模块1 专题5 用公式法分解因式（数学）-【专项训练】2026-2027学年初中数理化二级结论秒解

切中敏理代二级匙结论秒解 5年389考占5-8分 专题5用公式法分解因式 (1)立方和公式 二级结论 (2)欧拉公式（立方和减三倍积）： 警 (3)立方差公式. 二级结论①立方和公式 秒解结论 推导过程 a23+b3=(a+b)(a2-ab+b2)① Da+b=a+ab+b-ab =(a+b)[(a+b)2-3ab].② =a(a+b)-b(a+b)(a-b) 题干搜索：出现a3+b3,a+b,ab中 =(a+b)(a2-ab+b2) 的任意两个条件，求另一个 2a+b=(a+b)(a2-ab+b2) =(a+b)(a2+2ab+b2-3ab) =(a+b)[(a+b)2-3ab]. Q技巧点拨：一般用于因式分解、计算和化简求值题中. 岛秒解典例1已知m+n=l,m+m=号，求mn的值。 二级结论解法 结论秒解技法 解析：m+n=1,m+=号， 可把对应的值代入“二级结论 .m23+n3=(m+n)[(m+n)2-3mn]=1- 1”快速求解， 3mn=3' ∴.mn= -12- 模块●数与代数 二级结论②欧拉公式（立方和减三倍积）】 秒解结论 推导过程 a+b+c-3abc=(a+b+c) ①a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b- (a2+b2+c2-ab-bc-ac)1 3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+ b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+ =(a+b+c小a-b4(b b2+c2-ab-bc-ac). c)2+(a-c)].② 2a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b2+c2- 警 题干搜索：出现“三项的立方和 ab-bc-ac)=(a+b+c)j[(a-2ab+b)+ 减去这三项的乘积的3倍”的 形式 (b-2bc+c2)+(a2-2ac+c2】=号(a+b+ c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]. 拓展提升：若a+b+c=0,则a3+b3+c3=3abc. 宣秒解典例2分解因式：8x3+y+8z3-12z= 二级结论解法 结论秒解技法 解析：原式=(2x)3+y+(2z)3-3×2x·y· 该多项式是三个单项式的立 2z=(2x+y+2z)(4x2+y2+4z2-2xy-2yz- 方和减去这三个单项式乘积 4xz）. 的3倍，可以直接利用“二级 结论2”分解因式. 二级结论③立方差公式/高频考点 秒解结论 推导过程 a-b=(a-b)(a2+ab+b2)D Da-b=a-ab-b+ab =(a-b)[(a-b)2+3ab].② =a2(a-b)+b(a2-b2) 题干搜索：出现a3-b3,a-b,ab中 =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) 的任意两个条件，求另一个 =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b) 2a-b=(a-b)(a2+ab+b2) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab) =(a-b)[(a-b)2+3ab]. -13_ 切中敏理代二级结论秒解 合秒解典例3 分解因式：答-27 二级结论解法 结论秒解技法 解析：原式=（罗）°-3 该多项式可变形为罗-3，符 =(罗-3算+缨+9. 合立方差公式的特征，可直接利 用“二级结论3”分解因式. 学 必练习题 1.分解因式： 0号含： (2)x3-8y3; (3)3ab-81b4 2.分解因式： (1)27m3+n3+8p3-18mnp; (2)(2x+3y)3-8x3-27y 3.分解因式：(x-1)3+(x-2)3+(3-2x)3. 4.已知x+y=2,求x3+y+6y的值. -14-切中敏理代二级结论秒解 10×(10+1)×(2×10+1) 6 =2870-385=2485(cm2). 答：这10个正方形的面积之和是 2485cm2. 4解：（1)S=nm*I)2+D,s= 6 n2(n+1)2 (2)当n=6时， S=6x(6+1)X(2x6+1D=91. 6 S,=6x(6+1 -=441, 4 S2_441_63 S,9113 （3)不正确.理由如下：当n=2时， S1=12+22=5,S2=13+23=9 .9不能被5整除， .S,不是S,的整数倍 专题3有理数的乘法与整式的乘法 1.D 2.156180 3.解：(1)原式=19×20x21-260, (2)原式=(1×2+2×3+3×4+4× 5+…+29×30)-(1×2+2×3+3×4+4× 5+…+10×11) 29×30×3110×11×12 3 心 =8990-440=8550. -172- 4.解：(1)甲错把n看成了4，得到结果 x2+8x+16, ∴.（x+m)(x+4)=x2+(m+4)x+4m=x2+ 8x+16, ∴.m+4=8,解得m=4. .·乙错把m看成-m,得到结果x2+x- 20, .（x-m)(x+n)=x2+(-m+n)x-mn= x2+x-20, ∴.-mn=-20. .m=4,∴.n=5. (2)由(1)知m=4,n=5,∴.（x+m)(x+ n)=(x+4)(x+5)=x2+(4+5)x+4×5= x2+9x+20. 专题4乘法公式 1.-152.523.4 4.解：(1)原式=4×2x·3y=24xy. (2)原式=(3m)2+n2+(2a)2-2×3mn 2×3m·2a+2n·2a =9m2+n2+4a2-6mn-12am+4an. (3)原式=(2x)3+3×(2x)2·3y+3× 2x·(3y)2+(3y)3 =8x3+3×4x2·3y+3×2x·9y2+27y =8x3+36x2y+54xy2+27y3. (4)原式=(3y)3-3×(3y)2×1+3×3y× 12-13=27y3-27y2+9y-1. (5)原式=m3-3m2·5n+3m·(5n)2- (5n)3=m3-15m2n+75mn2-125n3. 专题5用公式法分解因式 1.解：(1)原式= ) g6+g (2)原式=x3-(2y)3 =(x-2y)(x2+2xy+4y2) (3)原式=3b(a3-27b3)》 =3b[a23-(3b)3] =3b(a-3b)(a2+3ab+9b2) 2.解：(1)原式=(3m)3+n3+(2p)3-3× 3m·n·2p =(3m+n+2p）(9m2+n2+4p2-3mn-6mp 2p). (2)(2x+3y)3-8x3-27y3=(2x+3y)3+ (-2x)3+(-3y)3. .2x+3y+(-2x)+(-3y)=0, .原式=(2x+3y)3+(-2x)3+(-3y)3 =3(2x+3y)(-2x)(-3y) =18xy(2x+3y). 3.解：设a=x-1,b=x-2,c=3-2x,则a+b+ c=x-1+x-2+3-2x=0.由欧拉公式可知 a3+b3+c3=3abc,∴.原式=3(x-1)(x 2)(3-2x). 4.解：x+y=2,.原式=(x+y）(x2-xy+ y2)+6xy=2(x2-xy+y2+3y)=2(x+y)2= 2×22=8. 专题6分式运算 1解：原武=x3,33 3 31×44×77×10 '199x202 ,11 +…+199202 67 参考答案 2.解：(1)原式=1+33x44x55x6 13+4,4+55+6 6+77+88+9 6×77×88×9 =1+写-后+4-传6 6》-分g 111,1,111,1,11 =1+3344+556*677 十 1.1.1 889 110 =1+ 99 2)原式=7+0-60+5+8 890 911.1315.17 =7-6+5-4+3-2 2030425672 19.21 90110 4+55+6,6+77+8,8+99+10 =3+ 4×55×66×77×88×99×10 10+11 10×11 1111,1,1111.1 =3+ 十十 4556677889 11,1,1 9101011 11 =3++ 411 147 44 -173-