模块2 专题10 正方形（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

.·四边形ADCF是矩形. 根据矩形“距离的平方和相等”模型，可 知BF2=BA2+BC2-BD2=102+82-42= 148,.BF=2√/37（负值已舍去）. 专题9菱形 1.A 2.解：AC⊥BD .四边形ABCD为“垂美”四边形 ∴.根据“垂美”四边形模型，可得AB2+ CD2=AD2+BC2,即122+20=AD2+162, 则AD2=288, .AD=12√2（负值已舍去）. 3.解：如图连接CG,BE. G ,四边形ACFG,四边形ABDE均为正 方形， ∴.∠CAG=∠BAE=90°， ∴.∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC, 即∠GAB=∠CAE. 在△GAB和△CAE中， AG=AC, ∠GAB=∠CAE, AB=AE, ∴.△GAB≌△CAE(SAS), ∴.∠ABG=∠AEC. 又.·∠AEC+∠AME=90°， 参考答案 ∴.∠ABG+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠BMC=90°， ∴.∠BNM=90°，即CE⊥BG, ∴.四边形CGEB是“垂美”四边形， ∴.根据“垂美”四边形模型，可得 CG+BE2=BC2+GE2」 .AC=4,AB=5, ∴.AG=AC=4,AE=AB=5. 在Rt△ABC,Rt△ACG,Rt△ABE中， 由勾股定理，得BC=3,CG=4√2，BE= 52， .GE2=CG2+BE2-BC2=32+50-9=73, ∴.GE=73(负值已舍去). 专题10正方形 1.EF=BE+DF 2.(1 EF=BE+DF. (2)解：EF=BE-DF 理由如下：如图，在边BC上截取BG= DF,连接AG B G ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB,∠ABG=∠ADF=∠BAD= 90°. (AD=AB. 在△ADF和△ABG中，{∠ADF=∠ABG, DF=BG, .△ADF≌△ABG(SAS), -177- 初中数理代二级结论秒解 ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG .∠EAF=45°， ..∠DAE+∠DAF=45°， ∴.∠DAE+∠BAG=45°， .∴.∠GAE=∠EAF=45° 在△AGE和△AFE中， (AG=AF. ∠GAE=∠FAE, AE=AE, .△AGE≌△AFE(SAS), .∴.GE=EF ·GE=BE-BG=BE-DF, .EF=BE-DF. 专题1圆 1.B 2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, BC=8, 由勾股定理，得AB=√AC+BC2= √62+82=10. .·AB为⊙O的直径， .∴.∠ADB=90° .CD平分∠ACB,∠ACD=∠BCD, .BD=AD. 在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD+AD2=AB2, ..2AD=100, 解得AD=5√2（负值已舍去）， .BD=AD=52 根据托勒密定理，得AB·CD=AC· -178- BD+AD·BC, 即10CD=6×52+5√2×8， 解得CD=72, 专题2切线长与切线长定理 1.5 2.10cm 3.解：由相交弦定理，可知PA·PB=PD· PC. PA=3,PB=8,CD=10, .PC=10-PD, .PD·(10-PD)=3×8, 解得PD=4或PD=6. 当PD=4时，PC=6: 当PD=6时，PC=4. PD>PC,∴.PD=6. 4.解：直线ED为⊙O的切线，AD为弦， 根据弦切角定理可知，∠ABD=∠ADE= 19° BD为⊙O的直径， .∴.∠BAD=90° .·AC平分∠BAD, ∠BAF=)∠BAD=450. 在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAF- ∠ABD=180°-45°-19°=116°. 专题13三角形的内切圆 1.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8, AB=10,由勾股定理，得AC=√AB2-BC= /102-82=6.5年416考占5-10分 专题10 正方形 二级结论 正方形中的“半角”模型。 二级结论正方形中的“半角”模型 高频考点 警 秒解结论 推导过程 如图，在正方形ABCD中， 如图，把△DAF绕点A顺时针旋转90°，得 ∠EAF=45°，则BE+DF=EF 到△BAG,则△DAF≌△BAG, D ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG,DF=BG, ∠ABG=∠ADF=90° .∠ABG+∠ABE=180°， 即G,B,E三点共线 B ,∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°， 题干搜索：在正方形中，有两个 ∴.∠BAE+∠BAG=∠GAE=45° 角共顶点，其中一个角（∠EAF= ∴.∠GAE=∠FAE 45°)是另一个角（∠BAD=90°） 在△GAE和△FAE中， 的一半. (AG=AF, ∠GAE=∠FAE, AE=AE, ∴.△GAE≌△FAE(SAS), ∴.GE=EF, ∴.BE+DF=BE+GB=GE=EF 配拓展提升：“半角”模型在等腰直角三角形以及邻边相等且对角互补的四边形 中同样适用 向秒解典例如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，∠EAF= 45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为 -55- 切中理比二级匙结论秒解 二级结论解法 结论秒解技法 解析：在正方形ABCD中，∠EAF=45°， 在正方形中，有两个角共顶 ∠BAD=90°， 点，其中一个角是另一个角的 根据“半角”模型，可得EF=DF+BE. 一 半，直接利用“二级结论” .:△ECF的周长为6， 进行计算. 数 .∴.CF+CE+EF=6, .CF+CE+DF+BE=CD+CB=2CD=6, ∴.CD=3. 必练习题 1.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=120°，E,F分别为AB,AD上的点， ∠ECF=∠A=60°，则线段EF,BE,DF之间的数量关系是 2.(1)如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF, EF若∠EAF=45°，则BE,EF,DF之间的数量关系为 (2)如图②，当点E,F分别在线段BC,CD的延长线上，且∠EAF=45°时，试探 究BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由 B ① ② -56-