36 方法专题十 十字模型-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省中考数学全练本Word练习（五四制）

1.如图所示,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点G,交CD于点F,若BG=2BE,则DF∶CF的长为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.(1)如图1,在矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H。求证:=。 (2)如图2,在满足(1)的条件下,作AM⊥BN,点M,N分别在边BC,CD上。若=,则 的值为　　　　。  3.已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G。 问题初探 如图1,若四边形ABCD是正方形,且DE⊥CF,则DE与CF的数量关系是　　　　。  类比延伸 (1)如图2,若四边形ABCD是矩形,AB=m,AD=n,且DE⊥CF,则=　　　　。(用含m,n的代数式表示)  (2)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,当∠B+∠EGC=180°时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由。 拓展探究 如图4,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出 的值。 方法专题十　十字模型 1.A 2.(1)证明:如图,过点A作AP∥EF,交CD于点P,过点B作BQ∥GH,交AD于点Q,交AP于点T。 ∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,AD∥BC, ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形, ∴AP=EF,BQ=GH。 ∵GH⊥EF,∴AP⊥BQ,∴∠QAT+∠AQT=90°。 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAB=90°, ∴∠DAP+∠DPA=90°,∴∠DPA=∠AQT, ∴△PDA∽△QAB,∴=,∴=。 (2)解: 提示:∵AM⊥BN,∠ABM=90°, ∴∠MAB+∠ABN=∠ABN+∠NBC=90°, ∴∠NBC=∠MAB,∴△NBC∽△MAB, ∴==。 ∵由(1)结论可得=, ∴==。 3.解:问题初探 DE=CF　提示:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠FDC=90°,AD=CD。 ∵CF⊥DE,∴∠DGF=90°, ∴∠ADE+∠DFC=90°,∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED=∠DFC。 在△AED和△DFC中, ∴△AED≌DFC(AAS),∴DE=CF。 类比延伸 (1) 提示:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠FDC=90°,CD=AB=m。 ∵CF⊥DE,∴∠DGF=90°, ∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED=∠DFC。 ∵∠A=∠CDF,∴△AED∽△DFC, ∴==。 (2)成立。证明如下: 当∠B+∠EGC=180°时,如图1,在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM。 ∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM。 ∵∠B+∠EGC=180°, ∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED,∴∠AED=∠DMC, ∴△ADE∽△DCM, ∴=,即=。 拓展探究　=。 提示:如图2,过点C作CN⊥AD于点N,CM⊥AB交AB延长线于点M,连接BD,设CN=x。 ∵∠BAD=90°,即AB⊥AD, ∴∠A=∠M=∠CNA=90°, ∴四边形AMCN是矩形, ∴AM=CN,AN=CM。 在△BAD和△BCD中, ∴△BAD≌△BCD(SSS), ∴∠BCD=∠A=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°。 ∵∠ABC+∠CBM=180°, ∴∠MBC=∠ADC。 ∵∠M=∠CND=90°,∴△BCM∽△DCN, ∴=,∴=,∴CM=x。 在Rt△CMB中,CM=x,BM=AM-AB=x-6, 由勾股定理得BM2+CM2=BC2, ∴(x-6)2+(x)2=62, 解得x=0(舍去)或x=,∴CN=。 ∵∠A=∠FGD=90°,∴∠AED+∠AFG=180°。 ∵∠AFG+∠NFC=180°,∴∠AED=∠NFC。 ∵∠A=∠CNF=90°,∴△AED∽△NFC, ∴===。 学科网（北京）股份有限公司 $