专题10 多边形和圆的初步认识 复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习) 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题10多边形和圆的初步认识复习讲义 1.认识多边形，能识别多边形的顶点、边、内角、对角线，理解多边形的定义，区分凸多边形。 2.掌握多边形对角线相关结论，会计算 n 边形对角线条数，知道从一个顶点出发可引出的对角线数量、分割成三角形的个数。 3.理解正多边形的概念，明确正多边形各边相等、各角也相等，能判断一个多边形是否为正多边形。 4.认识圆、圆弧、扇形、圆心角，分清弦、半径、直径的含义，看懂圆相关图形的标注。 5.掌握圆心角、扇形面积与圆面积的关系，会根据圆心角度数求扇形占整个圆的比例。 6.能进行圆心角度数的简单计算，结合份数、比例求出对应扇形的圆心角。 7.会解决多边形、扇形的基础计数和简单计算，规范书写，理清图形要素。 8.辨析易错点：正多边形需要同时满足边等、角等；弧是曲线，弦是线段，不要混淆概念。 题型 考察方向 难度 题型一 多边形的概念与分类 ★ 题型二 正多边形概念辨析 ★ 题型三 多边形截角后的边数问题 ★★ 题型四 多边形的周长 ★ 题型五 网格中多边形面积比较 ★★ 题型六 多边形对角线的条数问题 ★★ 题型七 对角线分成的三角形个数问题 ★★ 题型八 圆的基本概念辨析 ★ 题型九 圆的周长和面积问题 ★★ 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 多边形定义与判定 1. 定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 判定三大条件（缺一不可） ① 全部由线段围成（不能含曲线）； ② 线段不在同一直线，首尾顺次相接； ③ 图形必须封闭，有内部、外部区分。 3. 命名规则 按边数命名：几条边就叫几边形。 例：3 条边→三角形；4 条边→四边形；5 条边→五边形；n 条边→n 边形（n3，且n为正整数）。 知识点 02 多边形的组成要素（顶点、边、内角、对角线） 要素名称 定义 图示说明 基础规律 顶点 相邻两条线段的公共端点 n 边形顶点数 = 边数 边 围成多边形的每一条线段 n 边形边数 = 顶点数 内角 多边形相邻两条边组成的内部角 每个顶点对应 1 个内角 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发对角线：n-3条 知识点03:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 知识点 04正多边形 1. 定义 各边长度完全相等，各个内角大小完全相等的多边形叫做正多边形。 2. 两大必备条件（必须同时满足） ① 各边相等； ② 各内角相等。 ⚠️易错提醒：只边长相等≠正多边形（例：菱形四边相等，但内角不等，不是正四边形）；只内角相等≠正多边形（长方形四角相等，边长不等，不是正四边形）。 3.常见正多边形对应名称 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形…… 正n边形。 知识点 05 多边形分类（凸多边形 / 凹多边形） 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 特征：所有内角都小于180 ，课本只研究凸多边形。 凹多边形：存在至少一条边，直线两侧都有图形；存在大于180的内角（凹角），本章不深入考察。 知识点 06：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 知识点 07：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 名称 文字定义 符号 / 关键特征 易错区分 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 同圆半径全部相等 线段，不是射线 直径 经过圆心，两端点都在圆上的线段 直径=2×半径(d=2r) 圆内最长线段 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是特殊的弦 不经过圆心的弦只是普通弦 弧 圆上任意两点之间的部分 两点分圆为两段弧 弧是曲线，弦是线段 半圆 直径分圆得到的两段弧，每一段都是半圆 半圆长度 = 圆周长一半 半圆≠圆的一半图形 优弧 大于半圆的弧 书写用三个字母（区分劣弧） 例： 劣弧 小于半圆的弧 书写两个字母即可 例： 圆心角 顶点在圆心，两边都是半径的角 角度范围0360 顶点必须在圆心，圆上角不是圆心角 关键区分要点 1.弦是线段，弧是曲线，二者不能等同； 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径； 3.半圆既不是优弧，也不是劣弧； 4.表示优弧必须写三个字母，防止和劣弧混淆。 题型一：多边形的概念与分类 1．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 2．如图，图中的凸四边形有________个． 3．如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（    ） A．只有三角形 B．只有三角形和四边形 C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形 题型二：正多边形概念辨析 4．下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C．D． 5．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型三：多边形截角后的边数问题 7．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 9．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 题型四：多边形的周长 10．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 11．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 12．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____． 题型五：网格中多边形面积比较 13．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 14．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 题型六：多边形对角线的条数问题 16．过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是______条． 17．若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 18．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 题型七：对角线分成的三角形个数问题 19．已知一个多边形从一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，得到个三角形，那么它是（    ） A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十四边形 20．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 21．（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成_____个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成_____个三角形． 题型八：圆的基本概念辨析 22．根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 23．如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是_____________． 24．说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九：圆的周长和面积问题 25．如图，有一个直径为个单位长度的铁环，若铁环上一点A与数轴上表示2的点重合，小明带着铁环刚好滚动一周，则铁环滚动后点A的对应点对应数轴上的数为（    ） A． B．或 C． D．或 26．要画一个周长是28.26厘米的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量取 ________ 厘米（取）． 27．如图，M是圆上一点，把圆在尺子上顺时针无滑动地滚一周后，M点的位置在（ ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 题型十：圆心角概念辨析及简单运算 28．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 29．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 解答题 31．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 32．（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 33．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 34．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 35．按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10多边形和圆的初步认识复习讲义 1.认识多边形，能识别多边形的顶点、边、内角、对角线，理解多边形的定义，区分凸多边形。 2.掌握多边形对角线相关结论，会计算 n 边形对角线条数，知道从一个顶点出发可引出的对角线数量、分割成三角形的个数。 3.理解正多边形的概念，明确正多边形各边相等、各角也相等，能判断一个多边形是否为正多边形。 4.认识圆、圆弧、扇形、圆心角，分清弦、半径、直径的含义，看懂圆相关图形的标注。 5.掌握圆心角、扇形面积与圆面积的关系，会根据圆心角度数求扇形占整个圆的比例。 6.能进行圆心角度数的简单计算，结合份数、比例求出对应扇形的圆心角。 7.会解决多边形、扇形的基础计数和简单计算，规范书写，理清图形要素。 8.辨析易错点：正多边形需要同时满足边等、角等；弧是曲线，弦是线段，不要混淆概念。 题型 考察方向 难度 题型一 多边形的概念与分类 ★ 题型二 正多边形概念辨析 ★ 题型三 多边形截角后的边数问题 ★★ 题型四 多边形的周长 ★ 题型五 网格中多边形面积比较 ★★ 题型六 多边形对角线的条数问题 ★★ 题型七 对角线分成的三角形个数问题 ★★ 题型八 圆的基本概念辨析 ★ 题型九 圆的周长和面积问题 ★★ 题型十 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 多边形定义与判定 1. 定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 判定三大条件（缺一不可） ① 全部由线段围成（不能含曲线）； ② 线段不在同一直线，首尾顺次相接； ③ 图形必须封闭，有内部、外部区分。 3. 命名规则 按边数命名：几条边就叫几边形。 例：3 条边→三角形；4 条边→四边形；5 条边→五边形；n 条边→n 边形（n3，且n为正整数）。 知识点 02 多边形的组成要素（顶点、边、内角、对角线） 要素名称 定义 图示说明 基础规律 顶点 相邻两条线段的公共端点 n 边形顶点数 = 边数 边 围成多边形的每一条线段 n 边形边数 = 顶点数 内角 多边形相邻两条边组成的内部角 每个顶点对应 1 个内角 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发对角线：n-3条 知识点03:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 知识点 04正多边形 1. 定义 各边长度完全相等，各个内角大小完全相等的多边形叫做正多边形。 2. 两大必备条件（必须同时满足） ① 各边相等； ② 各内角相等。 ⚠️易错提醒：只边长相等≠正多边形（例：菱形四边相等，但内角不等，不是正四边形）；只内角相等≠正多边形（长方形四角相等，边长不等，不是正四边形）。 3.常见正多边形对应名称 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形…… 正n边形。 知识点 05 多边形分类（凸多边形 / 凹多边形） 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 特征：所有内角都小于180 ，课本只研究凸多边形。 凹多边形：存在至少一条边，直线两侧都有图形；存在大于180的内角（凹角），本章不深入考察。 知识点 06：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 知识点 07：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 名称 文字定义 符号 / 关键特征 易错区分 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 同圆半径全部相等 线段，不是射线 直径 经过圆心，两端点都在圆上的线段 直径=2×半径(d=2r) 圆内最长线段 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是特殊的弦 不经过圆心的弦只是普通弦 弧 圆上任意两点之间的部分 两点分圆为两段弧 弧是曲线，弦是线段 半圆 直径分圆得到的两段弧，每一段都是半圆 半圆长度 = 圆周长一半 半圆≠圆的一半图形 优弧 大于半圆的弧 书写用三个字母（区分劣弧） 例： 劣弧 小于半圆的弧 书写两个字母即可 例： 圆心角 顶点在圆心，两边都是半径的角 角度范围0360 顶点必须在圆心，圆上角不是圆心角 关键区分要点 1.弦是线段，弧是曲线，二者不能等同； 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径； 3.半圆既不是优弧，也不是劣弧； 4.表示优弧必须写三个字母，防止和劣弧混淆。 题型一：多边形的概念与分类 1．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 2．如图，图中的凸四边形有________个． 【答案】 【详解】解：图中的凸四边形为四边形，四边形，四边形，共3个． 3．如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（    ） A．只有三角形 B．只有三角形和四边形 C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形 【答案】C 【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形. 【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C． 【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键． 题型二：正多边形概念辨析 4．下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型三：多边形截角后的边数问题 7．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 8．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 9．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 题型四：多边形的周长 10．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 11．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 12．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为_____． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 题型五：网格中多边形面积比较 13．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 14．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 题型六：多边形对角线的条数问题 16．过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是______条． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题关键．根据“边形从一个顶点出发可引出条对角线”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 过多边形的一个顶点能引出条对角线， ， 解得， 故答案为：． 17．若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解． 【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线， 可知该多边形的边数为， ∴这个多边形对角线的总数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键． 18．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 题型七：对角线分成的三角形个数问题 19．已知一个多边形从一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，得到个三角形，那么它是（    ） A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十四边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律．根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形作答． 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得：， 故多边形是十四边形． 故选：D． 20．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，直接利用“n边形一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形”列出方程解方程． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：D． 21．（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成_____个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成_____个三角形． 【答案】 / 【分析】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 题型八：圆的基本概念辨析 22．根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的定义；根据圆的定义，定点为圆心，点到的距离为定长，即半径． 【详解】解：由圆的定义可知，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点为圆心，定长为半径，故半径为． 故答案为：． 23．如果在中，边固定且上的中线长为，那么顶点的轨迹是_____________． 【答案】以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点 【分析】本题考查了圆的运动轨迹，三角形中线，设的中点为D，则，故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆，为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点，从而得出答案． 【详解】解：设的中点为D，则， 故顶点A的轨迹是以D为圆心，以长为半径的圆， 因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以除去圆与直线的两个交点， 故答案为：以线段的中点为圆心，以长为半径的圆，除去该圆与直线的两个交点． 24．说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可． 【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误； ②半径相等的两个半圆是等弧，正确； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； ④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误； ⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误； 综上，正确的有：②③，共2个， 故选：B． 题型九：圆的周长和面积问题 25．如图，有一个直径为个单位长度的铁环，若铁环上一点A与数轴上表示2的点重合，小明带着铁环刚好滚动一周，则铁环滚动后点A的对应点对应数轴上的数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长，数轴上点平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 求出圆的周长，然后根据平移的性质进行求解即可． 【详解】解：圆的周长为， 点对应的数是2， ∴铁环滚动后点对应的数为或， 故选：D． 26．要画一个周长是28.26厘米的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量取 ________ 厘米（取）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式及圆规的使用原理，解题的关键是根据圆的周长求出半径，圆规两脚间的距离即为圆的半径． 利用圆的周长公式变形得到，代入已知周长和计算出半径． 【详解】解：已知圆的周长 ，， 由圆的周长公式 ，得． 27．如图，M是圆上一点，把圆在尺子上顺时针无滑动地滚一周后，M点的位置在（ ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．从图中可知：这个圆的半径是，圆在尺子上滚一周后，前进的长度就是圆的周长，根据圆的周长：，代入数据计算，即可求出M点的位置． 【详解】解： 所以M点的位置在和之间， 故选：A． 题型十：圆心角概念辨析及简单运算 28．下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义． 29．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 30．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 解答题 31．如图，从多边形任意一边的中点出发，分别连接这个点与其余各顶点（左右相邻顶点除外），可以得到若干条线段，我们把这样的线段叫作“对边线”． 数一数每个多边形中所得“对边线”的条数，你能发现什么规律？ 【问题思考】 （1）结合所给图形思考，从多边形的一边中点出发，可以得到的“对边线”数量，并填写下表： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 __________ ___________ _____________ ____________ 【问题探究】 （2）试着总结边形的“对边线”条数； （3）猜想边形所有边上一共有多少条“对边线”？ 【答案】（1）1，2，3，4；（2）由表可以得出边形的“对边线”有条；（3）条． 【分析】此题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握“对边线”的概念． （1）根据“对边线”的概念求解即可； （2）根据（1）中的结果总结求解即可； （3）由题意得到边形一条边上有条“对边线”，然后结合边形有m条边求解即可． 【详解】（1）根据题意得，三角形有1条“对边线”，四边形有2条“对边线”，五边有3条“对边线”，六边形有4条“对边线”， 列表如下： 多边形边数 三 四 五 六 “对边线”条数 1 2 3 4 （2）由（1）得，边形的“对边线”条数为； （3）根据题意得，边形一条边上有条“对边线” ∵边形有m条边 ∴边形所有边上一共有条“对边线”． 32．（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？    （2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ （4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？ 【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【分析】（1）根据图形，求解即可； （2）依据题中的图形，求解即可； （3）依据题中的图形，求解即可； （4）根据前面三种情况求解即可． 【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等； （2）可以得到4个三角形，它等于边数减1； （3）可以得到4个三角形，它等于边数减2； （4）由前面的性质可得，若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形． 【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质． 33．如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】略 34．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 35．按要求计算下面各题 (1)计算涂色部分的周长与面积（单位：厘米） (2)如图所示，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，求的长． 【答案】(1)涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； (2)的长是15厘米． 【分析】本题主要考查组合图形的周长和面积的计算，关键利用转化思想解答． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出涂色部分的周长，通过割补转化为半圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答； （2）根据图示可知，若涂色甲的面积比涂色乙的面积大7平方厘米，则半圆面积比三角形面积大7平方厘米，据此计算的长即可． 【详解】（1）解：涂色部分的周长是 （厘米） 涂色部分的面积是 （平方厘米） 答：涂色部分的周长是厘米，涂色部分的面积是平方厘米； （2）解： （厘米） 答：的长是15厘米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $