模块1 专题7 二元一次方程(组)（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

5年389考占5-8分 专题7二元一次方程（组) (1)二元一次方程组的解的判断； (2)特殊一元二次方程的“缺项秒杀”模型； 二级结论 (3)特殊一元二次方程的“偶数系数与倒数根”模型； (4)根与系数的关系的推论 擎 二级结论① 二元一次方程组的解的判断/高频考点 秒解结论 推导过程 对于二元一次方程组 方程①两边同时乘a2,得 「ax+by=c1,① (a1,a2,b1,b2, a1ar+ab1y=a2C1,③ ax+b2y=c2.② 方程②两边同时乘a1,得 C1,C2均不为0) a1ar+ab2y=a1c2,④ 1)若台≠会则方程组有唯一解： ④-③消去未知数x,得 （2)者品-会会则方程组无解， (a b2-ab)y=acz-ac, C2 同理，消去未知数y,得 （8)若品-会-总则方程组有无 (a b2-ab)x=b2c1-bic2. 数组解 设D=a,b2-ab1,分情况讨论： 题干搜索：二元一次方程组有唯一 情况1：D≠0，即a,b≠a,b,等价于≠ 解或无解或有无数组解 a 秒解口诀：比值不等唯一解；比例 么，此时能够计算得到唯一 组x,y的值， 相等常数不等则无解；三比全相 因此方程组有唯一解[结论(1)门. 等，无数组解. 情况2：D=0,即aa=a动，等价于会-会 此时0·x=b2c1-b1c2.若b2c1-b1C2≠0，即 &-会4总，则此等式不可能成立，方程组 a C 无解[结论(2)]； 若6g-00,即品-会总此时x可取 任意值，方程组有无数组解[结论(3)门 切中理比二级结论秒解 ☑拓展提升：ax+by=C1,a2x+b2y=C2(a1,a2,b1,b2,c1,c2均不为0)分别对应 两条直线. (1)如图①，若≠，则两直线相交： ab, (2)如图2，若8-%≠号则两直线平行且不重合： (3)如图③，若公-会-号则两直线重合. a, C2 学 ax+biy=c ax+by=c ax+by=c (azx+bzy=c2) axx+b2y=C2 axx+b2y=C2 ① ② ③ 白秒解典例1已知关于x,y的二元一次方程组 2x+my=6, 若该方程组有无数 4x-6y=12, 组解，求m的值. 二级结论解法 结论秒解技法 解析：该方程组有无数组解，.根据二元一次方 根据该方程组有无数组 程组的解的判断，可知子=%是，解得m=-3 解，可直接利用“二级结 论1”快速求解 二级结论②特殊一元二次方程的“缺项秒杀”模型高频考点 秒解结论 推导过程 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ (1)当c=0时，ax2+bx=0,即(ax+b)x= 0)的解的特殊情况： (1)当c=0时，=0，=会 0,解得x=-名或x=0, (2)当b=0时，ax2+c=0,即ax2=-c,解 (2)当b=0时x=±(-8≥0） 得x=±（-≥0）月 题干搜索：求缺常数项或缺一次项的 一元二次方程的解。 ☑拓展提升：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,则方程必有一根 为x=1,另一根为=台若方程a心+br+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,则方程 必有一根为x=-1,另一根为=-号 18 模块●数与代数 高秒解典例2解方程：3x2-5x=0. 二级结论解法 结论秒解技法 解析：由题意可知，该方程中a=3,b=-5,c=0, 方程缺少常数项（即c=0), ∴.由特殊一元二次方程的“缺项秒杀”模型，可得 符合特殊一元二次方程 的“缺项秒杀”模型，可直 x=0x=-8=-亨=3 接利用“二级结论2”快 速求解. 学 二级结论③特殊一元二次方程的“偶数系数与倒数根”模型 秒解结论 推导过程 对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （1)由ax2+2kx+c=0(a≠0)， (a≠0)，已知4≥0. 得x=-2k±V4K-4ac-2k±2R-ac- (1)当b=2k(k为整数)时， 2a 2a s-k±R-ac -k±√2-ac a (2)当c=a时，方程的两根互为倒数 (2)对于ax2+bx+a=0(a≠0)， 题干搜索：一元二次方程中b是偶 由根与系数的关系，得xx2==1,即两根 a 数、a=c、互为倒数. 互为倒数. 级结论④根与系数的关系的推论 二 高频考点 秒解结论 推导过程 若方程ax2+bx+c=0(a≠ 易知(x1-2P=(x1+2P-4xx2 0)有两个实数根x1,x2,则x 由根与系数的关系，得x+2=b 岛 1-x2=Vx1+x2P-4x2= 2-48 12 题干搜索：两根之差， b2-4ac= a a ③易错提醒：当4≥0时，x-x表示两根在数轴上对应点之间的距离，结果为非 负数，故x-x上的分母必须带绝对值，切勿直接写成，避免得到负数. 19 切中敏理代二级结论秒解 向秒解典例3已知x,x,是方程x2-4x+2=0的两个实数根，则1x,-x2|的值 为( ) A.2 B.2√2 C.4 D.√2 二级结论解法 结论秒解技法 解析：4=b2-4ac=(-4)2-4×1×2=16-8=8, 看到求两根之差，直接利 ÷由根与系数的关系的推论，可得1x一，上因⑧ 用“二级结论4”快速求解. 1 学 2√2 必练习题 ax+2y=1, 1.若二元一次方程组 有唯一解，则a的值为( 3x+y=3 A.a≠0 B.a≠6 C.a=0 D.a为任意数 2.方程5x2-20=0的根是( A.x=2 B.x=-2 C.x=±2 D.x=4 3.下列关于一元二次方程x2-6x+1=0的根的说法正确的是( A.该方程的两根互为倒数 B.该方程的两根之和为-6 C.该方程的两根互为相反数 D.该方程没有实数根 4.若关于x的一元二次方程2x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根满足关系式x,- x2=1,则k的值为( A.11 B.-1 C.11或-1 D.11或-1或1 (2k-3)x-y=2, 5.已知关于x,y的二元一次方程组 无解，则一次函数y=-kx+ (7-3k)x-y=5 1的图象不经过的象限是( A.第二象限 B.第四象限 C.第一象限 D.第三象限 6.若关于x,y的二元一次方程组5-y=-有无数组解，求k的值. 6x+3y=1 -20-刀中数理代二级结论秒解 3.解：由(a-1)2+1ab-21=0,可得a-1= 0,ab-2=0,∴.a=1,b=2, “原式，1 1 1 x2+2×3+3x4+…+ 1.11.11 2027x20281-2+23+34 十。十 12027 202720282028 专题7二元一次方程（组) 1.B2.C3.A4.C5.D 6.解：该方程组有无数组解，∴.由二元 一次方程组的解的判断，可知6=1 63 1 1,解得k= 专题8锐角三角函数 724 1.2525 2.30°3.135 4.解：如图，分别过点A,B作AD⊥x轴于 点D,BC⊥y轴于点C. 3 C B 2 D 123 A(3,1),B(1,2), ∴.OD=3,AD=1,0C=2,BC=1, &在RL△AOD中，tan∠A0D=AD, 0D3, BC 1 在Rt△BOC中，tan∠BOC= 0C2 根据“12345”模型，可得∠AOD+∠B0C= 45°， .∠A0B=45. -174- 5.解：.正方形ABCD的边长为6， ∴.AB=6,∠B=∠BAD=90° 又·BE=2, BE 2 1 ∴.tan∠BAE= AB 6 3 1 .'tan∠DAG= 2 .根据“12345”模型可得，∠BAE+ ∠DAG=45°， ∴.∠EAG=∠BAD-(∠BAE+∠DAG)= 90°-45°=45° 模块二图形与几何 专题1三角形的高、中线、角平分线 1.C 2.解：.AP为△ABC的角平分线，∠ABC= 2∠C, .根据“角平分线+二倍角”模型，可 得AC=AB+BP=AB+4. .BQ为△ABC的角平分线， ∠CBQ=2∠ABC, 又.：∠ABC=2∠C, ∴.∠CBQ=∠C,∴.BQ=CQ .△ABQ的周长为18， .AB+BO+AQ=AB+CO+AO=AB+AC= AB+(AB+4)=18, ∴.AB=7. 3.解：.AD⊥BC,∠B=2∠C, ∴.根据“高+二倍角”模型，可得CD= AB+BD=5+BD.