精品解析：山东济宁市任城区济宁学院附中等校 2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年第一学期期中考试 初三数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 4. 已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A. 这次考试A、B两个班都没有人考满分 B. A班的最低分比B班的最低分低 C. A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D. A班的成绩比B班的成绩更集中 5. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 7. 已知5个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A. B. 2 C. D. 9. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 10. 已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，通过实际操作，下列说法正确的有（ ） ①；②若，则m的值为2； ③已知第三次操作后得到的分式可以化为整数，则m的值共有4个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 11. 已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 12. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 13. 某学校为了引入一款适合学生使用的智能学习助手，决定从五个维度对候选产品进行测试评分，相关信息如下： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重（比例） 候选产品实测打分 根据以上信息，候选产品的最终得分是_________分． 14. 若关于x的方程有增根，则k的值为________． 15. 已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是；的差倒数是，如果m的差倒数正好是m，那么的值是______． 三、解答题（共55分） 16. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 17. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 18. 多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这样一种方法： 方法：，，，， ∴原式． 请你利用这种方法解决下面问题：已知数x，y满足，求的值． 19. 解方程： （1） （2） 20. 为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学的10次测试成绩： 160，175，180，175，164，175，190，170，186，175 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 m p 乙 175 q 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________，p的值为________； （2）同学甲和乙中，稳定性更好的是________，理由是：________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是________． 21. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 22. 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． （2）已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 23. 阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为______，分式的值为______； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，则分式的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试 初三数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：因式分解要求将多项式变形为几个整式乘积的形式． 对各选项判断如下： A、是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； B、，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； C、是单项式，不是多项式，该变形不是因式分解，不符合题意； D、，结果仍是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，不符合题意． 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 3. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解，得， 解，得， ∴． 4. 已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ） A. 这次考试A、B两个班都没有人考满分 B. A班的最低分比B班的最低分低 C. A班成绩的第三分位数与B班成绩的中位数相同 D. A班的成绩比B班的成绩更集中 【答案】D 【解析】 【详解】解：满分分，班班最大值（最上端横线）均小于分，两个班没人考满分，选项不符合题意； 班最小值（最下端横线）对应的位置低于班的最小值对应位置，班的最低分比班低，选项不符合题意； 班成绩的第三分位数（箱体上端横线）是，班成绩的中位数（箱体中间横线）也是，班成绩的第三分位数与班成绩的中位数相同，选项不符合题意； 箱体越窄，数据越集中，班的箱体比班的宽，因此班的成绩比班的成绩更集中，选项符合题意． 5. 下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．能用平方差公式分解的式子的特点是：二个项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，不符合平方差公式的特点，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选C． 6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， 表示慢马的速度，表示快马的速度； 把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 表示规定的时间． 故选：C 7. 已知5个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的概念求解即可． 【详解】解：∵5个正数的平均数是a ∴ ∴ ∴ ∴数据的平均数为； 将数据从大到小排列为： ∴中间的两个数为 ∴数据的中位数是． 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数和中位数的概念，解题的关键是熟练掌握平均数和中位数的求法． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据掌握分式方程无解的条件，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：， 原方程无解， ， ， 故选：C． 9. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先对整式进行因式分解，确定因式个数n，再根据密匙值的定义，取，计算所有因式的和得到结果，用到初中因式分解的提公因式法与平方差公式． 【详解】解：∵ ， ∴ 分解后得到个不能再分解的非常数因式， 根据定义取， 分别计算各因式得：，，， ∴ 密匙值为． 10. 已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，通过实际操作，下列说法正确的有（ ） ①；②若，则m的值为2； ③已知第三次操作后得到的分式可以化为整数，则m的值共有4个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据操作规则，第次操作后分式为，然后再分别判断各选项，结合解分式方程等知识点求解即可． 【详解】解：根据操作规则，第次操作后分式为， ①当时，，故①正确； ②由，得， 两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合正整数要求，故②正确； ③第三次操作后，， 化简得， ∵为整数，为正整数， ∴为整数，且， ∵13的正约数为，其中不符合要求， ∴， 解得，仅1个符合要求，故③错误， 综上，正确的说法有2个． 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（5小题，每题3分，共15分） 11. 已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据的个数，已知方差和数据个数，即可求出离差平方和． 【详解】解：由题意可知，这组数据共有5个数据，方差是5， ∴离差平方和． 12. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，若 是多项式 的一个因式，则当 时，多项式的值为零，把代入多项式可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 可得： ， 解得：． 故答案为：． 13. 某学校为了引入一款适合学生使用的智能学习助手，决定从五个维度对候选产品进行测试评分，相关信息如下： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重（比例） 候选产品实测打分 根据以上信息，候选产品的最终得分是_________分． 【答案】 【解析】 【分析】将每个维度的得分乘以对应权重，再求和即可得到最终加权得分． 【详解】解：据图表可知， 最终得分， 故候选产品的最终得分为分． 14. 若关于x的方程有增根，则k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，有增根，那么最简公分母x−3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】方程两边都乘（x−3），得 k＋2（x−3）＝4−x， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x−3＝0，即增根为x＝3， 把x＝3代入整式方程，得k＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了分式的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握知识点是解题关键． 15. 已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是；的差倒数是，如果m的差倒数正好是m，那么的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】由m的差倒数正好是m得到，求得，整体代入，计算整理后即可得到答案． 【详解】解：∵m的差倒数正好是m， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了分式的化简求值、完全平方公式等知识，整体代入是解题的关键． 三、解答题（共55分） 16. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，分式无意义， 取， 当时，原式． 18. 多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这样一种方法： 方法：，，，， ∴原式． 请你利用这种方法解决下面问题：已知数x，y满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将已知等式通分变形得到与的数量关系，再将所求分式的分子、分母整理为含与的形式，整体代入约分即可求值． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∴原式 ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）分式方程无解 【解析】 【分析】根据解分式方程的方法步骤直接求解即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘以得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘以得：， 去括号、移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法步骤，尤其是注意验根是解决问题的关键． 20. 为备战体育中考，学校利用AI智慧体育系统对八年级学生进行“1分钟跳绳”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取10次测试成绩（单位：次/分钟），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学的10次测试成绩： 160，175，180，175，164，175，190，170，186，175 b．四位同学10次测试成绩的箱线图（不完整）： c．四位同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 m p 乙 175 q 40.5 丙 175 175 79.6 丁 170 170 29.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________，p的值为________； （2）同学甲和乙中，稳定性更好的是________，理由是：________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表班级进行跳绳比赛．体育老师按照如下方式进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距上四分位数下四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行跳绳比赛的同学是________． 【答案】（1）175，74.2 （2）乙，乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强 （3）乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的概念求解m和p的值即可； （2）根据甲乙的方差，即方差越小，波动越小，稳定性越好判断即可； （3）根据甲、乙、丙、丁四位同学的平均数与四分位距比较即可． 【小问1详解】 解：甲同学的10次测试成绩：160，175，180，175，164，175，190，170，186，175， 则甲同学的平均数为， 故， 则方差为， 故； 【小问2详解】 解：∵甲的方差为74.2，乙的方差为40.5，其中， ∴同学甲和乙中，稳定性更好的是乙， 理由是：乙成绩的方差小于甲的方差，方差越小成绩波动越小，稳定性越强； 【小问3详解】 解：甲，乙，丙平均数均为175，丁只有170，先淘汰丁； ∵四分位距上四分位数下四分位数， ∴箱线图箱体宽度就是四分位距，箱体越窄四分位距越小， 由箱线图可知，乙的箱体宽度最小，也就是乙的四分位距最小，选乙， 故代表班级进行跳绳比赛的同学是乙． 21. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知1件乙种农机具比1件甲种农机具多0.5万元，用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共30件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具m件，购买的总费用为W万元，求购买这批农机具最少要用多少万元？ 【答案】（1）购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元 （2）65万元 【解析】 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元，根据用20万元购买甲种农机具的数量和用25万元购买乙种农机具的数量相同，列出分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件，根据乙的件数不低于甲件数的一半，列出一元一次不等式求出m的取值范围，根据题意得，根据一次函数的性质及m的取值范围求最小值即可． 【小问1详解】 解：设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意； 则， 答：购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元； 【小问2详解】 解：设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件， 由题意列一元一次不等式得，， 解得， ， W随着m的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值； 答：购买这批农机具最少要用65万元． 22. 我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． （2）已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①， ② （2） 为等腰三角形，理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：①． ②． 【小问2详解】 略 23. 阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为______，分式的值为______； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，则分式的值为______． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $