精品解析：上海市普陀区2026-2027学年七年级上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期七年级数学学科期中考试 （时间：90分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共7题，每题2分，满分14分） 1. 下列各组单项式是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、D选项：与所含字母不同，与所含字母不同，均不是同类项； B选项：中的指数为3、的指数为1，中的指数为1、的指数为3，相同字母指数不同，不是同类项； C选项：与所含字母均为，且相同字母的指数分别相等，是同类项． 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 是一次二项式 B. 是二次三项式 C. 是一次三项式 D. 是四次二项式 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式的相关定义逐项进行判断即可． 【详解】解：与的最高次项次数均为1，分别含2个、3个单项式，依次为一次二项式、一次三项式，A、C正确，不符合题意； 中，的次数为，为最高次项，该多项式是三次三项式，故B错误，符合题意； 中，的次数为，为最高次项，含2个单项式，是四次二项式，故D正确，不符合题意． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，，错误； B选项，，错误； C选项，，正确； D选项，，错误． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先排除右边不是整式积的形式、属于整式乘法的选项，再验证剩余选项分解是否彻底． 【详解】解：A．右边中可继续分解为，分解不彻底，不是因式分解，故A不符合题意； B．右边为，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意； C．左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故C不符合题意； D．左边是多项式，右边是两个整式的积，且因式无法继续分解，是因式分解，故D符合题意． 5. 下列各式中，能用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，可用平方差公式运算； B、两个因式无一组相同项与一组相反项，不可用； C、，不可用； D、，不可用． 6. 若关于的整式是某个关于的整式的平方，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵整式是关于的整式的平方， ∴该式为完全平方式， ∵首项为，末项为， ∴中间项系数满足，即， 解得或． 7. 如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 【详解】解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 二、填空题（本大题共9题，每题3分，满分27分） 8. 单项式的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据单项式系数的定义，拆分给定单项式为数字因数与字母因式的乘积，提取数字部分即可得到结果． 【详解】解：， 故该单项式的系数为． 9. 整式加上整式的和是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】对两个整式执行加法运算，去括号后合并同类项即可得到最终结果． 【详解】解： ． 10. 将整式按字母降幂排列为__________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：整式按字母降幂排列为． 11. 若，则所满足的条件是__________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使成立，需满足底数， 解得． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】按照多项式除以单项式的运算规则，将被除式的每一项分别除以除式，结合同底数幂的除法法则计算后合并结果即可． 【详解】解：． 13. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：由平方差公式得 14. 因式分解：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再对剩余的二次三项式进行因式分解． 【详解】解：∵ 多项式的每一项都含有公因式， ∴ 先提取公因式，将原式变形为， ∵ 二次三项式的常数项5可分解为与的乘积，且两数之和为，与一次项系数相等， ∴ ，∴ 原式因式分解的最终结果为． 15. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，先根据多项式乘多项式法则展开 ，得到一次项的系数，令其为零，解方程求出； 【详解】解：； ∵不含的一次项， ∴一次项系数， 解得； 故答案为：3 16. 定义：对于两个关于的整式、，若（是整数）的计算结果是某个关于的整式的平方，则称这两个整式为一对“等方整式”．例如：，，，因此与是一对“等方整式”．已知，（为整数且），当与是一对“等方整式”时，的值为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等方整式的定义，展开后结合完全平方式的系数特征，结合的取值范围筛选符合条件的整数，代入计算对应的整数． 【详解】解：根据等方整式的定义，的结果是某个关于的整式的平方， 先展开乘积：， 因此是关于的完全平方式， ∵该式的二次项系数为， ∴对应的完全平方式可设为，其中为整数， 展开得 对比等式两边的系数，可得：，， ∴， 由题设为整数且，且为整数， ∴的值为，0，4，对应的取值为， 当时，，代入得，解得； 当时，，代入得，解得； 当时，，代入得，解得． 因此符合条件的值为． 三、简答题（本大题共4题，第17题8分，第18题5分，第19题8分，第20题8分，满分29分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去括号后合并同类项化简多项式. （2）按运算顺序先计算乘方，再完成乘除运算，最后合并同类项. 【小问1详解】 解：      【小问2详解】 解：       18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】将视为整体，利用平方差公式简化运算，再展开完全平方项即可得到结果； 【详解】解：原式． 19. 简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 四、解答题（本大题共4题，第21题6分，第22题6分，第23题8分，第24题10分，满分30分） 21. 