模块2 专题11 圆（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

5年389考占5-10分 专题11圆 二级结论 托勒密定理. 二级结论托勒密定理高频考点 警 秒解结论 推导过程 如图，四边形ABCD为圆内接 如图，在BD上找一点E,使∠BAE=∠DAC. 凸四边形，AC,BD为四边形 ,∠ABD和∠ACD都对应AD ABCD的对角线，则AB·CD+ ∴.∠ABD=∠ACD, AD·BC=AC·BD ∴.△ABE∽△ACD “把器 AC 即AB·CD=AC·BE.① 又，∠ADB和∠ACB都对应AB, 题干搜索：四边形ABCD为圆 ∴.∠ADB=∠ACB 内接凸四边形，求四边形的四 又∠BAE=∠DAC, 条边和两条对角线之间的数量 ∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 关系 即∠BAC=∠DAE, ∴.△AED∽△ABC, ·梁認 即AD·BC=AC·ED.② ①+②，得AB·CD+AD·BC=AC·BE+AC· ED=AC·(BE+ED)=AC·BD 宣向秒解典例如图，以AB为直径的⊙0中，C为⊙O上一点，且∠ABC=30°， ∠ACB的平分线交⊙O于点D,连接AD,BD,若AB=4,求CD的长. -57- 切中敏理代二级匙结论秒解 二级结论解法 结论秒解技法 解析：，AB为⊙O的直径， 四边形ACBD为⊙O的内接 ∴.∠ADB=∠ACB=90° 凸四边形，符合托勒密定理的 .·∠ABC=30°，AB=4, 特征，因此可以直接利用“二 ·在Rt△ABC中，AC=5AB=2, 级结论”快速解决问题 由勾股定理，得BC=√AB-AC=√4？-2= 学 2√3. ,∠ACB的平分线交⊙O于点D, ∴.∠ACD=∠BCD,∴.AD=BD,AD=BD, ∴.△ABD为等腰直角三角形， .AD=BD=2AB=22 2 .·四边形ACBD为⊙O的内接四边形， ∴.由托勒密定理，可知AC·BD+AD·BC= AB·CD,即2×2V2+2√2×2V3=4CD,解 得CD=√2+√6. 必练习题 1.（武汉·模拟)如图，⊙O中有圆内接四边形ABCD,已知BD=8,CD=5,AB=6, ∠BDC=60°，则AD的长为( A.8V22-5 B.8V22-6 7 C.822-7 D.8V22-8 B 7 7 2.如图，Rt△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD平分∠ACB交 ⊙O于点D,求CD的长. D -58-初中数理代二级结论秒解 ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG .∠EAF=45°， ..∠DAE+∠DAF=45°， ∴.∠DAE+∠BAG=45°， .∴.∠GAE=∠EAF=45° 在△AGE和△AFE中， (AG=AF. ∠GAE=∠FAE, AE=AE, .△AGE≌△AFE(SAS), .∴.GE=EF ·GE=BE-BG=BE-DF, .EF=BE-DF. 专题1圆 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, BC=8, 由勾股定理，得AB=√AC+BC2= √62+82=10. .·AB为⊙O的直径， .∴.∠ADB=90° .CD平分∠ACB,∠ACD=∠BCD, .BD=AD. 在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD+AD2=AB2, ..2AD=100, 解得AD=5√2（负值已舍去）， .BD=AD=52 根据托勒密定理，得AB·CD=AC· -178- BD+AD·BC, 即10CD=6×52+5√2×8， 解得CD=72, 专题2切线长与切线长定理 1.5 2.10cm 3.解：由相交弦定理，可知PA·PB=PD· PC. PA=3,PB=8,CD=10, .PC=10-PD, .PD·(10-PD)=3×8, 解得PD=4或PD=6. 当PD=4时，PC=6: 当PD=6时，PC=4. PD>PC,∴.PD=6. 4.解：直线ED为⊙O的切线，AD为弦， 根据弦切角定理可知，∠ABD=∠ADE= 19° BD为⊙O的直径， .∴.∠BAD=90° .·AC平分∠BAD, ∠BAF=)∠BAD=450. 在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAF- ∠ABD=180°-45°-19°=116°. 专题13三角形的内切圆 1.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8, AB=10,由勾股定理，得AC=√AB2-BC= /102-82=6.