上海市奉贤区青溪中学2026-2027学年第一学期 八年级数学期中练习卷

2026学年第一学期八年级数学学科期中练习卷 --答案 时间100分钟　满分100分 一、选择题（本大题共5题，每题3分，满分15分） 1．下列实数中，无理数是（　　） A．；　　　B．；　　　C．；　　　D．。 【答案】D 【解析】，是有限小数，是分数，三者都是有理数；是无理数。 2．下列说法正确的是（　　） A．64的算术平方根是；　　　B．64的平方根是8； C．64的立方根是4；　　　D．的算术平方根是。 【答案】C 【解析】的算术平方根是，平方根是；由于，其立方根是；负数在实数范围内没有算术平方根。 3．如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A．；　　　B．；　　　C．；　　　D．。 【答案】C 【解析】点在与之间。因，所以；和在与之间，。 4．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根；　　　B．有两个相等的实数根； C．实数根的个数与的取值有关；　　　D．没有实数根。 【答案】A 【解析】判别式对任意实数都成立，故有两个不相等的实数根。 5．如下表，被开方数和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得、的值分别为 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 25 79.1 250 791 （注：表中部分数值为近似值）（　　） A．，；　　　B．，； C．，；　　　D．，。 【答案】B 【解析】被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍。由，得；由，得。 【点睛】被开方数每移动两位，算术平方根只移动一位，不能同位移动。 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 6．的平方根是________。 【答案】 【解析】先算，再求的平方根。由，得答案为。 7．方程的解为________。 【答案】或 【解析】，即，所以或。直接除以会漏掉零根。 8．如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是________。（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】在根式有意义的条件下，，积不含根号，符合要求。 9．若，则的取值范围为________。 【答案】 【解析】。等式成立当且仅当，即。 10．比较大小：________。（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】，，所以。也可由及判断。 11．电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为________毫米。 【答案】 【解析】。科学记数法的首因数绝对值应不小于且小于。 12．将化为分数：________。 【答案】 【解析】设，则，相减得，所以。 13．不等式的解集是________。 【答案】 【解析】移项得。因为，所以。 14．关于的方程有实数根，那么的值为________。 【答案】 【解析】需按二次项系数是否为零分类。 当时，方程为，有实数根。 当时，方程是一元二次方程。有实数根要求，故且。 合并两种情况，得。 【点睛】题目只说“方程”，没有限定必须是一元二次方程。二次项系数含参数时，先检查其为零的情况，再使用判别式，最后合并结果。 15．2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象。在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键。已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为10；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方。设该一元二次方程为（其中、是实数），则可求得________。 【答案】 【解析】由根与系数的关系，，，所以。 将根的差的平方改写为。 根据条件②，，代入，得，所以。 检验：对应方程为，两根为、，均为正数，且。 【点睛】已知两根的和并出现“两根之差的平方”，先用，再把根的和、积替换为系数关系，通常无需先写求根公式。 三、简答题（本大题共8题，满分55分） 16．计算：。 【答案】 【解析】，，。 因为，所以，从而。 原式。 17．计算：。 【答案】 【解析】原式有意义，且除式不能为零。由可得、；再由得。 因此，，。 原式 。 18．用配方法解方程：。 【答案】， 【解析】两边除以并移项，得。 两边同时加上一次项系数一半的平方，得，即。 开平方，得。所以，。 19．若最简二次根式与是同类二次根式。 （1）求的平方根； （2）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）两个根式均已是最简二次根式，又是同类二次根式，因此被开方数相同，即，解得。此时两个根式均为，满足题意。故的平方根为。 （2）因为，所以。因为，所以。 因此。 20．（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程（），可以得到一元二次方程的求根公式。 一般地，对于一元二次方程（），当________时，它的根是：________。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，。（第一步） 。（第二步） 。（第三步） ，。（第四步） 小明解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是________。 （3）请你写出此题正确的解答过程。 【答案】（1）；。 （2）一；未先化为一般式，常数项系数应为，却取成了。 （3），。 【解析】（1）由及，配方可得。右边非负时才能在实数范围内开平方，即，得到求根公式。 （2）原方程必须先写为，再确定系数，因此第一步中的取值已经错误。 （3）将方程化为一般式，则，，。 ，所以。 故，。 21．已知关于的一元二次方程。 （1）若该方程的两个实数根、满足，求的值。 （2）如果以方程的两根为等腰三角形的两条边长，第三条边长为3，求的值以及这个等腰三角形的周长。 【答案】（1）；（2），周长为。 【解析】原方程可分解为，两根为、，对任意实数都存在。 （1）由，得，所以。本问只要求实数根，负的也应保留。 （2）三边为、、，边长为正要求。等腰三角形必须有两边相等，而，故只需讨论或。 若，则，三边为、、，因，不能构成三角形，舍去。 若，则，三边为、、，满足三角形三边关系，周长为。 综上，，等腰三角形的周长为。 【点睛】方程的根转为几何长度后，要增加正数和三边关系的检查。等腰分类按“哪两条边相等”展开，不能默认方程的两根一定是两条腰。 22．已知在锐角中，，点是边上一点，。 （1）如图1，过点作，垂足为点，与交于点。求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想、、之间的数量关系并证明。 【答案】（1）证明见解析；（2）。 【解析】（1）由，得。由三角形内角和，。 因为，所以。故。 （2）设。由（1）及、、共线，。在中，较大的角对较长的边，所以。 在线段上取点，使，连接。这样把拆成，只需证明。 因为平分，所以；又，，故（两边及夹角）。 因此，。由于、、依次共线，。 又，所以在中，，从而。 于是，所以。 第22题（2）解析辅助图 【点睛】角平分线与线段和同时出现时，可在较长边上截取与另一边相等的线段。用“两边及夹角”构造全等，把原来的加法关系转化为剩余两段相等，再利用角关系证明。 23．数学兴趣小组活动中，“无理数探秘”小组围绕“到底有多大”展开了深度探究，请根据各探究小组的汇报，完成下列问题。 （1）到底有多大 小欣和组员们利用数形结合的方法探索的近似值，请将过程补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1所示的示意图。由面积公式，可得。因为值很小，所以更小，省略，得方程________，解得________（保留到0.001），所以________。 （2）怎样画出？ 小聪同学的思路是：如图2所示，将2个边长为1的正方形进行分割，然后拼接成一个新的正方形，设新正方形的边长为（），根据割补前后图形的面积相等，可得，解得。则拼接成的新的正方形的边长即为。 请按照小聪的思路，在图3的网格图中用实线画出拼接成的新的正方形（网格图中每个小正方形的边长均为1）。 （3）根据剪拼前后图形的总面积不变，小研按照图4和图5所示的两种拼法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，都可以得到边长为无理数的新的正方形。 ①请模仿小聪的方法计算无理数的值；②若，，求代数式的值。 【答案】（1）；；。 （2）作图见解析；（3）①；②。 【解析】（1）忽略，由得近似方程，解得。因此。 （2）取网格中一个边长为的大正方形，依次连接四边中点，即得到所求正方形。相邻两个中点之间的线段是两直角边均为的直角三角形的斜边，长为；四条边等长，相邻边垂直，故所作四边形为正方形。 （3）①剪拼前后总面积不变，所以。因，所以。 ②由，得，。 于是。 第23题（2）作图示例 【点睛】剪拼问题先抓住总面积不变，将边长转化为平方关系；求根时用“长度为正”取舍。根式代入绝对值后，先用平方比较确定正负，再去绝对值。 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级数学学科期中练习卷 时间100分钟　满分100分 一、选择题（本大题共5题，每题3分，满分15分） 1．下列实数中，无理数是（　　） A．；　　　B．；　　　C．；　　　D．。 2．下列说法正确的是（　　） A．64的算术平方根是；　　　B．64的平方根是8； C．64的立方根是4；　　　D．的算术平方根是。 3．如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　） A．；　　　B．；　　　C．；　　　D．。 4．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根；　　　B．有两个相等的实数根； C．实数根的个数与的取值有关；　　　D．没有实数根。 5．如下表，被开方数和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得、的值分别为 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 25 79.1 250 791 （注：表中部分数值为近似值）（　　） A．，；　　　B．，； C．，；　　　D．，。 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 6．的平方根是________。 7．方程的解为________。 8．如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是________。（只需写一个） 9．若，则的取值范围为________。 10．比较大小：________。（填“”、“”或“”） 11．电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为________毫米。 12．将化为分数：________。 13．不等式的解集是________。 14．关于的方程有实数根，那么的值为________。 15．2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象。在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键。已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为10；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方。设该一元二次方程为（其中、是实数），则可求得________。 三、简答题（本大题共8题，满分55分） 16．计算：。 17． 计算：。 18．用配方法解方程：。 19．若最简二次根式与是同类二次根式。 （1）求的平方根； （2）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值。 20．（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程（），可以得到一元二次方程的求根公式。 一般地，对于一元二次方程（），当________时，它的根是：________。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，。（第一步） 。（第二步） 。（第三步） ，。（第四步） 小明解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是________。 （3）请你写出此题正确的解答过程。 21．已知关于的一元二次方程。 （1）若该方程的两个实数根、满足，求的值。 （2）如果以方程的两根为等腰三角形的两条边长，第三条边长为3，求的值以及这个等腰三角形的周长。 22．已知在锐角中，，点是边上一点，。 （1）如图1，过点作，垂足为点，与交于点。求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想、、之间的数量关系并证明。 23．数学兴趣小组活动中，“无理数探秘”小组围绕“到底有多大”展开了深度探究，请根据各探究小组的汇报，完成下列问题。 （1）到底有多大 小欣和组员们利用数形结合的方法探索的近似值，请将过程补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1所示的示意图。由面积公式，可得。因为值很小，所以更小，省略，得方程________，解得________（保留到0.001），所以________。 （2）怎样画出？ 小聪同学的思路是：如图2所示，将2个边长为1的正方形进行分割，然后拼接成一个新的正方形，设新正方形的边长为（），根据割补前后图形的面积相等，可得，解得。则拼接成的新的正方形的边长即为。 请按照小聪的思路，在图3的网格图中用实线画出拼接成的新的正方形（网格图中每个小正方形的边长均为1）。 （3）根据剪拼前后图形的总面积不变，小研按照图4和图5所示的两种拼法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，都可以得到边长为无理数的新的正方形。 ①请模仿小聪的方法计算无理数的值；②若，，求代数式的值。 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $