上海市奉贤区待问中学2026-2027学年第一学期 九年级数学期中练习卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中练习 --答案 完卷时间100分钟　满分150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】A 【解析】二次函数须能写成，且。A符合；B的自变量在分母中；C为一次函数；D化简为，也是一次函数。 2．下列各长度的线段中，成比例的线段是（　　） A．2cm，3cm，4cm，5cm；　　　B．3cm，6cm，6cm，12cm； C．3cm，6cm，7cm，9cm；　　　D．1.2cm，2.2cm，3.4cm，4.1cm。 【答案】B 【解析】按所列顺序检验两比是否相等。B中；其余三组的第一、二数之比与第三、四数之比不相等。 3．如图1，下列条件不能判定的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 图1 【答案】D 【解析】两三角形的角相等。A、B分别再给出一组对应角相等，可用两角判定；C给出夹着角的两组对应边成比例，可用两边及夹角判定。D给出的相等角不是这两组比例边的夹角，属于“边边角”，一般不能据此判定相似。 4．已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法正确的是（　　） A．它们的相似比为；　　　B．它们的对应高的比为； C．它们的对应中线的比为；　　　D．它们的面积比为。 【答案】C 【解析】相似三角形的周长比、对应高之比、对应中线之比均等于相似比，故均为；面积比为相似比的平方，即。 5．已知线段、、，求作线段，使得的是（　　） 【答案】B 【解析】利用平行线分线段成比例，比较两条射线上相邻两段的比。B图给出，交叉相乘得。A、D图得到；C图得到，均不符合要求。 6．如图2，在平行四边形中，是边的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点。若，，，则的长为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 图2 【答案】B，即。 【解析】由平行四边形的性质，，，且。在直角三角形中，。 由及平行关系，，相似比为，故，从而。 又，得。结合，得。 由于且，故。于是。 【点睛】先用中点和两组平行线把转化为，再把转化为；最后利用直角三角形求长。不要把图上任意相交的两条线误当作垂直。 二、填空题（本大题共10题，每题4分，共40分） 7．如果，那么________。 【答案】 【解析】。 8．如果点、在二次函数的图像上，那么________。（填“”“”或者“”） 【答案】 【解析】代入得，，所以。 9．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为________。 【答案】 【解析】原顶点为，平移后变为。新解析式为，但本题所填应为顶点坐标。 10．若二次函数的图像经过原点，则的值为________。 【答案】 【解析】代入，得，所以。 11．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是________。 【答案】且。 【解析】“抛物线”要求。与轴有交点要求，即。合并得且。其中时与轴相切，仍有交点。 12．若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________。 【答案】 【解析】对称轴为，两交点横坐标相差，所以它们分别为、。由根与系数的关系。也可用，得。 13．已知点是线段的黄金分割点（），那么的比值为________。 【答案】 【解析】较长段与全长的比为，故。注意题目问的是全长与较长段之比。 14．如图3，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上。如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是________。 图3 【答案】 【解析】设正方形边长为。由，得，其对应高之比为。所以，解得，故。 15．如图4，中，、分别是、的中点，连接，则________。 图4 【答案】 【解析】中位线使，相似比为，所以面积比为。四边形占大三角形面积的，故所求比为。 16．设二次函数和的图像的顶点坐标分别为和，若，且这两个函数图像的开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”。已知二次函数和二次函数（），若恰好是的“和等顶二次函数”，则的值为________。 【答案】 【解析】两函数二次项系数分别为、，开口均向上。配方得： ，。 故，，，。由，得，即。 因式分解得。由，舍去，得。代回时两个顶点为和，满足。 【点睛】遇到用顶点坐标定义的新概念，先把两函数都化成顶点式，再逐字翻译定义；不要把“横坐标之和等于纵坐标之和”误读成两顶点重合。 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知，求： （1）的值； （2）若，求、、的值。 【答案】（1）；（2），，。 【解析】设，则，，。 （1）原式有意义时，故，所以。 （2）由得，所以，从而、、。检验：，且三比均等于。 18．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图5，，与的交点为点。 （1）若，，求的长； （2）若，，求的长。 图5 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）由平行线分线段成比例，。因为，所以，。 （2）由，得，所以，故。 又由，得，所以，故。 于是。因此第（2）问的结论为。 19．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 已知二次函数的图像经过点、、。 （1）求这个二次函数的表达式； （2）将该二次函数的表达式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点。 【答案】（1）；（2），开口向上，对称轴，顶点，有最低点。 【解析】（1）由两零点为和，设。代入，得，所以。故。 （2）配方得。由于，开口向上；对称轴为，顶点为，顶点是最低点，函数最小值为。 20．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：如图6，在中，点、在边上，，，，连接、，如果是等边三角形。 （1）求证：； （2）求证：。 图6 【答案】（1）（2）证明见解析；两角均为。 【解析】（1）等边三角形给出，且。由于依次共线，。 又，，两组边成比例且夹角相等，故。 由对应边成比例得，交叉相乘即。 （2）由上述相似得。在中，。 所以。 又，故。 21．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 【问题情境】 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火），表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花。某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径。 【实验数据】 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上。铁水运动路径的最高点离地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为。 【数学建模】 用如图7-1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为。以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系。 　 【问题解决】 （1）求该抛物线的表达式； （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长； （3）如图7-2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水。已知铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域。请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由。（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）不在题设安全范围内。 【解析】（1）抛物线经过、，故对称轴为，顶点。设，代入原点得，所以。故，模型有效区间为。 （2）当时，，解得或。由抛物线开口向下，高度不低于的部分对应，水平距离为。 （3）依图7-2，保持原对称轴和开口形状，将原轨迹竖直上移，得到。令，解得。 由运动方向取正向落地点。距表演台中心的位置距落地点约为，故不在题设安全范围内。正向观赏区边界应在之外。 【点睛】实际问题中的“高度不低于”先转为图像上横坐标区间，再取区间长度；安全判断比较的是观众到新落地点的距离，不能只比较观众与落地点的横坐标大小。 22．（本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 如图8，如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点。 （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点在二次函数图像上，且满足，请求出所有符合条件的点的坐标。 【答案】（1），；（2）（），非退化平行四边形对应；（3）、。 【解析】（1）由两零点及二次项系数为，得，所以。 （2）由、得直线为，从而、。设，则。由于，有；端点时长度为，不能构成四边形。 由，若四边形为平行四边形，必有，即。解得，候选值为或。 当时，、，四个顶点退化为两个点，必须舍去。当时，、，四点互异，且、，满足一组对边平行且相等，故确为平行四边形。综上。 （3）由、可知。射线向右，故从发出且与成的射线有上下两条，分别位于和上，且都要求。 上方：联立，得。舍去与重合的，得。 下方：联立，得。同样舍去，得。 两点的横坐标均大于，且分别在两条所需射线上，故全部答案为、。 【点睛】“一组对边平行且相等”用于四边形时，先检查四点互异；解方程得到的并不自动合法。定角找点要以射线方向分类，不能只找抛物线在轴上方的一支。 23．（本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点。 （1）如图9-1，求证：； （2）如图9-2，当为的中点，、时，求的长； （3）如图9-3，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）（）。 【解析】（1）矩形给出。折叠保持夹角，故，即。又，两组垂直关系给出。因此。 （2）由为中点，。设，则，折叠得。在直角三角形中，，解得。 由（1），，得，所以。由勾股定理。折叠得，按图中点序共线，故。 （3）设，则，，从而。记。由为中点，。由（1）的相似比例，，所以。 折叠得。在直角三角形中，，整理得。代入上式，得。 于是，且，所以。 为直接计算，以为原点、为横轴、为纵轴建立坐标系。此时、，由共线且，点在从经过继续前进的方向上。因此 。 由勾股定理，。 除以，得。 位置检查：由可得，折痕与交点满足，所以、。因此对任意，所用的、、位置与折叠构型相容，且在下方。 【点睛】折叠先提取等长与直角，再用（1）的相似关系把未知宽度和分点比联结起来。最后求跨越折痕的距离，可建立矩形坐标系，用已经求出的线段比定位点，避免重复求折痕方程。 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中练习 完卷时间100分钟　满分150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 2．下列各长度的线段中，成比例的线段是（　　） A．2cm，3cm，4cm，5cm；　　　B．3cm，6cm，6cm，12cm； C．3cm，6cm，7cm，9cm；　　　D．1.2cm，2.2cm，3.4cm，4.1cm。 3．如图1，下列条件不能判定的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 图1 4．已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法正确的是（　　） A．它们的相似比为；　　　B．它们的对应高的比为； C．它们的对应中线的比为；　　　D．它们的面积比为。 5．已知线段、、，求作线段，使得的是（　　） 6．如图2，在平行四边形中，是边的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点。若，，，则的长为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 图2 二、填空题（本大题共10题，每题4分，共40分） 7．如果，那么________。 8．如果点、在二次函数的图像上，那么________。（填“”“”或者“”） 9．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为________。 10．若二次函数的图像经过原点，则的值为________。 11．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是________。 12．若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________。 13．已知点是线段的黄金分割点（），那么的比值为________。 14．如图3，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上。如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是________。 图3 15．如图4，中，、分别是、的中点，连接，则________。 图4 16． 设二次函数和的图像的顶点坐标分别为和，若，且这两个函数图像的开口方向相同，则称是的“和等顶二次函数”。已知二次函数和二次函数（），若恰好是的“和等顶二次函数”，则的值为________。 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知，求： （1）的值； （2）若，求、、的值。 18．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图5，，与的交点为点。 （1）若，，求的长； （2）若，，求的长。 图5 19．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 已知二次函数的图像经过点、、。 （1）求这个二次函数的表达式； （2）将该二次函数的表达式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点。 20．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：如图6，在中，点、在边上，，，，连接、，如果是等边三角形。 （1）求证：； （2）求证：。 图6 21．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 【问题情境】 打铁花，又叫打铁水，是流传于山西地区的一种民间烟火（社火），表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花。某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径。 【实验数据】 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上。铁水运动路径的最高点离地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为。 【数学建模】 用如图7-1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为。以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系。 　 【问题解决】 （1）求该抛物线的表达式； （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长； （3）如图7-2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水。已知铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域。请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由。（参考数据：） 22．（本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 如图8，如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点。 （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？ （3）若点在二次函数图像上，且满足，请求出所有符合条件的点的坐标。 23．（本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点。 （1）如图9-1，求证：； （2）如图9-2，当为的中点，、时，求的长； （3）如图9-3，连接，当为的中点，时，求的值（用含的式子表示）。 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $