模块2 专题1 三角形的高、中线、角平分线（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

模块已 图形与几何 5年450考占3~12分 专题1三角形的高、中线、角平分线 擎 (1)三角形的中线把三角形分为6个面积相等的小三角形： 二级结论 (2)“高+二倍角”模型； (3)“角平分线+二倍角”模型. 二级结论① 三角形的中线把三角形分为6个面积相等的小三角形 秒解结论 推导过程 如图，在△ABC中，D,E, 如图，连接DF F分别为边AB,BC,AC 的中点，0为重心，则 SAADO=SABDO=SABOE SACOE=SACOF=S△4oF. ,D为AB的中点， ∴.AD=BD :△ADO和△BDO等底同高， .SAADO=S△BDO 题干搜索：重心、面积. 同理可得SACOF=SAM4OF,SAOE=S△cOE 易知DF为△ABC的中位线， ∴.DF∥BC, ∴.点D与点F到BC的距离相等， .△BCD和△BCF同底等高， SABCD=SARCF SAWDO=SACOF 同理可得SADO=SCOE,SABOE=S △AOF -24- 模块©图形与几何 二级结论②“高+二倍角”模型/高频考点 秒解结论 推导过程 如图，在△ABC中，B= 方法一：截长法。 2∠C,AD⊥BC于点D, 如图，在DC上截取DE=DB,连接AE. 则AB+BD=CD AD⊥BC,∴.AE=AB,.∠AED=∠B. 又∠B=2∠C, 警 .∠AED=2∠C. B D .∠AED=∠EAC+∠C, B D 题干搜索：在三角形中， ∴.∠EAC=∠C,∴AE=EC, 一个内角是另一个内角 .'AB=EC,.'AB+BD=EC+DE CD 的2倍，且第三个内角 方法二：补短法. 对边上的高把对边分成 如图，延长DB至点F,使BF=AB,连接AF, 两部分. 则∠BAF=∠F, 秒解口诀：角二倍，作高 '∠ABC=2∠C,∠ABC=∠BAF+∠F=2∠F, 线，和为长边段 ∴.∠C=∠F, ∴.AF=AC. A 又AD⊥BC, ∴.DF=CD, B D ∴.AB+BD=BF+BD=DF=CD 向秒解典例1如图，在△ABC中，AB=10,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,且BD= DE,求EC的长 二级结论解法 结论秒解技法 解析：：∠B=2∠C,ADLBC, 在△ABC中，∠B=2∠C,ADLBC, ∴.根据“高+二倍角”模型，可得 直接利用“二级结论2”计算即可： AB+BD=CD. 又CD=DE+EC,BD=DE, .EC=AB=10. -25- 切中理比二级结论秒解 二级结论③“角平分线+二倍角”模型高频考点 秒解结论 推导过程 如图，在△ABC中， 方法一：截长法 ∠B=2∠C,AD是角 如图，在AC上截取AE=AB,连接DE A 平分线，则AB+BD= 学 AC. B D C :AD平分∠BAC,∠BAD=∠EAD 又：AB=AE,AD=AD, ∴.△ABD≌△AED(SAS), 题干搜索：在三角形 ∴.BD=ED,∠B=∠AED 中，一个内角是另一 又：∠B=2∠C,∠AED=∠EDC+∠C, 个内角的2倍，且第 ∴∠EDC=∠C,.DE=CE,∴.BD=CE, ∴.AB+BD=AE+CE=AC. 三个内角的平分线把 方法二：补短法 其对边分成两部分 如图，延长AB至点F,使BF=BD,连接DF, 则∠BDF=∠F :AD平分∠BAC,∠FAD=∠CAD :∠ABD=∠BDF+∠F=2∠F=2∠C, ∴.∠F=∠C. 又，AD=AD B ∴.△AFD≌△ACD(AAS), D .AF=AC. 又：AF=AB+BF=AB+BD,∴.AB+BD=AC. 向秒解典例2如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是角平分线，AC=4,CD=2, 则AB= 二级结论解法 结论秒解技法 解析：根据“角平分线+二倍角”模型，可得 在△ABC中，∠C=2∠B,AD AB=AC+CD=4+2=6. 是角平分线，直接利用“二级 结论3”计算即可 -26- 模块三图彩与几何 必练习题· 1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，有下列两 个结论：①AB+BD=DC;②AB+BE=AC.下列说法正确的是() EDB A.只有①正确 B.只有②正确 学 C.①②都正确 D.①②都不正确 2.(宜昌·模拟)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,∠ABC的平分线交AC于点Q, ∠BAC的平分线交BC于点P.若△ABO的周长为18，BP=4,求AB的长 3.如图，在△ABC中，ADLBC于点D,∠B=2∠C.若AC=45,AB=5,求BD的长. -27-刀中数理代二级结论秒解 3.解：由(a-1)2+1ab-21=0,可得a-1= 0,ab-2=0,∴.a=1,b=2, “原式，1 1 1 x2+2×3+3x4+…+ 1.11.11 2027x20281-2+23+34 十。十 12027 202720282028 专题7二元一次方程（组) 1.B2.C3.A4.C5.D 6.解：该方程组有无数组解，∴.由二元 一次方程组的解的判断，可知6=1 63 1 1,解得k= 专题8锐角三角函数 724 1.2525 2.30°3.135 4.解：如图，分别过点A,B作AD⊥x轴于 点D,BC⊥y轴于点C. 3 C B 2 D 123 A(3,1),B(1,2), ∴.OD=3,AD=1,0C=2,BC=1, &在RL△AOD中，tan∠A0D=AD, 0D3, BC 1 在Rt△BOC中，tan∠BOC= 0C2 根据“12345”模型，可得∠AOD+∠B0C= 45°， .∠A0B=45. -174- 5.解：.正方形ABCD的边长为6， ∴.AB=6,∠B=∠BAD=90° 又·BE=2, BE 2 1 ∴.tan∠BAE= AB 6 3 1 .'tan∠DAG= 2 .根据“12345”模型可得，∠BAE+ ∠DAG=45°， ∴.∠EAG=∠BAD-(∠BAE+∠DAG)= 90°-45°=45° 模块二图形与几何 专题1三角形的高、中线、角平分线 1.C 2.解：.AP为△ABC的角平分线，∠ABC= 2∠C, .根据“角平分线+二倍角”模型，可 得AC=AB+BP=AB+4. .BQ为△ABC的角平分线， ∠CBQ=2∠ABC, 又.：∠ABC=2∠C, ∴.∠CBQ=∠C,∴.BQ=CQ .△ABQ的周长为18， .AB+BO+AQ=AB+CO+AO=AB+AC= AB+(AB+4)=18, ∴.AB=7. 3.解：.AD⊥BC,∠B=2∠C, ∴.根据“高+二倍角”模型，可得CD= AB+BD=5+BD. 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= AB2-BD2=25-BD2. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD= AC2-CD2=80-(5+BD)2, 故25-BD2=80-(5+BD)2, 解得BD=3. 专题2三角形的内角 1.40° 2.解：(1).：点D是∠ACB和∠ABC的平 分线的交点， “.根据三角形双内角平分线的夹角模 型，可得∠BDC=90+2∠A=90°+2× 70°=125°. (2).'∠EDC=50°， ∴.∠BDC=180°-∠EDC=180°-50°= 130°. 由（知，∠BDC=90+∠A, ∴.90°+。∠A=130°，即∠A=80°. (3)LBDC=90+2∠A 3.解：，CF平分∠BCD,EF平分∠BED, .根据“8”字形内角平分线的夹角模 型，可得2∠F=∠D+∠B. 又.∠B:∠D:∠F=2:4x, ∴.设∠B=2a,∠D=4a, 则2∠F=∠D+∠B=6a,∴.∠F=3a, ∴.∠B:∠D:∠F=2a:4a:3ax=2:4:3, .x=3. 参考答案 专题3三角形的外角 1.20° 2.解：BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB, ∠I是这两条角平分线的夹角， ∴.根据三角形双内角平分线的夹角模 型，可得∠1=90°+2∠A=90+2×100 2 140°. ·.BM,CM分别平分外角∠DBC,∠BCE, ∠M是这两条外角平分线的夹角， ∴.根据双外角平分线的夹角模型，可 得∠M=90°7∠A=90°2×100 40°， ∴.∠1-∠M=140°-40°=100°. 3.解：：∠A=88°，∠ABC与∠ACD的平 分线相交于点A, ∴.根据内、外角平分线的夹角模型，可 1 1 得∠A=2∠A=2×8=449 Γ2 同理得∠A,=2∠A=22,∠A= 5LA=°，LA4A,=5.59 专题4等腰三角形 1.C2.y=√x2-6x+253.16 4.解：在Rt△ABC中，AB=AC, ∴.△ABC是等腰直角三角形 又∠DAE=45°， ∴.根据等腰直角三角形中的“半角模 型”，可得BE2+CD=DE2, -175-