已知，，求． 【答案】 【解析】 【分析】列出符合要求的代数式，再运用整式的加减运算法则化简，求解即可． 【详解】解：，， ． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ； 当，时， 原式． 23. 如图，正方形A的边长为，正方形B的边长为（）． 图1：将正方形B放置在正方形A内部，图中阴影部分的正方形面积为7； 图2：将正方形A、正方形B并列摆放，构造边长为的大正方形，图中阴影部分的面积为18． （1）根据图形直接写出的值为___________； （2）求图2最大正方形的面积． 【答案】（1）7 （2）43 【解析】 【分析】（1）根据图形得：图1中阴影部分是边长为的正方形，即可求解； （2）根据题意可得，再结合（1），可得，再由完全平方公式解答即可． 【小问1详解】 解：根据图形得：图1中阴影部分是边长为的正方形， 因为阴影部分的正方形面积为7， 所以； 【小问2详解】 解：因为图中阴影部分的面积为18， 所以， 由（1）得：， 所以， 所以， 所以图2最大正方形的面积为． 24. 如图，外框为固定大长方形，长、宽．在长方形内部作一条竖直分割线、一条水平分割线，两线交于点；竖直分割线与边的距离，水平分割线与边的距离，其中、满足、．两条分割线将大长方形分成4个小长方形：左上长方形的面积记为、右下长方形的面积记为、右上长方形的面积记为、左下长方形的面积记为．记，． 移动分割线、，观察、的变化． （1）当、时，经过多次操作，小普同学发现一个现象：无论怎样移动两条分割线，的值始终不变，请直接写出这个不变的值为_________________． （2）在（1）的条件下，小普同学继续移动分割线进行探究． ①将的结果因式分解；（用含、的代数式表示） ②判断：是否存在正整数和，使得？若存在，请写出所有和的值；若不存在，请说明理由． （3）如图②，小普同学进行了两次不同的分割，、是所作的第一种情形的分割线，相交于点；、是所作的第二种情形的分割线，相交于点，且、．仍类比题干的记述方式，记第一种情形对角两长方形面积之和分别为、，第二种情形对角两长方形面积之和分别为、．当时，求与的比值． 【答案】（1）12 （2）①； ②存在， 由①得：， 当时，， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∵、，且x，y均为整数， ∴y取1，或2， ∴不符合题意，舍去，， 即存在正整数x和，使得，此时，或，． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据，，即可求解； （2）①根据题意可得，再因式分解，即可求解； ②根据当时，，可得或，再结合、，且x，y均为整数，即可求解； （3）设，则，根据题意可得，同理，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 解：①∵，，长、宽， ∴， ∴ ； ②略 【小问3详解】 解：设，则， 根据题意得： 同理， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期七年级数学学科期中考试 （时间：90分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共7题，每题2分，满分14分） 1. 下列各组单项式是同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 是一次二项式 B. 是二次三项式 C. 是一次三项式 D. 是四次二项式 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，能用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的整式是某个关于的整式的平方，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共9题，每题3分，满分27分） 8. 单项式的系数是__________． 9. 整式加上整式的和是__________________． 10. 将整式按字母降幂排列为__________________________． 11. 若，则所满足的条件是__________________． 12. 计算：__________． 13. 因式分解：___________ 14. 因式分解：__________________． 15. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 16. 定义：对于两个关于的整式、，若（是整数）的计算结果是某个关于的整式的平方，则称这两个整式为一对“等方整式”．例如：，，，因此与是一对“等方整式”．已知，（为整数且），当与是一对“等方整式”时，的值为__________． 三、简答题（本大题共4题，第17题8分，第18题5分，第19题8分，第20题8分，满分29分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算：． 19. 简便计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）； （2）． 四、解答题（本大题共4题，第21题6分，第22题6分，第23题8分，第24题10分，满分30分） 21. 已知，，求． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 如图，正方形A的边长为，正方形B的边长为（）． 图1：将正方形B放置在正方形A内部，图中阴影部分的正方形面积为7； 图2：将正方形A、正方形B并列摆放，构造边长为的大正方形，图中阴影部分的面积为18． （1）根据图形直接写出的值为___________； （2）求图2最大正方形的面积． 24. 如图，外框为固定大长方形，长、宽．在长方形内部作一条竖直分割线、一条水平分割线，两线交于点；竖直分割线与边的距离，水平分割线与边的距离，其中、满足、．两条分割线将大长方形分成4个小长方形：左上长方形的面积记为、右下长方形的面积记为、右上长方形的面积记为、左下长方形的面积记为．记，． 移动分割线、，观察、的变化． （1）当、时，经过多次操作，小普同学发现一个现象：无论怎样移动两条分割线，的值始终不变，请直接写出这个不变的值为_________________． （2）在（1）的条件下，小普同学继续移动分割线进行探究． ①将的结果因式分解；（用含、的代数式表示） ②判断：是否存在正整数和，使得？若存在，请写出所有和的值；若不存在，请说明理由． （3）如图②，小普同学进行了两次不同的分割，、是所作的第一种情形的分割线，相交于点；、是所作的第二种情形的分割线，相交于点，且、．仍类比题干的记述方式，记第一种情形对角两长方形面积之和分别为、，第二种情形对角两长方形面积之和分别为、．当时，求与的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $