精品解析：上海市普陀区曹杨二中附属实验中学2025-2026学年上学期七年级期中数学试卷

2025－2026学年上海市普陀区曹杨二中附属实验中学七年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是3次 C. 的常数项是4 D. 的二次项是 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 正方形 5. 下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（ ） A. B. C. D. 7. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，则下列关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 已知单项式与是同类项，那么______． 10. 将整式按字母y降幂排列得到________． 11. 计算：________． 12. 计算：________． 13. 分解因式：______． 14. 计算：________． 15. 已知，，那么________． 16. 新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． 17. 在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 18. 如图，点C是线段上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接、当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；⋯；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 运用乘法公式计算：． 22. 因式分解：． 23. 因式分解：． 24. 先化简，再求值：，其中，． 25. 如图，已知四边形和直线． （1）画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； （2）画出四边形，使四边形与四边形关于点O成中心对称； （3）四边形与四边形是对称图形吗？如果是，请在图上画出对称轴或对称中心． 26. 已知，，求： （1）； （2）． 27. 如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． （1）用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； （2）用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； （3）三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 28. 如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． （1）请你再写一个小于10的“完全数”：______； （2）请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； （3）已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； （4）如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上海市普陀区曹杨二中附属实验中学七年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是3次 C. 的常数项是4 D. 的二次项是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项和常数项等概念，掌握单项式系数和次数的定义，多项式各项（包括常数项）的识别是解题的关键，根据单项式系数和次数的定义逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．的系数是，故原说法错误； B． 的次数是，故原说法错误； C．多项式 的常数项是4，故原说法正确； D．多项式 的二次项是，故原说法错误． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂乘法、除法法则和幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算正确，符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D． ，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、，这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选D． 4. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项． 【详解】A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意； B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意； D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，正确理解轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 5. 下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 6. 已知m、n是正整数，下列等式中，表示“积的乘方的性质”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 根据积的乘方的性质是指一个乘积的幂等于各因子的幂的乘积，即进行判断即可． 【详解】解：选项A表示同底数幂的乘法性质，故不符合题意； 选项B中是错误的等式，不符合题意； 选项C直接表示积的乘方的性质，符合题意； 选项D表示幂的乘方性质，不符合题意， 故答案为：C． 7. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，则下列关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意可得，再利用完全平方公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∴（负值舍去）， ∴， 由得：，即， 由得：，即， ∴关系式中不正确的是D选项． 故选D． 【点睛】本题考查的是两个完全平方式的特点及变形，掌握以上知识点是解题关键． 8. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 已知单项式与是同类项，那么______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 10. 将整式按字母y降幂排列得到________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排序，熟知降幂排序的定义是解题的关键． 按字母y降幂排列，即按照y的指数从高到低排序即可． 【详解】解：在整式中，各项含y的指数分别为：中y的指数为3， 中y的指数为2，中y的指数为1，中y的指数为0．按y的指数降幂排列为． 故答案为：． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式特征是解答的关键． 根据完全平方公式直接计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式运算法则，熟练掌握计算法则是解答该题的关键；先将系数相乘，再把同底数幂相乘，和保持不变，各项作结果的因式即可． 【详解】计算过程如下： 系数相乘： 同底数幂相乘： 和保持不变 所以， 故答案为． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= 故答案为． 14. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，灵活运用运算法则是解答的关键． 通过观察底数的倒数关系和负号的处理，利用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 已知，，那么________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方，灵活运用相关运算法则是解答的关键． 根据同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则，将已知条件转化为方程求解即可． 【详解】解：由同底数幂的除法的逆运算得，代入已知，得． 又因为，所以， 代入得，解得． 故答案为：27． 16. 新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 17. 在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 18. 如图，点C是线段上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接、当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；⋯；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及三角形的面积，令的长为a，进一步表示出，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令， 则 ， 所以 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据整式的混合运算法则，先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 21. 运用乘法公式计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为平方差公式的形式计算即可． 【详解】解： ． 22. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 23. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 24. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 25. 如图，已知四边形和直线． （1）画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； （2）画出四边形，使四边形与四边形关于点O成中心对称； （3）四边形与四边形是对称图形吗？如果是，请在图上画出对称轴或对称中心． 【答案】（1） 四边形即为所求： （2）如图，四边形即为所求； （3）是；如图，直线即为对称轴． 【解析】 【分析】本题考查作图－轴对称变换，中心对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换，中心对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点，，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C，D，的对应点，，，即可； （3）根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 已知，，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解∶ ，， ， 27. 如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． （1）用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； （2）用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； （3）三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】（1） ， 大正方形的边长为， （2） （3）张 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； 【小问3详解】 解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 28. 如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． （1）请你再写一个小于10的“完全数”：______； （2）请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； （3）已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； （4）如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【答案】（1） （2） 是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； （3） （4） 证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 【解析】 【分析】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键． （1）根据“完全数”的定义即可解答； （2）根据“完全数”的定义即可解答； （3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答； （4）设，（为整数），再证明即可． 【小问1详解】 解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $