浙江台州市十校联盟2026-2027学年高二上学期11月期中联考数学试题

绝密★考试结束前 2026学年第一学期台州十校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.直线y=x+V3的倾斜角为( B C. D. 3π 2 2.以(2,1)为圆心，√5为半径的圆的方程为( ) A.(x+2}+0y-12=3B.(x-2}+(y+1}2=V3 C.(x-2}+(y+1}=3D.(x+2}+(6y-12=V3 3.已知R,B分别是椭圆C:号+若=1的左、右焦点，点M在C上，则M+M=（） A.2 B.3 C.4 D.6 4.直线l1:(a-2)x+y+1=0,直线2：4x+(a+1)y-1=0,则“a=3”是“1∥l2”的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.如图，在三棱锥O-ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=a,OB=b,OC=c,则DB等于( B:: A.a-万+ B.a+6-C.-a+6-D.-a-万- 高二数学学科试题第1页（共4页） 6.己知圆P:x2+y2+6y=0与圆Q:x2+y2+4x=0交于A,B两点，则四边形PAQB的面积 为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 7.直线G-2y+4=0与曲线y=V1-x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围为( ) A.「-4，-23U(23,4 B.(-4,-23)U(2V3,4) C.(-∞，-2V3)U(2v3,+∞)D.(-23,2v3) 8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另 x2,y2 -个随点（如图.已知装圆E:行+京=L(口>>0的左右焦点分别为上，上，过点片的直线交 3,设椭圆的 E于AB两点，过点A作E的物线，点B关于的对称点为儿若，物设 离心率为e,则e2=( A.号 B. c.品 D.月 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知1⊥a,且直线1的方向向量为d=(1,-2,0),则平面的法向量的坐标可以是() A.(0,0,0) B.(2,-4,0) C.(2,1,0) D.(-1,2,0) 10.已知直线l:kx+y-3k-2=0与圆C:(x-4)2+y2=12,则下列说法正确的是() A.直线过定点(3,2) B.直线l被圆C截得的最短弦长所在直线方程为2x+y-8=0 C.若点(m,n)是圆C上的点，则m2+n2的最大值为28+16v3 D.当k=-1时，圆C上有且仅有3个点到直线的距离为V3 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，M是PA上的动点，△ABD为正三角形，CB=CD=2,∠BCD=120°， PD=PC=√5，PA⊥BD.则() A.平面BMD⊥平面PAC B.四棱锥P-ABCD的体积为√3 C.若点M为线段PA的中点，则DM//平面BPC D.异面直线CP与BM所成角的余弦值的最大值为 5 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知空间向量a=(1,0,1),6=(1,1,n),若a·6=3,则n= 高二数学学科试题第2页（共4页） 13.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着 一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边 饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(一1,1)， 若将军从山脚下的点0(0,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y一3=0，则“将军饮马”的最短 总路程是 14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内到两定点的距离之 比等于常数k(k>O)的点的轨迹是一个圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。已知点A(0,1),点C AC 是圆x2+(y+3)2=4上任意一点，若在Y轴上存在不同于点A的定点B(0,b),使得 =k恒成 立，则k+b= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知△ABC中，A(1,4),B(-2,2)。 (1)若C(-1,1),求BC边上的高AD所在直线的一般式方程： (2)若点M(3,-1)为边AC的中点，求过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程。 16.(15分)在平行六面体中，AB=2,AD=1,AA1=3,∠BAD=120°，侧棱AA1⊥底面ABCD。点 F在棱CC1上，且CF:FC1=1:2,点P为棱CC1上的动点。 (1)求AF与BB所成角的大小：(2)若PLBD,求器 C 17.(15分)已知圆C过点M(2,0)和点N(L,-1),且圆心C在直线l1:2x-y-5=0上。 (1)求圆C的方程； (2)已知直线2：x+2y-1=0与圆C相交于A,B两点，求△ABC的面积； 高二数学学科试题第3页（共4页） 18.(17分)如图，在几何体ABCDEF中，已知菱形ABCD边长为4，∠DAB=60°，EA//FC,ED= EB=4V2,EA=4,FC=3,O为BD的中点。 (1)证明：0E⊥平面FBD; (2)求点C到直线EB的距离； (3)在线段OE上是否存在点P,使直线PF与平面FBD夹角为30？若存在，求的值；不存在，说明理 OE 由。 E ------ 19.(17分)已知曲线『是焦点在x轴，长轴为4，离心率为号的椭圆。 (1)求曲线Γ的方程： (2)过右焦点F作斜率不为0的直线交曲线T于A,B两点 (i)设点H(2,O),求证：kHA·kHB为定值； (i)直线l交直线x=4于点P,过点P作y轴的垂线，垂足为Q,直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴 于D点，求线段CD中点的坐标。 x=4 高二数学学科试题第4页（共4页） 2026学年第一学期台州十校联盟期中联考 高二年级数学学科参考答案 1.A 【详解】设直线倾斜角为a(0≤a<π)， 直线的斜率k=tana=l,则a=元 4 2.A 【详解】以(-2,1)为圆心，√5为半径的圆的方程为(x+2}+(y-1}=3. 3.D 【详解】椭圆C:号+号=1的长半轴长a=3, F,F分别是椭圆C左、右焦点，点M在C上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长2a, 所以ME+MF=2a=6. 4.C 5.C 【详解】由题设及图知 n-+a)-oi-0a+0c-o)-oi-06+号oc=a-6+9 6.B 【详解】圆P的方程配方得x2+y+3?=9,因此圆心P0,-3),半径rp=3;圆Q的 方程配方得(x+2)2+y2=4,因此圆心Q(-2,0),半径0=2. 由两点间距离公式得Pg=V0+2}+(3-0}=√3 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦AB所在直线方程4x-6y=0,即2x-3y=0. 点P到直线B的距离d=0+(9_9 因此弦长的一半为 √22+32V13 ,2-=9-i3 816 3'即A=12=123 V1313 图此态面8=PO=12=6 13 7.A 【详解】由y=V-x(y≥0)，平方得x2+y2=1(y20)表示圆心在原点半径为1的上半圆， k-2y+4=0表示恒过定点(0,2)的直线， 直线-2y+4=0与曲线y=V1-x2有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线你-2y+4=0的距离为 4=1,解得k=25, Vk2+4 当直线经过(1,0)时由0=k+4得k=-4, 当直线经过(-1,0)时由0=-k+4得k=4, 所以实数k的取值范围为4，-25人U23,4! 8.A 【详解】利用椭圆光学性质，可知F,A,M三点共线，利用椭圆定义和题目条件，算得 M-号，在△F和△FB中，对∠A同时使用余弦定理，即可得到答案。 9.BD 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误.设平面α的法向量为非零向量n. 由题意知n/1a,则元=a=(亿，-2,0)，1∈R且1≠0. 当1=2时，元=(2，-4,0)，B正确：当2=-1时，元=(-1,2,0)，D正确： 不存在实数2，使得a=(2,1,0),故C错误。 10.AC 【详解】k(x-3)+y-2=0,令x-3=0,y-2=0得到定点为A(3,2),A选项正确 圆心C与定点A的连线与弦长所在直线垂直时，弦长最短。故k4c=-2,kAC·k=一1，故 k受·最短弦长所在直线为：y-2=x-3),即为x-2y+1=0,故B选项错误 m2+n2表示(m,n)与(0,0)距离的平方，易得距离的最大值为4+2V3,故m2+n2的最大值 为28+16v3,故C选项正确 圆的半径为2√3，故圆上有且仅有3个点到直线的距离为√3，可得圆心到直线的距离为V3, 利用点到直线的距离公式可得k=生，故D选项错误 11.ACD 【详解】连接AC。△ABD是正三角形，CB=CD,所以BD⊥AC。又，PA⊥BD, PA∩AC=A,∴.BD⊥面PAC。BDc面BMD,∴.面BMD⊥面PAC。A选项正确。 以D为原点，DA为X轴，DC为Y轴，Z轴垂直底面建系，则A(2√3,0,0)，B(√3,3,0)，C(0,2,0)。 设P(x,y,z),根据PD=PC=√5，PA⊥BD,列方程组，解得P(√3，l,1)。所以四棱锥 P-ABCD的体积为5，B选项错误。延长AD与BC交于点E,连接PE,可得D点为4E 3 的中点，所以MDPE,所以C选项正确。利用坐标法求得D选项正确。 12.-1 【详解】由d1b得d·b=1+n=0,所以n=-1 13.2或4 【详解】焦距为2，则c=1,当椭圆焦点在x轴上时，a2=3,b2=m,故c2=a2-b2=3- m=1,则m=2;当椭圆焦点在y轴上时，a2=m,b2=3,故c2=a2-b2=m-3=1,则m=4。 (对一个答案给2分) 14.0 【详解】设点C(x),利用两点间距离公式，将AC =k坐标化，化简，根据题意，可知 BC 点C的轨迹为一个圆。将所得圆方程与已知圆方程比对，得k=2,b=-2,所以k+b=0。 15.(1)x-y+3=0 (2y=-x或x+y+1=0, 【详解】(1)因为B(-2,2),C(-1,1), 所以kac=品=-1， .1分 因为AD是BC边上的高， 所以kAD·kBc=-1→kAD=1, …3分 所以高AD所在直线的方程为y-4=1×(x-1)→x-y+3=0; 5分 (写出两直线垂直斜率的关系给1分，最后结果未化成一般式方程扣1分) (2)因为点M(3,-1)为边AC的中点， 3=1+ 所以 2 4+Cy →C(5,-6), 7分 -1二2 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=kx或+艺=1,9分 因为直线过点C,所以-6=5k或+。=1，所以k=-或a=-1,…11分 a 所以过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=-。x或x+y+1=013分 5 (未写出直线过原点的情况扣3分) 16.(1)60 (2)1:2 【详解】(1)设a=AB,b=AD,c=AA1 C=C=c AF=Ad+C=ac 1 2 2 AF12 (a+b+3c)2 la2+b2+glc2+2ab+3ac+3bc =4+1+号×9+2×(-1)+号×0+子×0=4+1+1-2=4→1Af=24分 AF.BB=(a+b+c)-c=a-c+b-c+lc=0+0+}×9=3.5分 AF.BB 3 1 cos AF,BB>= AF1BBi=2x3=2→8=60 答：AF与BB1所成角为60°7分 (未设a,b,c不扣分) (建系得1分，写出点的坐标得1分，写出两个向量2分，写出公式1分，计算正确得2 分) (2)Cp=1CC=1c(0≤1≤1)，8分 AF=AC+Cp=a+b十1C,BB1=BA+AD+DD=-a+b+C10分 AP.BDj=(a+b+ac)(b+c-a)=(a+b)-(b-a)+(a+b)c+c-(b-a)+c.c =(b-a2)+0+0+91=(1-4)+91=-3+9λ12分 由AF1BD得AF·BD=0:-3+91=0→1=3CP=CC=×3= 1,1PC=(1-)cC=×3=2 答： … ..15分 (设出P的坐标1分，写出两个向量得2分，由垂直得数量积1分，解出P的坐标2分， 得到答案2分)》 17.(1)(x-1)2+y+2)2=2 鸣 【详解】(1)由于圆C的圆心在直线L1:2x+y=0上，所以设C(a,-2a),1分 因为圆C过点M(2,-1),所以1CM=√(Q-2)2+(-2a+1)Z,2分 圆C与直线x+y=1相切，d=a-2a-1 3分 易得1CM=d=,即√a-22+(-2a+可=-g,得a=14分 即圆心坐标为(1，一2)，所以半径r=√2,6分 所以圆C的方程为(X-1)2十y十2)2=27分 (2)依题意，圆心(1，-2)到直线2：x+y+2=0的距离d=-2+2= √12+12 2 9分 因为直线l2:x+y+2=0与圆C相交于A,B两点， 所以弦长1AB1=22-d正=22-=V6, …12分 所以5c=AB1d=x6x号=号 15分 18.【详解】解：(1)△ADE中，AD2+AE2=16+16=32=(4V2)2=DE2,AE⊥AD, 同理△ABE中，AE⊥AB, 且AD AB=A,AD,ABc平面ABCD,AE⊥平面ABCD;又ABCD为菱形，.BD⊥AC 以0为原点，OA为x轴，OB为y轴，作直线平行AE为Z轴，如图建系：2分 D0,-2,0),E2V3,0,4,F(-25n0,3,B/0,2,0),C(-2V3,0,0) 则0E=230,4),BF=(-2V3,-2,3,DB=0,4,0, 设元=(x1,y1,z)为平面FBD的法向量， 则元1BF,i1D觅，元·BF=0,元.DB=0, 从而-2V5x-2y1+3z1=0且4y1=0,不妨设x1=V5, .面BDF一个法向量坐标为元=(W3,0,2),… 6分 .0E=2元 。0E⊥平面FBD;… .7分 【若用几何法证明，算出EF=7得2分， 证出线面垂直且有关键的两个线线垂直、相交得4分， 面面垂直得1分，本小题共7分】 (2)BE=23,-2,4,BC=(-2V3,-2,0, ·点C到直线EB距离d (BC)'- 16-() =14. 10分 【也可以用平面几何知识解三角形，本小题共3分】 (3)假设存在P符合题意，设0p=10E=231,0,4),0≤1≤1， ÷PF=0F-0p=(-2V3,0,3)-(2V31,0,4)=(-2W5-2V31,0,3-412分 平面FBD的法向量为m=(W5,0,2), :直线PF与平面FBD夹角为30sim30°=kos<m,所>1-橱码-之l13分 即14A ………15分 V7√282+21 化简得：422+3=1612， 解得入=士 ,:0≤1≤1,1= OP 1 …存在P符合题意，且 OE 2 17分 【用几何法，说明∠P℉0即为线面所成角得2分， 求出0F=√21、0B=2N7得2分， 利用30°正切值写出正确表达式tan30°=P=5得1分， OF 3 0=√7，E=得2分，本小题共7分】 19.【详解】1)2a=4后=可得a=2,c=1,:2=Q2-c2b>0),b=v3 椭圆方程为十艺三13分 (2)F(1,0)… 4分 设直线l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2) (x=my+ 得(3m2+4)y2+6my-9=0,y1+y2=- 6m 9 +号=1 3m2+4y1y红=-3m+46分 3 (D）kM2kB是名7分 y2 y1y2 9 HA KHB-2'光2my12my2t1-2my1-D0my2》）l0分 (i)直线交直线x=4于点P,可得P(4,品)，过点P作y轴的垂线，垂足为Q,可得Q(0,) 1l分 直线AQ:y= 3 x+令y=0,x= my1-3' 故c(票0 同理可得D(0)l14分 xc+xp= -31-32,=-3(1+ +m2+1 通分代入韦达定理得xc十xD=2, my1-3my2-3 my1-3 my2-3 故中点坐标为（们，0）1门分 【本题若考虑斜率不存在的情况，得到答案，给2分，若只考虑y=k(x-1),未考虑斜率 不存在的情况酌情扣1分】