江西南昌市青山湖区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级学科诊断 数 学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．数学之美源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．国旗上升的过程 B．输送带运输的行李箱 C．轮船航行时的螺旋桨的转动 D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼 3．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（ ）个球队参加比赛． A．6 B．7 C．8 D．9 4．将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A． B． C． D． 5．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为，其中正确的结论为（ ） A．①②④ B．②④ C．②③ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．请写“一个根为0，另一个根为正数”的一个一元二次方程：_____________． 8．抛物线的开口方向是________． 9．若一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 10．抛物线与y轴的交点坐标为________． 11．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为__________________． 12．反比例函数的图象经过，，点P在x轴上，点P的横坐标为整数，且是等腰三角形，请写出点P的坐标_______________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解方程：（1）；（2）． 14．小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ ，……⑥ （1）小颖的解答过程从第________步开始出错，其错误的原因是________； （2）请你写出此题正确的解题过程． 15．已知：如图四边形的四个顶点都在正方形的网格的格点上（网格的单位为1），在边上找到一点P，使为直角： （1）通过计算得出，的长度可能为________或________； （2）在上找到点P，请用无刻度直尺作出（只作出其中的一种情况）． 16．如图，在直角坐标系中，四边形是矩形，点是中点，反比例函数图象经过点D，并交于点E． （1）求k的值； （2）求五边形的面积S． 17．如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中与x轴的交点A为，与y轴的交点B为，对称轴为直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．已知：如图所示，绕点A顺时针旋转，得到，当E在边上时： （1）求证：； （2）连接，当时，求的度数． 19．3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会，学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点B距地面4.5米．如图所示，以O为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”，若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 20．某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高2元，销售量就会减少10件． （1）当该服装店将销售单价定为74元时，那么一个月的销售量为________件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润6000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21．综合与实践 一般地，把抛物线向上（或向下）平移，向左（或向右）平移可以得到抛物线． 特殊感知： （1）如果把抛物线：，向右平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为，点M在抛物线上： ①如图1，点M在x轴上，抛物线与x轴交于点N，________； ②在上取任意点M，且，如图2，连接，并延长交于N点，________； 类比迁移： （2）如果把抛物线：，经过平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为A，如图3，在上取一点M，连接，并延长交于N点，求的值，并说明理由； 变式应用： （3）请根据以上的规律，如果把抛物线：，经过平移得到抛物线：，两个函数图象的交点为A，在上取一点M，连接，并延长交于N点，请直接写出的结果：________（用，表示） 学科网（北京）股份有限公司 $九年级学科诊断 数学参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.C2.C3.C4A5.C6.B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.x2-2.x=0(答案不唯一)8.向上9.710.(0,14)11.x(x+12)=864 12.（0,0)或(-1.0)或(13,0) 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.(1)解：x2-6x+1=0 (X2-6X+9)十1-9=0…1分 (X-3)2=8…2分 x-3=±2W2 X1=2WZ+3,X2=-2W2+3… …3分 （2)解：x(x-2)=3x-6 x(x-2)=3(x-2) X(X-2)-3(X-2)=0…4分 (X-3)(X-2)=0…5分 X1=3,X2=2…6分 14.解：（1)②；等式的右边没有除以2…2分 (2)2x2-8x=-3 x2-4x=-3… …………3分 2 3 x2-4x+4=-2+4 (X-2)2=5…4分 2 x-2=±四 ·为1=2+ ,2=2-o. ……………………6分 2 2 15.解：（1)3；4…4分 第1页（共5页） (2)如图所示，∠APD即为所求.…6分 (二选一即可) 16.解：(1)把D1,4代入y=得 k=1X4=4;…2分 (2)四边形0ABC是矩形，D(1,4是BC中点 BC=2CD=2B的坐标为(2,4)，BD=1…3分 ~k=4六y=至，把x=2代入y=是得y=手2 ∴E(2,2)∴.BE=2 SAEBD=BD X BE=号X1X2=1… …4分 .S=SOABC SAEBD =2X 4-1=7 五边形OAEDC的面积为7…6分 17.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+k. 将点A(3,0)和点B(0,3)代入解析式，得： 〔4a+k=0 …1分 、a+k=3 解得：只=4 抛物线的函数表达式是y=-(X一1)2十4…3分 (2)抛物线y=-(x-1)2+4与x轴交于点A(3,0)和点C,对称轴为直线x=1 …根据抛物线的对称性，点C的坐标为(-1,0)…4分 ·AC=4 点B的坐标为(0,3) .0B=3 SAABC=XACX0B=×4X3=6-6分 第2页（共5页） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.（1)证明：由旋转的性质可知，∠DEA=∠C…1分 ·∠BEA是△AEC的外角 LBEA=∠BED+∠DEA=LC+LEAC…2分 ∠BED=∠EAC…4分 (2)解：如图，连接BD 由旋转的性质可知，∠DAE=∠BAC,AD=AB ·LDAB+∠BAE=L∠BAE+∠EAC .∠DAB=∠EAC……5分 ·∠EAC=50 LDAB=LEAC=50° ∠ADB=LABD=18050=65…6分 2 .BD⊥BC ·∠DBC=90° ∴.∠ABC=90°-∠ABD=90°-65°=25°…8分 19.解：(1)由题意得，抛物线的顶点为(-3,4.5) ∴可设抛物线解析式为y=a(x十3)2+45…1分 又抛物线过原点 ∴0=a(0+3)2+4.5… …2分 ∴.a=-0.5 抛物线为y=-0.5(x+3)2+4.5…4分 (2)彩带CE、DF的高为2米 令y=-0.5(x+3)2十4.5=2…5分 X1=-3十V5或x2=-3-V5…6分 两次彩带之间的水平距离为-3+V5-(-3-V5)=25米…8分 20.解：（1)230…2分 (2)设T恤的销售单价应定为x元： 第3页（共5页） (-50)(300-0×10）=60004分 (x-50)(600-5x)=6000 -5x2+850x-30000=6000 x2-170x+7200=0 (x-80)(x-90)=0 解得：X1=80,X2=90…6分 要尽可能减少库存，要选择较低的销售单价，因此x=80 答：T恤的销售单价应定为80元……8分 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21.解： (1)①12： …】分 ②12；…2分 (2)抛物线C1:y=(x+1)2-3和抛物线C2:y=(x-2)的交点为A, .(x+1)2-3=(x-2)2 .x=1,代入得y=(1-2)2=1 A(1,1)…3分 设点M坐标为(m,(m+1)2-3),设直线MA的解析式为y=kx+b. m (3 6m+, 直线MA的解析式是y=(m十3)x-m-2.…4分 抛物线C2:y=(x-2)2与直线MA的交点为点N和点A ·.(m+3)x-m-2=(x-2)2 .x2-(m+7)x+6+m=0… …5分 ∴根据韦达定理，XA十Xw=m十7…6分 X4=1 Xw=m十7-1=m十6…7分 Xw-XM=m+6-m=6……8分 （3)2lh2-h1 …10分 第4页（共5页） C y C C C N 2 图1 图2 图3 第5页（共5页）