：永远成立2+3=5 条件等式（方程）：含未知数，只有未知数取特定值才成立 方程：含有未知数的等式。 2.判定方程两个必要条件（同时满足） ① 必须有等号；② 必须含有未知数。 3.三类式子对比表 类型 核心特征 有无等号 有无未知数 举例 代数式 仅数字、字母、运算 无 可有可无 4x-1、7 普通等式（恒等式） 左右数值固定相等 有 无 6-2=4 方程 含未知数的等式 有 一定有 3x+2=8 知识点 02 方程的解、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，若左边 = 右边，就是方程的解。 解方程：求方程解的全过程（是一个运算步骤）。 易错区分 方程的解：结果（数字）；解方程：动作、过程。 知识点 03 一元一次方程定义（本节核心） 一元一次方程四判定条件（全部满足） （1）只含一个未知数（一元）； （2）未知数的次数都是1 次（一次）； （3）等号两边都是整式（分母不含未知数，无根号、分式未知数）； （4）化简后未知数系数不为 0。 标准形式 ax+b=0(a≠0），(a、b为常数，x是未知数） 正反举例 ✅是一元一次方程：2x-6=0、5=3x ❌ 不是： x+y=3（两个未知数）、x2=4（次数 2）、+2=5（分母含未知数，分式） 知识点 04 列简易方程（从文字到等式） 1.列方程三步法 （1）审题，找出题目中的等量关系； （2）设未知数（直接设：求什么设什么；间接设）； （3）用含未知数的代数式表示等量关系，写出等式。 2.常见等量关系模板 和差：大数 ± 小数 = 和 / 差 倍数：几倍量 = 基数 × 倍数 公式类：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量 知识点05:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识点 06 解一元一次方程标准五大步骤（通用流程） 完整步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 分步详细规则、易错点 步骤 1：去分母 操作：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数； 关键：不含分母的常数项也要乘，不能漏乘； 易错：分子是多项式时，去分母后必须加括号。 例：+1=x，两边 ×2 得 (x-1)+2=2x，不能写成x-1+1=2x 步骤 2：去括号 依据乘法分配律 a(m+n)=am+an （1）括号前是正号：去括号，内部符号不变； （2）括号前是负号：去括号，括号内每一项全部变号； （3）数字乘数要乘括号内每一项，禁止漏乘。 例：-2(x-3)=-2x+6 步骤 3：移项（核心高频考点） 定义：把方程中某一项改变符号后，从等式一边移到另一边； 规则：移项必变号，不移不变号； 目的：含未知数项放左边，常数项放右边； 易错：只在同侧交换位置，不属于移项，不能变号。 例：3x+5=2x-1 移项得 3x-2x=-1-5 步骤 4：合并同类项 （1）同类：未知数相同、次数相同的项； （2）操作：未知数系数相加减，字母不变； 结果化为最简形式：ax=b(a≠0) 步骤 5：系数化为 1 操作：方程两边同时除以未知数系数a，或乘； 区分符号：正数除以正数结果为正，正负相除得负； 格式：x= 知识点 07 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点 08含参数的一元一次方程拓展 若(m-2)x+3=0是一元一次方程，则未知数系数m-2≠0，即m≠2； 已知方程的解，求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 例：已知x=3是2x+a=10的解，代入得6+a=10，a=4 知识点09高频易错汇总 一、认识方程易错 1.判定一元一次方程：忽略整式条件，把=5当成一元一次方程； 2.混淆 “方程的解” 和 “解方程”； 3.列方程找不准等量关系，等量左右写反； 4.分不清代数式、等式、方程。 二、解方程易错（阅卷高频扣分点） 1.去分母：常数项漏乘最小公倍数，分子多项式不加括号； 2.去括号：负号括号内只变第一项，其余不变；乘数漏乘括号内某一项； 3.移项不变号，同侧交换位置乱变号； 4.系数化为 1 时分母分子颠倒，符号计算错误； 5.含参数题目忘记系数不能为 0； 6.解题跳步，不按规范五步书写。 题型一：判断各式是否是方程 1．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程； B、不是等式，不是方程； C、是代数式，不是等式，不是方程； D、是方程； 故选：D． 2．下列说法中正确的有（   ） ①3是一个整式；②方程是关于x的一元一次方程；③单项式的系数是，次数是7；④一个有理数不是整数就是分数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，单项式，多项式，有理数．根据单项式和多项式统称为整式可判断①；根据一元一次方程的定义可判断②；根据单项式的系数、次数的定义可判断③；根据有理数的定义可判断④． 【详解】解：①3是一个整式，说法正确； ②方程整理得，未知数x的最高次数是2，不是关于x的一元一次方程，原说法错误； ③单项式的系数是，次数是5，原说法错误； ④一个有理数不是整数就是分数，说法正确； 所以正确的有2个， 故选：B． 3．下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 题型二：列方程 4．根据图中的标注，列出方程为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长等于长加宽和的两倍列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 5．创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 【答案】 【分析】根据工具总数不变，分别用含的式子表示两种放置方法的总工具数，建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：第一种放置方法中，每个箱子放把，剩余把，总工具数可表示为， 第二种放置方法中，空出一个箱子，实际放置工具的箱子数量为，每个箱子放把，总工具数可表示为， ∵工具总数不变， ∴可列方程为． 6．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 题型三：判断是否是方程的解 7．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把分别代入各方程，若方程左右两边相等，即可为方程的解． 【详解】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解； D、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解． 故选：C 8．下列数中，是方程的解的是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：A、当时，左边右边，故本选项不符合题意； B、当时，左边右边，故本选项不符合题意； C、当时，左边右边，故本选项符合题意； D、当时，左边右边，故本选项不符合题意； 9．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解． 方程的解即求使整式值为8的x，由表格数据直接对应可得． 【详解】解：由表格知，当时，， 则方程的解为． 故选：D． 题型四：已知方程的解，求参数 10．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将代入，即可求出m的值． 【详解】解：将代入，则方程为 解得． 11．若是方程的解，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解得概念，解题的关键是将方程的解代入方程后再解关于a的方程．将代入方程后解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入中可得： ， 解得：． 故答案为：． 12．都是质数，且关于的一元一次方程的解是，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将方程的解代入原方程可得，据此即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 是奇数， 与必为一奇数一偶数． 若，则，符合题设； 若，则不是质数，不符合题设； ． 故答案为：． 题型五：判断是否是一元一次方程 13．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不是等式，不属于方程，故A不符合题意； B．中未知数的次数为2，不满足一元一次方程的要求，故B不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数的次数为1，等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，故 C符合题意； D．含有两个未知数，不满足一元一次方程的要求，故D不符合题意． 14．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有________，其中是一元一次方程的有________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥ ①⑥ 【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式）和一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐一判断每个式子即可． 【详解】解：①，是含有未知数的等式，是方程；仅含一个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； ②，不是等式，不是方程，也不是一元一次方程； ③，是含有未知数的等式，是方程；含两个未知数，不是一元一次方程； ④，是含有未知数的等式，是方程；未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ⑤，是含有未知数的等式，是方程；未知数最高次数为2，不是一元一次方程； ⑥，是含有未知数的等式，是方程；仅含一个未知数，未知数次数为1，是一元一次方程； 综上，是方程的为①③④⑤⑥，是一元一次方程的为①⑥． 15．若为一元一次方程，则m的值为（   ） A． B． C．3或1 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的性质，根据题意得到，，求出结果即可． 【详解】解：为一元一次方程， ，， ， 故选：A． 题型六：判断是否是一元一次方程解 16．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程定义，只含有一个未知数，且未知数的次数最高为一次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义判定即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；     B. 是一元一次方程，故此选项符合题意；     C. 分母中含量有字母，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；     D. 最高次数是二次不是一次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 17．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解． 【详解】解：∵方程可以变形为， 而由表格中的对应值可知，当时，， ∴是方程的解， 故选：C． 18．已知整式的值随的取值变化而变化，下表给出了取不同值时，整式对应的数值，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据，即可得到答案． 【详解】解：∵， 故， 由表格可知当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：A． 题型七：等式的性质 19．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 20．下列变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A选项，若，则，变形错误． B选项，当时，与无意义，变形错误． C选项，若，则或，变形错误． D选项，，即，即，时，，变形正确． 21．下列变形：①如果，则；②如果，则；③如果，则；④如果，则，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质逐一判断变形是否正确． 【详解】解：①等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立．已知，两边同时乘，无论c是否为0，所得等式均成立，因此，①正确． ②等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立．已知，若，此时无论a、b取何值，等式均成立，无法推出，因此②错误． ③等式两边同时乘同一个数，再同时减同一个数，等式仍然成立．已知，两边先同时乘3得，再同时减1得，③正确． ④已知，由分母不为0可知，等式两边同时乘，可得，④正确． 综上，①③④正确． 题型八：合并同类项与移项 22．下列变形属于移项的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】依据移项“跨等号移动且变号”的核心特征判断． 【详解】解：A：由得，是交换方程左右两边的位置，不属于移项； B：由得，仅调整等号左侧项的顺序，未跨等号移动项，不属于移项； C：由得，将等号右侧的移到左侧变号为，等号左侧的移到右侧变号为，符合移项的特征，属于移项； D：由得，是将方程未知数的系数化为，不属于移项． 23．定义符号“”的运算规则为，则方程的解为______． 【答案】 【分析】先根据新定义可得，进而得出一元一次方程，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴方程， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 24．方程的解是（   ） A．2007 B．2009 C．4014 D．4018 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型九：去括号 25．定义：，若，则______ 【答案】3 【分析】本题考查了新定义问题、多项式的乘法、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新定义列出方程，进而求解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ∴． 故答案为： ． 26．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解______． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． 根据一元一次方程解的定义得到，把代入即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得， 把代入得到 ， 解得， 故答案为：2 27．下列方程变形正确的是(   ) A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 【答案】D 【分析】根据解方程的过程变形得到结果，即可作出判断． 【详解】A.方程，移项，得，故该选项错误，不符合题意； B.方程，去括号，得，故该选项错误，不符合题意； C.方程，未知数系数化为1，得，故该选项错误，不符合题意； D.方程化成，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质．熟练掌握一元一次方程的解法和等式的性质是解本题的关键． 题型十：去分母 28．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出分母的最小公倍数，将方程两边每一项都乘以最小公倍数去分母，注意分子为多项式时需要添加括号． 【详解】解：∵方程的分母为3和6，二者最小公倍数是6， ∴将方程左右两边每一项同时乘以6去分母，可得． 29．下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，整理得 【答案】C 【详解】解：A、方程，移项要变号，移项得，原变形错误； B、方程，系数化为1，两边同时乘得，原变形错误； C、方程，去括号时，用乘括号内每一项，得，原变形正确； D、方程，去分母时两边同乘分母最小公倍数，整理得，原变形错误． 30．将方程中含小数的分母转化为整数，得___________． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 题型十一：已知一元一次方程的解，求参数 31．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】2030 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，把代入，得到，再利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴； ∴； 故答案为：2030 32．已知关于x的方程，且a为某些正整数时，方程的解为正整数，则正整数a的最小值为______． 【答案】 【分析】整理方程后用表示，根据和均为正整数的条件，确定的最小值． 【详解】解：原方程为， 移项合并同类项得：， 整理得：， ∵为正整数，为正整数， ∴必须是的倍数， ∵，即除以余， ∴要使能被整除，需能被整除， 最小的正整数满足，即， 验证得，为正整数，符合要求， 因此正整数的最小值为． 33．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念以及换元法的应用，熟练掌握换元法和方程解的对应关系是解题的关键． 通过观察两个方程的结构，发现可以用换元的思路，将第二个方程中的看作第一个方程中的，从而直接利用已知方程的解来求解新方程． 【详解】解：∵关于的方程的解为，且关于的方程与前者形式一致， ∴， ∴， 故选：B． 题型十二：一元一次方程解的关系 34．已加关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，根据题意利用换元法解题即可． 【详解】解：由题可得， 解得， 故选：B． 35．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】此题考查的是根据一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解，找到两个一元一次方程的对应关系是解决此题的关键．通过整体代换思想，将第二个方程中的视为整体，与第一个方程中的对应，根据第一个方程的解直接求解． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴当时，方程成立． 对于关于的一元一次方程， 令，则方程化为， 则该方程解为，即， 解得． 故答案为：． 36．多项式和（，，为实数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格看取何值时，多项式和对应的值相反即可． 【详解】解：由题知当时，与的值为相反数， ， ∴当时，与的值相等， 关于的方程的解是． 题型十三：绝对值方程 37．如果，那么的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 38．若，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值方程问题，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数． 39．对于有理数，定义一种新运算：和进行该运算时，结果为与的2倍的差的绝对值．若5与进行这种运算的结果是9，则的值为___________． 【答案】或7/7或 【分析】本题考查了新定义运算，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算的定义，列出方程，再解这个绝对值方程即可． 【详解】解：由题意，得． 当时，， 解得． 当时，， 解得． 故x的值为或7． 故答案为：或7． 40．适合的整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案． 【详解】解：， 该方程表示到和5的距离的和为12， ， ， 整数的值有，，0，1，共4个， 故选C． 解答题 41．解方程：． 【答案】或 【详解】解：， ， 或， 或（不合题意，舍去）， 或， 或（不合题意，舍去）， 或． 42．计算、化简和解方程： (1)计算： (2)化简： (3)解方程： (4)解方程： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 43．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 44．如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． (2) 【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 45．【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则 原式． (1)【探索发现】已知是关于x的方程的解，则代数式的值是_______； (2)【尝试应用】如下图，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，则线段的长_______； (3)【拓展应用】如下图，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为a的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积； (4)【迁移运用】若当时，代数式的值为k；当时，求代数式的值．（用含k的代数式表示） 【答案】(1)11 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了方程的解，已知式子的值求代数式，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由方程的解得出，然后整体代入化简后的式子计算即可． （2）由线段中点的定义得出，，再根据线段的和差关系即可得出然后代入计算即可． （3）由底面长方形的长，宽，根据长方形的面积公式结合代入计算即可得出答案． （4）先根据已知条件得出，再把代入变形后的式子求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． （2）解：∵C、D分别是线段、的中点， ∴，， ∴． （3）解：底面长方形的长，宽， ∴底面长方形的面积为： （4）解：当时，代数式的值为k， 即， 即， 则 当时，， 则 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $