精品解析：云南昆明市盘龙区云南师范大学实验中学昆明湖校区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

综合卷 一、单选题 1. 传统文化情境·谚语我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升记作，那么傍晚温度下降记作（　　） A. B. C. D. 2. 是指大气中直径小于或等于 的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量有较大的危害．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为庆祝人工智能领域的重大突破，某科技公司“创新者”研发团队开展技术知识竞赛活动，经过筛选，决定从小李、小王、小孙、小赵四名员工中选择一名员工代表该团队参加比赛，经过统计，四名员工成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 小李 小王 小孙 小赵 平均数 88 88 92 92 方差 1.5 1.0 0.6 0.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的员工参赛，那么应该选择（ ） A. 小李 B. 小王 C. 小孙 D. 小赵 7. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点在上，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（ ） A. B. -2 C. 6 D. 11. 近年来，云南省高等教育呈现蓬勃发展的趋势．为清楚地看出我省高校在校人数与年份之间的关系，某校数学兴趣小组制作如下的统计图，下列说法错误的是（ ） A. 该统计图是趋势图 B. 2020年我省高校在校人数约为96.4万人 C. 2011年至2023年我省高校在校人数逐年增长 D. 2022年至2023年我省高校在校人数增长最快 12. 观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 14. 《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 15. 如图，是直径，弦于E，连接，．若，，则的长为（　　） A. 4 B. C. 3 D. 2 二、填空题 16. 分解因式：___________. 17. 如图，在中，以点A为圆心适当长为半径作弧，分别交于点D，E．再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则点G到的距离是________． 18. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 19. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 三、解答题 20. 计算： 21. 如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 22. 为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 23. 一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.650 0.590 0.630 0.620 0.603 0.602 （1）根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） （2）某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图法或列表法中的一种方法，求摸出的两个球的颜色不同的概率． 24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行线与间的距离． 25. 为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数） （1）求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式； （2）若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？ 26. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 27. 已知是的外接圆，过点B作． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，求证：直线是的切线； （3）探索，发现与计算： 如图2，为的直径，与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合卷 一、单选题 1. 传统文化情境·谚语我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升记作，那么傍晚温度下降记作（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：温度上升记作，那么傍晚温度下降记作； 故选：C 2. 是指大气中直径小于或等于 的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量有较大的危害．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，根据可得． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行、同位角相等． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项的概念、合并同类项的法则判断即可． 【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，本选项计算错误； B、3x2与2x3不是同类项，不能合并，本选项计算错误； C、3a2b-3ba2=0，计算正确； D、3y2-y2=2y2，本选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项和同类项的概念，掌握合并同类项的法则是解题的关键． 5. 龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形外角和等于及正多边形性质求解． 【详解】解：多边形的外角和为，且正六边形的个外角相等， 它的一个外角的度数为． 6. 为庆祝人工智能领域的重大突破，某科技公司“创新者”研发团队开展技术知识竞赛活动，经过筛选，决定从小李、小王、小孙、小赵四名员工中选择一名员工代表该团队参加比赛，经过统计，四名员工成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 小李 小王 小孙 小赵 平均数 88 88 92 92 方差 1.5 1.0 0.6 0.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的员工参赛，那么应该选择（ ） A. 小李 B. 小王 C. 小孙 D. 小赵 【答案】C 【解析】 【分析】明确成绩好为优先条件，先通过平均数筛选人选，再通过方差比较稳定性． 【详解】解：∵小孙、小赵的平均成绩为，小李、小王的平均成绩为，， ∴小孙、小赵成绩更好， ∵小孙的方差为，小赵的方差为，， ∴小孙成绩好且状态稳定． 7. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 8. 如图，在中，，，点在上，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 10. 如图，已知点A位于第二象限，且在反比例函数的图象上．过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C．若，，则k的值为（ ） A. B. -2 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定和性质得到，，，根据k的几何意义作答即可． 【详解】解：∵过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B，C． ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴矩形的面积为， ∵反比例函数经过第二象限， ∴． 11. 近年来，云南省高等教育呈现蓬勃发展的趋势．为清楚地看出我省高校在校人数与年份之间的关系，某校数学兴趣小组制作如下的统计图，下列说法错误的是（ ） A. 该统计图是趋势图 B. 2020年我省高校在校人数约为96.4万人 C. 2011年至2023年我省高校在校人数逐年增长 D. 2022年至2023年我省高校在校人数增长最快 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，从折线图中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、该统计图是趋势图，正确，不符合题意； B、2020年我省高校在校人数约为96.4万人，正确，不符合题意； C、2011年至2023年我省高校在校人数逐年增长，正确，不符合题意； D、2021年至2022年我省高校在校人数增长最快，原说法错误，符合题意； 故选D． 12. 观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键． 根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此即可解答． 【详解】解：第9个单项式是． 故选：B． 13. 如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 14. 《九章算术》中盈不足章有如下记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？”译文：若干人合伙买一块美石，每人出钱，多出钱；每人出钱，还差钱．问人数和美石的价格各是多少？设有人，一块美石为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以美石价格为等量，结合两种出钱的盈、不足情况列方程组即可． 【详解】解：设有人，一块美石为钱， ∵每人出钱，多出钱， ∴， ∵每人出钱，还差钱， ∴， ∴可列方程组为． 15. 如图，是直径，弦于E，连接，．若，，则的长为（　　） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理等知识，先根据垂径定理得出，再由圆周角定理得出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论， 熟知在同圆或等圆中，同孤或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：∵是直径，弦于，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 16. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 17. 如图，在中，以点A为圆心适当长为半径作弧，分别交于点D，E．再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则点G到的距离是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质定理．正确作出辅助线，利用角平分线的性质计算是解题关键． 【详解】过作交于点H， 由作图可知平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 18. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 19. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 三、解答题 20. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算、绝对值，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等． 【详解】略 22. 为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【解析】 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 23. 一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.650 0.590 0.630 0.620 0.603 0.602 （1）根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） （2）某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图法或列表法中的一种方法，求摸出的两个球的颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意画树状图，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球的颜色不同的结果有4种， （摸出的两个球的颜色不同）． 24. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求平行线与间的距离． 【答案】（1） 证明：∵菱形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵， ∴四边形ECOD是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得、，再结合已知条件可得四边形OCED是平行四边形，最后根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）由（1）可知四边形ECOD是矩形可得，进而得到，再根据勾股定理可求得，最后菱形面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ECOD是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点D作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行线AD与BC间的距离为． 25. 为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数） （1）求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式； （2）若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？ 【答案】（1） （2）购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）分和两种情况，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据题意求出，可以求得自变量的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值． 【小问1详解】 解：当时，设与的函数关系式为， 将代入，得，解得. 当时，与的函数关系式为， 当时，设与的函数关系式为， 将，代入，得 ，解得. 当时，与的函数关系式为． 综上所述，与的函数关系式为． 【小问2详解】 设购进唱片的数量为张，则购进唱片的数量为张，根据题意，得 ，解得，且为整数. . ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， （元）. 购进唱片的数量为：（张）， 答：购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少． 26. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 【答案】（1）①； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有且只有一个实数解， ∴，整理，得：，即， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）将，代入该二次函数解析式，得，，两式相减并整理得．结合题意可求出，根据，说明，即．最后利用，求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②略 【小问2详解】 解：∵该函数的图象经过点，， ∴，， ∴， 整理，得：， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． 27. 已知是的外接圆，过点B作． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图1，在（1）的条件下，求证：直线是的切线； （3）探索，发现与计算： 如图2，为的直径，与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接，． 由（1）得是等边三角形， ， ． ， ． ， ， ． 是半径， ∴直线是的切线． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，得出．根据，得出，证出是等边三角形，则． （2）如图，连接，．由（1）得是等边三角形，则，根据圆周角定理得出．根据，得出，则，即可证明直线是的切线． （3）如图，过点B作，交于点M，连接，则，设，则，根据圆周角定理得出，根据圆周角定理得出，则，，根据切线的性质得出，结合，得出是线段的垂直平分线，则，证明，则，，得出，结合，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ． ， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，．理由如下： 如图，过点B作，交于点M，连接，则， 设，则， ， ①， 是的直径， ， ， ②， 与相切， ， ∵， ， 又， 是线段的垂直平分线， ③， 由①②③得， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $