模块2 专题9 菱形（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

切中理比二级结论秒解 5年420考占5-10分 专题9 菱形 (1)“垂美”四边形； 二级结论 (2)含60°角的菱形. 警 二级结论①“垂美”四边形 高频考点 秒解结论 推导过程 如图，在四边形ABCD中， :AC⊥BD, 对角线AC⊥BD,垂足为O ∴.△AOD,△BOC,△AOB,△COD都是直角三 则AB2+CD2=AD2+BC2 形 根据勾股定理，得 OA2+OD2=AD2,① OB2+OC2=BC2,② OA2+OB2=AB2,③ 题干搜索：在对角线互相垂 OC2+OD2=CD2,④ 直的四边形中，已知四边形 ①+②，得OA2+OD2+OB2+OC2=AD2+BC2 的其中三条（或两条）边的 ③+④，得OA2+OB2+OC2+OD2=AB2+CD2, 长度，求第四条边的长度 ∴.AB2+CD2=AD2+BC2 (或另两条边的平方和). 园拓展提升：若对角线互相垂直的四边形ABCD的外接圆半径为R,则AB+ CD2=AD2+BC2=4R2. 盒秒解典例1如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠AOD=90°. 若AD=√10，BC=√3，则AB2+CD= B -52- 模块©图形与几何 二级结论解法 结论秒解技法 解析：在四边形ABCD中，∠AOD=90°，根据“垂 已知四边形ABCD是“垂 美”四边形，可知AB+CD=AD2+BC=(√10)2+ 美”四边形，可直接利用 “二级结论1”计算. (V3)2=10+3=13. 数 二 级结论②含60°角的菱形高频考点 秒解结论 推导过程 如图，四边形ABCD是菱形， 如图，过点A作AE⊥BC,垂足为E 对角线AC与BD交于点O, 且∠ABC=60°，则 (1)∠ABD=∠CBD=30°； (2)△ABC和△ACD均为等 .四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， 边三角形； ·∠ABD=∠CBD=号∠ABC=30°[结论(1)]， (3)AB:AD:BD=1:1:√3； AB=BC=CD=AD,AC⊥BD 1 (4)S菱形ABCD=方AC·BD= ∴.△ABC和△ACD均为等边三角形[结论(2)]」 3 2 BC2. 在Rt△BOC中，OB=BC·cos30°=3BC ∴.BD=2OB=√3BC, AB:AD:BD=1:1:√3[结论(3)门. 在Rt△ABE中，AE=AB·sin6O°=3AB= 题干搜索：菱形、60°角 3 BC, 2 S形D=BC·AE=5BC2[结论(4]. 宣秒解典例2如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=120°，对角线AC与BD交于 点O,E为AB的中点，连接OE.若AC=12,则OE的长是() E B A.6 B.5 C.4 D.3 -53- 刀中敏理代二级结论秒解 二级结论解法 结论秒解技法 解析：易知∠ABC=∠ADC=60°，由含60°角的菱 由四边形ABCD是菱形， 形，可知△ABC是等边三角形， ∠DAB=120°，可识别出 .∴.BC=AB=AC=12 含60°角的菱形，可直接 ,E为AB的中点，O为AC的中点， 利用“二级结论2”快速 求解. ·0B=3BC=6 学 必练习题· 1.已知菱形ABCD的周长为16，有一个内角为60°，则此菱形的面积为( A.8V3 B.6V3 C.4v3 D.2√3 2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,AB=12,BC=16,CD=20,求AD的长 D 3.如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正 方形ABDE,连接CE,BG交于点N,连接GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长. B 0 -54.·四边形ADCF是矩形. 根据矩形“距离的平方和相等”模型，可 知BF2=BA2+BC2-BD2=102+82-42= 148,.BF=2√/37（负值已舍去）. 专题9菱形 1.A 2.解：AC⊥BD .四边形ABCD为“垂美”四边形 ∴.根据“垂美”四边形模型，可得AB2+ CD2=AD2+BC2,即122+20=AD2+162, 则AD2=288, .AD=12√2（负值已舍去）. 3.解：如图连接CG,BE. G ,四边形ACFG,四边形ABDE均为正 方形， ∴.∠CAG=∠BAE=90°， ∴.∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC, 即∠GAB=∠CAE. 在△GAB和△CAE中， AG=AC, ∠GAB=∠CAE, AB=AE, ∴.△GAB≌△CAE(SAS), ∴.∠ABG=∠AEC. 又.·∠AEC+∠AME=90°， 参考答案 ∴.∠ABG+∠AME=90°， ∴.∠ABG+∠BMC=90°， ∴.∠BNM=90°，即CE⊥BG, ∴.四边形CGEB是“垂美”四边形， ∴.根据“垂美”四边形模型，可得 CG+BE2=BC2+GE2」 .AC=4,AB=5, ∴.AG=AC=4,AE=AB=5. 在Rt△ABC,Rt△ACG,Rt△ABE中， 由勾股定理，得BC=3,CG=4√2，BE= 52， .GE2=CG2+BE2-BC2=32+50-9=73, ∴.GE=73(负值已舍去). 专题10正方形 1.EF=BE+DF 2.(1 EF=BE+DF. (2)解：EF=BE-DF 理由如下：如图，在边BC上截取BG= DF,连接AG B G ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB,∠ABG=∠ADF=∠BAD= 90°. (AD=AB. 在△ADF和△ABG中，{∠ADF=∠ABG, DF=BG, .△ADF≌△ABG(SAS), -177-