精品解析：江苏省泰州市海陵区五校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

海陵区五校2024～2025第一学期期中考试 八年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处） 1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，4，7 B. 0.5，1.2，1.4 C. 6，8，10 D. 32，42，52 3. 右图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8 5. 在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在直角三角形中，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、．下列判断：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处） 7. 16的平方根是______． 8. 如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____． 9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝___________． 10. 若x，y为实数，且，则__________． 11. 如图，是正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有______种选择． 12. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，，则它的特征值________． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 14. 如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则___． 15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________． 16. 如图，中，，于点，动点P从点A出发以每秒的速度沿线段向点B运动，设点P运动的时间为t秒．当______时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（本大题共有9小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算 17. 计算： （1）． （2） 18. 已知，求的平方根． 19. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，已知△ABC，点P为AC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点B与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AB于E，交直线BC于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PF，BP，BP交EF于点O，若PC＋BC＝6，则△PCF的周长为______． 21. 如图，四边形是公园中的一块空地，． （1）连接，判断的形状并说明理由； （2）公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 22. 如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．   （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求C、E两点之间的距离． 24. 课本再现 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明： 类比迁移 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为 ． 方法运用 （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． （4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为 ． 25. 已知：如图，是线段上一点，直线，射线，，，在直线上取一点，在射线上取一点，连接． （1）如图，若． ①判断的形状，并证明你的结论； ②求的面积； （2）若与全等，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海陵区五校2024～2025第一学期期中考试 八年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题纸上对应处） 1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，故选项正确； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，4，7 B. 0.5，1.2，1.4 C. 6，8，10 D. 32，42，52 【答案】C 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意； B、都不是正整数，不合题意； C、，符合勾股数的定义，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 3. 右图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可． 【详解】解：如下图， 由三角形内角和定理得， 由全等三角形的性质可得． 故选：D． 4. 已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据|a-2|+（2a+3b-13）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：∵|a-2|+（2a+3b-13）2=0， ∴， 解得：， 当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系定理．关键是根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 5. 在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出AD=BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，由三角形内角和定理得出∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，即可判断结论①正确；由BD=CD=BC=3，可得△BCD是等边三角形，即可判断结论②，③正确；在Rt△ABC中，求出AC=AB =，即可判断结论④错误． 【详解】解：∵CD是AB边上的中线，AB=6， ∴AD=BD=AB=3， ∵CD=3， ∴AD=BD=CD， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD， ∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， 即∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，故①正确； ∵BD=CD=BC=3， ∴△BCD是等边三角形，故②正确； 故③正确； 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6， ∴AC=AB=， ∵BC=3， ∴AC=BC，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，在直角三角形中，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、．下列判断：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 利用证明，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，，即可判断②正确；由，等量代换得出，即可判断③正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分得出，而，那么，即可判断④错误． 【详解】解：，点是的中点， ． 是等腰直角三角形， ，， ， ， ． 在与中， ， ，故①正确； ，，故②正确； ， ， ，故③正确； 点是的中点， ， ， ， ， ，故④错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处） 7. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 8. 如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC 可得答案． 【详解】解：∵BE＝5，BF＝1， ∴EF＝BE﹣BF＝4， ∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF． 9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝2， ∴CD＝AB＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解概念是解题关键． 10. 若x，y为实数，且，则__________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，继而解得，则，再代入求值． 【详解】解：由题意得， ∴解得：， ∴， ∴， 故答案为：2024． 11. 如图，是正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有______种选择． 【答案】3 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示， 使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有3种选择． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义． 12. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，，则它的特征值________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为：7或． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 14. 如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则___． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，等积法进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 连接， 则：， ∵边上的高线，于点E，于点F． ∴， 即：， ∴； 故答案为2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质．解题的关键是熟练掌握等积法求三角形的面积． 15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE，先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，然后证明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°，CE=AB=4，则AC=2CE=8． 【详解】解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE， ∵BA⊥AD， ∴∠DAB=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°， ∵D为BC的中点， ∴BD=CD， 在△BAD和△CED中， ， ∴△BAD≌△CED（SAS）， ∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4， ∴AC=2CE=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键． 16. 如图，中，，于点，动点P从点A出发以每秒的速度沿线段向点B运动，设点P运动的时间为t秒．当______时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】3或3.6 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分、两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算． 【详解】解：∵于点， ∴， 当时，， 当时，如备用图， 作于，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得，， 综上所述，或3.6时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：3或3.6． 三、解答题（本大题共有9小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）先将前的系数化1，再利用平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解： 或， 解得：或； 【小问2详解】 解： 或， 解得：或． 18. 已知，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方的非负性得到关于x和y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ 得 得 将代入①得，解得 ∴ ∴9的平方根为 ∴的平方根为． 【点睛】本题考查非负数的性质和求平方根，熟练掌握非负数之和为0，则每一个非负数都等于0是关键． 19. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ． （2）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． 20. 如图，已知△ABC，点P为AC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点B与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AB于E，交直线BC于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PF，BP，BP交EF于点O，若PC＋BC＝6，则△PCF的周长为______． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所作： （2）6 【解析】 【分析】（1）要使得点与点关于直线对称，则应连接，使直线为的垂直平分线即可，所以作的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，由（1）可知，直线为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴的周长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，以及垂直平分线的性质运用，掌握作垂直平分线的操作步骤，熟练运用垂直平分线的基本性质是解题关键． 21. 如图，四边形是公园中的一块空地，． （1）连接，判断的形状并说明理由； （2）公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵在中， ∴（m）， ∵在中，m，m，m， 且， ∴， ∴是直角三角形． （2）2880元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握这些知识点． （1）连接，在中根据勾股定理得，在中，，即可得是直角三角形； （2）先算出两个直角三角形的面积，即可得四边形的面积，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵（平方米），（平方米）， ∴（平方米）， ∴（元）， 故铺满这块空地共需费用2880元． 22. 如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．   （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质； （1）由，得出，再利用“”即可证明； （2）由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ∴. 是的外角， ∴. ， ∴， ∵是的外角， ∴. 23. 如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求C、E两点之间的距离． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， 点是斜边的中点， ，， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，，进而求解； （2）连接，求，结合三角形外角的性质可求解，利用等边三角形的性质可求解的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，由（1）得， ，， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离是6． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 课本再现 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明： 类比迁移 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为 ． 方法运用 （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． （4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为 ． 【答案】 （1）证明： ∴ ∴ （2）13； （3）20； （4） 【解析】 【分析】（1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）求出，进而求出，，即可求解； （4）过点E作，过点G作，表示出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ∴ （3）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 由图易证： ∴ 即： ∴ ∴根据勾股定理得： ∴ ∴ ∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为： （4）如图：过点E作，过点G作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查勾股定理的几何应用，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． 25. 已知：如图，是线段上一点，直线，射线，，，在直线上取一点，在射线上取一点，连接． （1）如图，若． ①判断的形状，并证明你的结论； ②求的面积； （2）若与全等，求的值． 【答案】（1） ①是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形； ② （2）1 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）①根据全等三角形的性质得到，利用等角的余角相等推出，即可得到是等腰直角三角形；②利用全等三角形的性质得到，勾股定理求出，再利用面积公式计算即可； （2）根据得到，利用勾股定理求出． 【小问1详解】 ①略 ②∵，，， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $