2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上学期期中临考押题卷

2026-2027学年九年级上学期期中押题卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材沪教版五四制九年级数学上册第2729章。 5.难度系数：0.6 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.在△ABC中，点DE分别在边MB,AC上，下列条件中，一定能判断△ABC△ADE的是() A.BD-CE ADAE DE AD c D.AB AC BD AE B.BC AB :有二面数=-2的室段在（月）B小c小，则，为，”的大个天系狂 确的为() A.出>4>为 B.为>为>y C.4>乃>⅓ D.为>乃>为 3.一次函数 y=ax+b 与二次函数=r+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是() 试卷第1页（共3页） 4.在aMBC中，∠B∠C都是锐角， 的度数为() A.120° B.90° C.75 D.60 5、如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为a,sima 5,无人机沿水平线 AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°.无人机距地面的垂直高度用 AM表示，点M,C,D在同一条直线上，其中MC=90米，则河流的宽度CD=() B 一F M D A.160米 B.(205-10)米 1355-10 C. 2 米 D.(403-10)米 B 则四边形 是矩形， M NC D AMNB .BN=AM=120,MN=AB=80 在Ri-8ND中，∠BDN=30,an30e-8侧 ND ND=-BN120 =120W5 tan30° 3 3 6.定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三 角形称为格点三角形.如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相 似且有一个公共角的格点三角形的个数是() A.3 B.4 C.5 D.6 试卷第2页（共3页） 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分) 7.计算：cos212°+sin212°= 8.在比例尺为1：600的地图上A、B两处的距离是4Cm,那么A、B两处实际距离为 1m 9.已知线段AB的黄金分割点为P,其中较长线段AP=6厘米，较短线段PB= 厘米。 10.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大后得到△BDE,己知点 A(3,0) B(6,O),则△MBC与△BDE的周长比是 YA D 11.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为=1：2·若某物体由传送带从地面A处经过70米传送到B处， 则该物体被抬高了」 米 -B 1:2 12.如图，已知AB‖CDEF,若AC:CE=2:L,AB=2,EF=5,则CD的长为 A/B 13.抛物线少=2r+4x-1 向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为」 14.若=次函数y=x3 +h(a≠0)图像过点(4,2)，则此函数图像还经过一定点一 15.已知△ABC中，∠C=90°，AC=6,将△ABC绕点B旋转使点C落在边AB上，点A的对应点为点 试卷第3页（共3页） 4,直线AB交直线4C于点D,若an∠CDB 2,则BC的长为一 16,如图，点D在△1BC的边B上，作 yC交MC于点E,EFW交BC DE∥BC、AC_ 1B交BC于点F,若点是 GM △ABC重心，且在线段EF上，连接CG并延长交线段DF于点M,交线段DB于点N,则M的值是 17,如果一条抛物线'=+r+(a≠0)与'轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶 点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”.已知'=3x-2bxb>0) 的“特征三角形”是等腰直角三 角形，那么b的值为 三、解答题（本大题共7小题，满分82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.计算：2cos30°-cot45 -tan60°.sin245° 19.在平面直角坐标系x0中，△MBC的三个顶点坐标分别为 (-2,1),B(0,2),C(-3,4) A ()将△AB 绕点O顺时针旋转90得到△4BG,画出△48G,并写出点的坐标： 试卷第4页（共3页） (②以点0为位似中心， △4B,C放大得到 ,△A,B2C ,位似比为2，在网格图中画 △A,B2C2 并写出点 C, 的坐标 20.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程。 6.25 0 10 (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为10m 隧道顶部最高处P距地面6.25m,并画出了隧道截面图.建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线 的解析式： (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保 安全，问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车 间的空隙)？并说明理由 21.已知在平面直角坐标系中有函数 y=ax2-2ax-3a(a>0) 点D、C为抛物线与x轴的交点(D在C 左侧)，B为抛物线的顶点，A在抛物线上，且在对称轴左侧x轴上方一动点. 4 -5-4-3-2-1912345 2 -3H 4 -5 )若1B与x轴交于万，设cS0c=人， DF:FC ,求 的值。 (2若c=2a+8 ,请问A、B、C、D任意两点形成的所有直线交点个数n是否为定值？若是，请求 出n:若不是，请求出可能的值，并写出对应时A点的坐标.（多条直线相交算一个交点) 试卷第5页（共3页） 22.材料一：课本47页告诉我们一个基本结论一一平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直 线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作 图将线段三等分”的方法 已知：线段AB,如图1. 求作：点C、点D,使点C、D在线段AB上，且AC=CD=BD 作法：①作射线AO.（如图2)： ②在射线AO上依次截取线段AM、MN、NL,使AM=MN=NL,连接LB； ③分别过点MN作平行于LB的直线交AB于点C、D.则点C、D为所求的点. D B D G B 图1 图2 图3 【问题解决】 (I)如图3，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FG∥BC.若AD=2,AE=1, GC DE DF=6,则EG=一，FB=一，FG (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线AC对折 一次，得到图5，对角线AC分别与折痕EHF队、GJ的交点K、Z、M即为对角线AC的四等分点.请在 图5中画出AB的三等分点N(不写作法，保留作图痕迹) D H I. D HI 图4 图5 (3)如图6，AO是△ABC的一条中线.用与上面不同的方法，用尺规作图作出AO的一个三等分点N,使 得AO=3ON.(不写作法，保留作图痕迹) 试卷第6页（共3页） A B 图6 图7 (④)如图7，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为 (2,3)和B8,-).设点P是线段4B的一 点，且AP:PB=k:1,请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）， 23,如图，直线1：y=x+6交x轴于点A,交y轴于点B,点C在x轴正半轴上，且OC=3.点D在线 段AC上，且∠CDB=∠ABC,过点C作BC的垂线，交BD的延长线于点E,连结AE. C (1)求点D的坐标： (2)求证：AE⊥AB: (3)若点P是直线CE上的动点，连结DP,当△DEP∽aBAC时，直接写出点P坐标. 24.【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图(1)、图(2)是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNP?, MW=0.2MQ=1.6 0.45 米， 米，雨伞撑开的宽度4C=1 OG O AC 米，伞柄的心部分长为米，点为中点， OG1AC,点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为8， 雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行： 试卷第7页（共3页） A M M N G 雨线 雨线 雨线 雨线 72° K 77力7777777777777777777 77772>1 B ODP 夕 DOP (1) (2) 【问题感知】 (1)①在图(1)、图(2)中，点C到地面的距离是 一米 ②如图(1)所示，0=72°，若小丽将伞拿在胸前(0G与P在同一条直线上)，则小丽身体被雨水淋 湿的部分PK=米.（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 (2)如图(2)所示，日=60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分 PK的长度为'米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围 试卷第8页（共3页） 2026-2027学年九年级上学期期中押题卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版五四制九年级数学上册第27-29章。 5．难度系数：0.6 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两三角形有公共角，判定相似需满足夹的两边对应成比例，或有另一组对应角相等． 【详解】解：∵ 是与的公共角， ∴ 当夹的两边对应成比例，即时，两三角形相似． A选项：由，得， 则，即， 故， 又，故，符合题意． B、C选项：比例式中的边、不是夹公共角的边，无法结合公共角判定相似，不符合题意． D选项：由得，推不出，不符合题意． 2．若二次函数的图像经过点，，，则，，的大小关系正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；b矛盾，故选项A不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；故选项B符合题意； C、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；a矛盾，故选项C不符合题意； D、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；a矛盾，故选项D不符合题意． 4．在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 5．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过B作于点N，因为，均垂直，所以四边形是矩形，可得．在中，因为已知，结合米，利用勾股定理求出的长度．在中，因为仰角为，，利用角的正切值求出的长度．因为，代入对应长度即可得到的表达式． 【详解】 解：∵， ∴A处俯角等于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过作于， 则四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． ∴米． 6．定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据网格求出三边长度，分别以、、作为公共角，逐个寻找三个顶点都在格点上、满足两边对应成比例且夹角相等的三角形，统计得到一共4个符合条件的格点三角形． 【详解】解：由题意得，，， 如图，，，，，，， 故， 以为公共角与相似的格点三角形有， 以为公共角与相似的格点三角形有，， 以为公共角与相似的格点三角形有， 故与相似且有一个公共角的格点三角形有4个． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7．计算：__________． 【答案】 【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答． 【详解】解：作，其中，， 如图， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 即． 8．在比例尺为的地图上A、B两处的距离是，那么A、B两处实际距离为________m． 【答案】24 【分析】设A、B两处实际距离为，根据比例尺的定义计算即可． 【详解】解：设A、B两处实际距离为， 比例尺为，A、B两处的图上距离是， ， 解得（）， ， 、B两处实际距离为． 9．已知线段的黄金分割点为，其中较长线段厘米，较短线段_________厘米． 【答案】 【分析】根据黄金分割比是计算即可； 【详解】点是线段的黄金分割点，且较长线段厘米， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出与的位似比，再由位似图形的周长比等于位似比求解即可． 【详解】解：以原点为位似中心，将放大后得到，且点，， ，即将放大倍后得到， 与的位似比为， 则由位似图形的性质可知，与的周长比是． 11．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 ．若某物体由传送带从地面处经过米传送到处，则该物体被抬高了________米． 【答案】 【分析】构造，设米，由坡度的定义可得米，使用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：如图，设米， ∵坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 解得（负根，舍去）， ∴物体被抬高了米． 12．如图，已知，若，，，则的长为_________． 【答案】 4 【分析】过点作交于点，交于点，利用平行四边形性质和相似三角形性质求解． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，， 四边形和四边形均为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．抛物线向下平移3个单位后，新抛物线与轴两个交点之间的距离为________． 【答案】 【分析】先根据平移规则得到新抛物线，令得到一元二次方程，利用根与系数关系求出两根和、两根积，代入距离公式算出交点距离是． 【详解】解：∵ 原抛物线解析式为 ，向下平移 3 个单位，遵循上加下减， ∴ 新抛物线解析式为， 即 令 ，则 ， 两边同时除以 2 得：． 设方程两根为，由一元二次方程根与系数的关系： ∴ ． ∴ ， ． ∴ 新抛物线与轴两个交点之间的距离为 ． 14．若二次函数图像过点，则此函数图像还经过一定点______． 【答案】 【分析】由二次函数顶点式可得对称轴为，利用抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等，求已知点的对称点即可得到定点． 【详解】解：由二次函数顶点式，可得函数的对称轴为直线， 设点关于直线的对称点为，根据对称点的横坐标性质得， ， 无论取何值，点都满足函数解析式， 函数图像恒过定点． 15．已知中，，，将绕点旋转使点落在边上，点的对应点为点，直线交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】或， 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的应用，全等三角形的应用，分母有理化，作辅助线构造直角三角形是解题关键．①当时，过点作交于点，令点的对应点为，根据角的正切值，设，，则，再利用正切值和勾股定理求出，利用旋转的性质，推出，得到，再根据即可求解；②当时，过点作交于点，结合旋转的性质，证明，得到，则，，从而得到，再利用角的正切值求解即可． 【详解】解：①如图，当时，过点作交于点，令点的对应点为， ， ， ， 设，， ， 在中，， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，即； ②如图，当时，过点作交于点， 在中，， 由旋转的性质可知，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 16．如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】利用重心的性质得出为中点及的比值，结合平行线分线段成比例定理求出、与的数量关系，进而求出与的关系，最后利用相似三角形性质求解． 【详解】解：点是重心，且、、共线， 为中点，， ，， ，， ， 为中点， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ，即， ， ． 17．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 【答案】1 【分析】先求出抛物线与轴交点，算出两交点距离，再求出顶点坐标和顶点到轴的距离，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半列出方程，结合求出． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， 令 ，则 ， ， 解得 ， ∴ 抛物线与轴两个交点为 ，． ∴ 两个交点之间的线段长：． 抛物线对称轴：． 把 代入解析式： ． ∴ 顶点坐标为 ． ∵ “特征三角形” 是等腰直角三角形，顶点到轴的垂线段就是斜边上的高，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半． ∵顶点到轴距离为 ． ∴ 化简：得， 解得 ． ∵ ， ∴ ． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．直接代入特殊角的三角函数值，然后计算． 【详解】解： ． 19．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，位似比为，在网格图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： 即为所求，点的坐标为； (2)解：如图所示： 即为所求，点的坐标为． 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到，在网格图中写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 20．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 21．已知在平面直角坐标系中有函数；点D、C为抛物线与x轴的交点（D在C左侧），B为抛物线的顶点，A在抛物线上，且在对称轴左侧x轴上方一动点． (1)若与x轴交于F，设，求的值． (2)若，请问A、B、C、D任意两点形成的所有直线交点个数n是否为定值？若是，请求出n；若不是，请求出可能的值，并写出对应n时A点的坐标．（多条直线相交算一个交点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先推导出，，，根据与同高，与同高（点到轴距离），得到，，设，得到，，推导出，再将代入化简即可； （2）推导出，根据A在抛物线上，得到，求出点坐标为，继而推导出抛物线上任意三个互不相同的点不可能在同一直线上，得到A，B，C，D中不存在三点共线，进而求解即可． 【详解】（1）解： 令，得 ，其中， 解得， 在的左侧 ， ， 抛物线对称轴为直线， 将代入解析式，得 ， 顶点， ∵A在抛物线上，且在对称轴左侧x轴上方一动点， ∴， 如图 对角线与x轴交于点， 与同高（点到轴距离） ， 与同高（点到轴距离） ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在抛物线上，抛物线解析式， ， ，两边同除以， ， 整理，得， 解得或（舍去）， 点坐标为， ∵直线与抛物线联立得到一元二次方程，一元二次方程最多有两个实数根， 一条直线最多与抛物线有两个交点， 抛物线上任意三个互不相同的点不可能在同一直线上， ∵A，B，C，D四点都在抛物线上，且四点互不重合， ∴A，B，C，D中不存在三点共线， 如图 四点，任意三点都不共线， ∴交点有A，B，C，D，以及与交点、与交点、与交点，共7个交点， ，是定值． 22．材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 (1)如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． (2)数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (4)如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)3，， (2) (3)如图3.1，点N即为所求； (4) 【分析】（1）通过平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质得出所求线段的长度比即可解决； （2）连接，分别过点K、L作的平行线，交于点，； （3）先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； （4）过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D，得出，根据相似三角形性质求出，设，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴，， ∴； （3）证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图， 过点A作轴，过点B作于点C，过点作于点D， ∴， ∴， ∴， 设， ∵和， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 23．如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 证明：， ， ， ， ， ， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据直线的解析式求出点的坐标，再利用，求出的长，进而求出点的坐标； （2）过点作于，利用，得到，求得点的坐标，最后利用垂直的定义求得结论； （3）过点作于，证明，再利用相似三角形求出的长，推出点是的中点，求出点的坐标，进而求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，得，令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， 点的坐标为． （2）略． （3）解：过点作于点， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由（2）得， ∴， ∴ 点坐标为，即． 24．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $