模块1 专题2 连续自然数的平方和或立方和（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

参考答案 数学 模块一数与代数 (4)方法一：原式=(100÷2)×(100÷2+ 专题1连续自然数的和 =50x51-502=50. 1.100 方法二：原式=(2-1)+(4-3)+(6- 2.n(n+1)110 3.解：(1)原式=(150÷2)×(150÷2+1)= 5)+…+(100-99)=1×50=50. 75×76=5700. 5.解：由题意得44+43+…+2+1= (2)原式=2+4+6+8+…+200-(2+4+ 44×(4+1)=990(次). 2 6+8)》 答：所有人共握了990次手 =(200÷2)×(200÷2+1)-(8÷2)×(8÷ 专题2连续自然数的平方和或立方和 2+1)》 1.A =10100-20 =10080. 2解：(1)原式=10x(10+1)×(2×10+1) 6 4.解：(1)原式=4800-(1+2+3+4+…+ 10×11×21 =385 6 48+49+50)=4800- 50×(50+1) 2 (2)原式=(13+23+33+43+…+203) 3525. (13+2+3+4)= 202×(20+1)2 (2)原式=(1+3+5+…+999)-(1+3+ 4 5*49=9g- =5002 4x(4+1)2-100x41-100=100x(441- 4 52=249975. 1)=100×440=44000. (3)原式=(2+4+6+…+400)-(2+4+：3.解：10个正方形的面积之和S=112+ 6+…+100) 122+132+142+152+162+172+182+192+ =(400÷2)×(400÷2+1)-(100÷2)× 202=(12+22+32+…+202)-(12+22+ (100÷2+1) 32++10)=20x(20+1)×(2×20+1) =40200-2550=37650. 6 -171- 切中敏理代二级结论秒解 10×(10+1)×(2×10+1) 4.解：(1)甲错把n看成了4，得到结果 6 x2+8x+16, =2870-385=2485(cm2). .(x+m)(x+4)=x2+(m+4)x+4m=x2+ 答：这10个正方形的面积之和是 8x+16, 2485cm2. ∴.m+4=8,解得m=4. 4解：(1)S,=n(n+1)(2n+1) ·乙错把m看成-m,得到结果x2+x S2= 6 20, n2(n+1)2 .(x-m)(x+n)=x+(-m+n)x-mn= 4 x2+x-20, (2)当n=6时， ∴.-mn=-20. S-6x(6+1)X(2x6+1D=91, .m=4,∴.n=5. 6 (2)由(1)知m=4,n=5,∴.(x+m)(x+ s,-6x6+1)-41, n)=(x+4)(x+5)=x2+(4+5)x+4×5= 4 x2+9x+20. S2_441_63 s,9113 专题4乘法公式 1.-152.523.4 (3)不正确.理由如下：当n=2时， 4.解：(1)原式=4×2x·3y=24xy S1=12+22=5,S2=13+23=9. (2)原式=(3m)2+n2+(2a)2-2×3mn .…9不能被5整除， 2x3m·2a+2n·2a .S2不是S,的整数倍 =9m2+n2+4a2-6mn-12am+4an. 专题3有理数的乘法与整式的乘法 (3)原式=(2x)3+3×(2x)2·3y+3× 1.D 2x·(3y)2+(3y)3 2.156180 =8x3+3×4x2·3y+3×2x·9y2+27y 3.解：(1)原式=19x20x21-260 =8x3+36x2y+54xy2+27y3. 3 (4)原式=(3y)3-3×(3y)2×1+3×3y× (2)原式=(1×2+2×3+3×4+4× 12-13=27y3-27y2+9y-1. 5+…+29×30)-(1×2+2×3+3×4+4× (5)原式=m3-3m2·5n+3m·(5n)2 5+…+10×11) (5n)3=m3-15m2n+75mn2-125n3. 29×30×3110×11×12 专题5用公式法分解因式 3 =8990-440=8550. 1解：(1)原式= -172-模块●数与代数 5年220考占5-8分 专题2 连续自然数的平方和或立方和 (1)从1到n的连续自然数的平方和； 二级结论 (2)从1到n的连续自然数的立方和. 擎 二级结论①从1到n的连续自然数的平方和高频考点 秒解结论 推导过程 12+22+32+…+n2= 当n=1时，左边=1，右边=1x1+1)×(2×1+1)=1, 6 n(n+1)(2n+1) 左边=右边，即等式成立. 6 题干搜索：求从1开始 假设当n=k时，等式成立， 的连续自然数的平方和 即12+2+32+…+2=k(k+1)(2k+1) 6 则当n=k+1时， 12+22+32+…+2+(k+1)2 =K(k+1)(2k+1)+(k+1)2 6 =(k+1)(2K2+7k+6) 6 =(k+1)(k+2)(2k+3) 6 即当n=k+1时，等式仍然成立 综上，对于任意正整数n,等式均成立. ☑拓展提升：若求从m到n(n>m>1,m,n为正整数)的连续自然数的平方和， 可以用从1到n的连续自然数的平方和减去从1到m-1的连续自然数的平方 和间接求解. 盒秒解典例1证明：12+22+32+42+52的值是5的倍数. -5- 切中敏理代二级匙结论秒解 二级结论解法 结论秒解技法 解析：当n=5时，n(n+1)(2n+1)三 把n=5直接代人“二级结论 6 5×(5+1)x(2×5+1)=5x11, 1”,即可求解。 6 .12+22+32+42+52的值是5的倍数. 学 级结论2从1到n的连续自然数的立方和 秒解结论 推导过程 13+23+33+43+…+n3 ①13=1=12， =(1+2+3+4+…+n)2① 13+23=9=32=(1+2)2, -2(n+122 13+23+33=36=62=(1+2+3)2, 4 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2, 题干搜索：求从1开始的连续 。 自然数的立方和· 根据上面的规律，归纳可得： 13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2 ②当n=1时，左边=1，右边=1×(1+1)2=1， 左边=右边，等式成立 假设当n=k时，等式成立， 即13+2+32+4+…+2=(k+1)2 4 则当n=k+1时， 13+23+33+43+…+2+(k+1)3 =(k+1)2+(k+1) 4 =(k+1)2(2+4k+4) 4 =(k+1)2(k+2)2 4 即当n=k+1时，等式仍然成立. 综上，对于任意正整数n,等式均成立. 国拓展提升：若求从m到n(n>m>1,m,n为正整数)的连续自然数的立方和， 可以用从1到n的连续自然数的立方和减去从1到m-1的连续自然数的立方 和间接求得. 模块●数与代数 念秒解典例2计算：13+23+33+43+…+103 二级结论解法 结论秒解技法 解析：原式=10×(0+1)2=3025 4 把n=10直接代入“二级结论2”， 即可求解 必练习题 学 1.牛44…0 的值为( A.2053351 B.2051325 C.2052338 D.2501325 2.计算： (1)12+22+32+42+…+102: (2)53+63+73+…+203 3.有10个正方形，它们的边长分别为11cm,12cm,13cm,14cm,15cm,16cm, 17cm,18cm,19cm,20cm,求这10个正方形的面积之和. 4.已知S1=12+22+…+n2,S2=13+23+…+n3. (1)请用含n的代数式分别表示S,和S. (2)当n=6时，求受的值. (3)恒恒发现S2总是S,的整数倍，他的发现正确吗？请结合n=2时的计算结果 说明理由. -7-